王學(xué)雷 張 賓 徐松兵 李傳軍 吳泰羽 張春龍

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 北京 100083)

引言

并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、剛度大、承載能力大、誤差小、動態(tài)響應(yīng)性能好等優(yōu)點而受到人們的青睞。但因其工作空間小、靈活性差等缺點而難以拓展到更為廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域[1-4]。

傳統(tǒng)生產(chǎn)線上的工業(yè)機器人多采用串聯(lián)結(jié)構(gòu)形式，這種拓撲結(jié)構(gòu)決定了機器人在工作范圍和姿態(tài)調(diào)整上具有較高的靈活性和柔性，但該種形式的機器人多采用懸臂梁式結(jié)構(gòu)形式，冗長的懸臂結(jié)構(gòu)使得機器人剛度差、負載能力和動態(tài)特性相當(dāng)有限，且各關(guān)節(jié)的運動誤差逐步累積并被放大，末端執(zhí)行器很難達到較高的運動精度[5-8]。

混聯(lián)機構(gòu)結(jié)合串聯(lián)機構(gòu)和并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點，彌補了兩者的不足而成為機構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究焦點[9-12]，最為典型的代表是瑞典NEUMANN博士發(fā)明的Tricept機器人[13]。國內(nèi)學(xué)者也對五自由度混聯(lián)機構(gòu)進行了廣泛研究，HUANG等[14-16 ]提出了TriVariant以及3SPR-RR五自由度混聯(lián)機構(gòu)，張東勝等[17]提出了2SPR/UPR-RP五自由度混聯(lián)機構(gòu)，上述混聯(lián)機構(gòu)分別以具有兩轉(zhuǎn)一移的并聯(lián)機構(gòu)2UPS/UP、3SPR以及2SPR/UPR為基礎(chǔ)，串聯(lián)一個具有兩自由度擺頭的串聯(lián)機構(gòu)組成；王書森等[18]提出了一種以四自由度并聯(lián)機構(gòu)2RPU/2UPS為主體，輔以一具有移動功能的直線導(dǎo)軌組成的五自由度混聯(lián)機構(gòu)，上述五自由度混聯(lián)機構(gòu)在實際生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。

螺旋線為空間圓弧和與該圓弧平面垂直的直線運動的合成，相比直線插補算法，圓弧插補算法復(fù)雜得多，其中傳統(tǒng)空間圓弧插補算法計算繁瑣，工作量大[19-20]，因此對空間圓弧插補算法的研究極其重要。

本文在結(jié)合傳統(tǒng)混聯(lián)機構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計一種由兩自由度并聯(lián)機構(gòu)和三自由度串聯(lián)機構(gòu)構(gòu)成的新型五自由度混聯(lián)機構(gòu)，并提出一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的新型空間圓弧插補算法。

1 五自由度混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型

基于橡膠樹割膠軌跡要求，本文提出由兩自由度并聯(lián)機構(gòu)和三自由度串聯(lián)機構(gòu)構(gòu)成的五自由度混聯(lián)機構(gòu)，如圖1所示。

圖1 五自由度混聯(lián)機構(gòu)Fig.1 5-DOF hybrid mechanism1.機座 2、8.球鉸 3、5、6.虎克鉸 9.大臂 4、7、12.電動缸 10、11、13、14、15.轉(zhuǎn)動副 16.末端執(zhí)行器

圖2 兩自由度并聯(lián)機構(gòu)Fig.2 2-DOF parallel mechanism

其中，兩自由度并聯(lián)機構(gòu)由機座、2個結(jié)構(gòu)完全相同的SPU(球副-移動副-虎克鉸)型驅(qū)動分支以及1個U(虎克鉸)型約束分支構(gòu)成，可等效為2SPU+U并聯(lián)機構(gòu)，其三維模型以及結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。通過控制2個 SPU驅(qū)動分支的長度即可實現(xiàn)該并聯(lián)機構(gòu)位姿的調(diào)整。

三自由度串聯(lián)機構(gòu)包括3個轉(zhuǎn)動自由度，可等效為RRR串聯(lián)機構(gòu)。圖1中轉(zhuǎn)動副10由RPR (轉(zhuǎn)動副-移動副-轉(zhuǎn)動副) 型驅(qū)動分支驅(qū)動，該驅(qū)動分支兩端為轉(zhuǎn)動副11和13，分別與混聯(lián)機構(gòu)大臂和小臂相連，增加了RRR串聯(lián)機構(gòu)的剛度。

結(jié)合上述兩自由度并聯(lián)機構(gòu)2SPU+U與三自由度串聯(lián)機構(gòu)RRR，該五自由度混聯(lián)機構(gòu)可等效為2SPU+U+RRR機構(gòu)。

2 混聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析

由上述五自由度混聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖可知，2個SPU型驅(qū)動分支和一個RPR驅(qū)動分支分別驅(qū)動虎克鉸3和轉(zhuǎn)動副10，將上述3個驅(qū)動分支舍去，該混聯(lián)機構(gòu)便可等效為U+RRR五自由度串聯(lián)機構(gòu)，如圖3所示。因此，對該混聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析可簡化為對U+RRR串聯(lián)機構(gòu)的分析。

圖3 U+RRR串聯(lián)機構(gòu)簡圖Fig.3 Schematic diagram of U+RRR series mechanism

串聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析有旋量理論[21]和D-H法[22-25]，由于D-H法可快速簡潔地求出機械臂正、逆運動學(xué)表達式，故本文采用D-H法對該U+RRR機構(gòu)進行運動學(xué)分析。通過圖3可以看出該U+RRR串聯(lián)機構(gòu)具有5個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，各關(guān)節(jié)軸線之間互相垂直或平行，建立其連桿坐標系，各坐標系z軸與各關(guān)節(jié)軸線重合，如圖3所示。其D-H參數(shù)如表1所示，其中，θi為連桿i繞關(guān)節(jié)i的Zi-1軸的轉(zhuǎn)角；di為連桿i沿關(guān)節(jié)i的Zi-1軸的位移；ai為沿Xi方向上連桿i的長度；αi為連桿i兩關(guān)節(jié)軸線之間的扭角。

表1 U+RRR串聯(lián)機構(gòu)D-H參數(shù)Tab.1 D-H parameters of U+RRR series mechanism

2.1 U+RRR串聯(lián)機構(gòu)正向運動學(xué)分析

機器人正向運動是指給出機器人各連桿幾何參數(shù)和各關(guān)節(jié)變量，求解機器人末端執(zhí)行器在固定坐標系中的位置和姿態(tài)。根據(jù)連桿坐標系之間的齊次變換關(guān)系求出該五自由度串聯(lián)機械臂相鄰關(guān)節(jié)坐標系之間的齊次變換矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6為

機械臂末端執(zhí)行器相對于基坐標系之間的齊次變換矩陣0T6可表示

(1)

其中

nx=cθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-sθ2sθ3sθ5

ny=sθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
cθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)
nz=sθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-
cθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)
ox=cθ2cθ4+cθ3sθ2sθ4
oy=sθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)+cθ4sθ1sθ2
oz=sθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)-cθ1cθ4sθ2
ax=sθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)+cθ5sθ2sθ3
ay=-sθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)
az=-sθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)
px=Hsθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-a1sθ2+d1sθ2sθ3+
Hcθ5sθ2sθ3
py=a1cθ2sθ1-d1(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
Hsθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1-sθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)pz=-d1(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-a1cθ1cθ2-
Hsθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3+cθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)

上式中，sθi=sinθi，cθi=cosθi，i=1,2，…,5。至此，該U+RRR串聯(lián)機械臂運動學(xué)正解求解完畢。

2.2 U+RRR串聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)反解分析

機器人逆運動學(xué)為正運動學(xué)的逆過程，即已知機器人末端執(zhí)行器在基坐標系中的位置和姿態(tài)，求解相應(yīng)的各關(guān)節(jié)變量，它是機器人運動控制和軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)，也是運動學(xué)的重要部分。本文采用解析法求解該U+RRR機械臂的逆解，求解過程如下：

(1)求解θ3

設(shè)該機械臂所期望的位姿為

0T6=0T11T22T33T44T55T6

(2)

式(3)～(5)平方相加，化簡得

(6)

即

(7)

(8)

由式 (7)、(8)可得

(9)

(2)求解θ2

由式(4)得

(10)

(11)

由式(10)、(11)可得

(12)

(3)求解θ1

由式(5)得

-Asinθ1+Bcosθ1=N

(13)

其中

N=-d1cosθ3

利用三角函數(shù)代換關(guān)系，引入中間變量r和φ，設(shè)

A=rcosφ

(14)

B=rsinφ

(15)

(16)

得

φ=Atan2(B,A)

(17)

則式 (13) 可轉(zhuǎn)換為

(18)

利用三角函數(shù)和差化積公式，式(18)可轉(zhuǎn)換為

(19)

(20)

則有

(21)

(4)求解θ4

令L=Hcosθ4sinθ5，K=Hsinθ4sinθ5，式(23)與式(22)相除，化簡得

θ4=Atan2(K,L)

(24)

(5)求解θ5

p65x=py[sinθ1(sinθ2sinθ4+cosζ2cosθ3cosθ4)-
cosθ1cosθ4sinθ3]+
px(cosθ2sinθ4-cosθ3cosθ4sinθ2)-
a1cosθ3cosθ4-pz[cosθ1(sinθ2sinθ4+
cosθ2cosθ3cosθ4)+cosθ4sinθ1sinθ3]=Hsinθ5

(25)

p65y=py(cosθ1cosθ3+cosθ2sinθ1sinθ3)+
pz(cosθ3sinθ3-cosθ1cosθ2sinθ3)+
d1-a1sinθ3-pxsinθ2sinθ3=-Hcosθ5

(26)

令W=Hsinθ5，G=-Hcosθ5，式(25)與式(26)相除，得

θ5=Atan2(W,-G)

(27)

至此，完成了對該U+RRR機械臂的逆運動學(xué)求解。

由式(9)、(12)、(21)可知，逆解θ1、θ2和θ3均存在正負2種可能解，因此該機械臂逆解具有多解性，即可以有多個位形來到達機械臂所要求的位姿，而對機械臂進行控制時，只需選擇其中一個適合的解來處理。在實際應(yīng)用中，一般根據(jù)最短行程原則從多組關(guān)節(jié)角中選出機械臂的最優(yōu)解。最短行程原則是指選擇與當(dāng)前關(guān)節(jié)角差距最小的下一組解作為最優(yōu)解，從而使兩時刻之間關(guān)節(jié)運動距離最短，以減少機器人運動過程中能量的消耗。在關(guān)節(jié)角最優(yōu)解選擇過程中，一旦遇到有2個可能解，立刻應(yīng)用最短行程原則進行判斷，再利用新確定的最優(yōu)解根據(jù)最短行程原則確定后續(xù)關(guān)節(jié)角，以此類推，每個關(guān)節(jié)只有一組關(guān)節(jié)角是合理的。最優(yōu)解的確定流程如圖4所示。

圖4 機械臂逆解唯一性確定流程圖Fig.4 Flow chart of inverse kinematics ascertain for robot arm

2.3 機械臂運動學(xué)正反解驗證

為驗證上述機械臂運動學(xué)正反解求解的正確性，設(shè)機械臂末端執(zhí)行器沿一直線運動，直線的起始點、中間點和終止點坐標分別為ps=(0,-89,132)、pm=(10,-94,137)和pe=(20,-99,142)，運動過程中其末端執(zhí)行器z軸姿態(tài)始終為a=(ax,ay,az)=(0,-1,0)。以機械臂在直線起始點、中間點和終止點時正反解為例，在Matlab中編寫程序?qū)φ唇庹_性進行驗證，驗證流程如圖5所示。

圖5 機械臂運動學(xué)正反解驗證流程圖Fig.5 Verification flow chart of inverse/forward kinematics for robot arm

根據(jù)圖4所示流程圖求出機械臂在直線起始點、中間點和終止點時最優(yōu)關(guān)節(jié)角，如表2所示。將表2中求得的3組機械臂最優(yōu)關(guān)節(jié)角代入運動學(xué)正解方程式(1)中，求得機械臂末端位置和姿態(tài)，如表3所示。

表2 U+RRR 機械臂逆解求解Tab.2 Inverse kinematics of U+RRR series mechanism

表3 U+RRR機械臂正解求解Tab.3 Forward kinematics of U+RRR series mechanism

從表2和表3可以看出，表3中機械臂3組最優(yōu)關(guān)節(jié)角對應(yīng)的末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與表2中機械臂3組關(guān)節(jié)角對應(yīng)的位置和姿態(tài)完全一致，說明運動學(xué)正反解的正確性。

2.4 2SPU+U并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析

當(dāng)求出上述U+RRR串聯(lián)機械臂θ1、θ2后，通過坐標變換可求出并聯(lián)機構(gòu)兩電動缸的長度與θ1、θ2的關(guān)系。

在靜平臺B0點建立固定坐標系B0X0Y0Z0與動坐標系B0uvw，X0軸與約束支鏈上虎克鉸U的固定轉(zhuǎn)動軸軸線重合，Z0軸與靜平臺垂直，Y0軸根據(jù)右手定則確定；u軸與X0軸重合，w軸沿B0A0方向，v軸根據(jù)右手法則確定，在A0點建立動坐標系A(chǔ)0x0y0z0，x0軸為從點A0指向點A1的方向，z0軸沿B0A0方向，y0軸根據(jù)右手法則確定，如圖2所示。初始時刻固定坐標系B0X0Y0Z0與動坐標系B0uvw重合，機構(gòu)動、靜平臺平行，且θ1=0，θ2=0，動坐標系A(chǔ)0x0y0z0在固定坐標系B0X0Y0Z0中位置為(0,0,Z)，其中，Z為動平臺與固定平臺的初始距離。Bi(i=0,1,2)在固定坐標系B0X0Y0Z0中坐標為

(28)

點Ai(i=0,1,2)在動坐標系A(chǔ)0x0y0z0中位置為

(29)

設(shè)動平臺首先繞u軸旋轉(zhuǎn)θ1，然后繞v軸旋轉(zhuǎn)θ2，由于所有變換矩陣均相對運動坐標系B0uvw進行，根據(jù)“從左向右”計算原則，得相應(yīng)的齊次變換矩陣為

此時，動平臺上Ai(i=0,1,2) 點在固定坐標系B0X0Y0Z0中的位置可表示為

(30)

式中TZ——初始時刻動平臺相對于固定坐標系的齊次變換矩陣

則SPU驅(qū)動分支的長度可表示為

(31)

3 空間圓弧插補算法研究

提出了一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的空間圓弧插補算法，該方法對圓弧路徑進行等弧度離散分割，再對分割后的圓弧進行粗插補，不需求解圓弧所在的平面方程，也無需坐標轉(zhuǎn)換，簡化了插補算法的計算量。對于圓心角θ，需考慮0<θ≤π和π<θ<2π兩種情況。

圖6 空間圓弧插補原理Fig.6 Interpolation principle of space arc

(1)對于圓心角0<θ≤π的情況

設(shè)給定圓弧上起始點ps=(xs,ys,zs)、終止點pe=(xe,ye,ze)以及圓弧圓心p0=(x0,y0,z0)，設(shè)圓弧半徑為R，則有

lp0ps=lp0pe=R

(32)

現(xiàn)根據(jù)起始點ps、終止點pe以及圓心p0求取圓弧上插補點pi的位置坐標，如圖6a所示。首先從起始點ps到終止點pe對圓弧進行等弧度分割，弧長的分割精度為ΔL，由于弧長與其圓心角有關(guān)，故采取對圓心角等角度細分的方法對圓弧進行等弧度細分，根據(jù)分割弧長ΔL計算完成整個圓弧軌跡所需的插補次數(shù)n，再計算圓弧上第j個插補點的坐標pj，具體計算過程如下：

通過起始點ps和終止點pe的位置坐標可計算出弦pspe的長度L，即

(33)

根據(jù)半徑R及弦長L計算圓心到弦pspe的距離H，即

(34)

根據(jù)半徑R以及圓心角計算圓弧pspe的長度K為

K=Rθ

(35)

根據(jù)圓弧分割精度ΔL計算圓弧插補次數(shù)n為

(36)

設(shè)第j個插補點為pj，其與圓心p0的連線與弦pspe相交于點p′j，則psp′j的長度為

(37)

點p′j的坐標為

(38)

直線p0p′j的長度為

(39)

因點p0、p′j和pj共線，進而求得插補點pj的坐標為

(40)

(2)對于圓心角π<θ<2π的情況

圓弧pspe對應(yīng)圓心角π<θ<2π的情況如圖6b所示，欲求圓弧pspe上的插補點pj，可延長直線psp0與圓弧交于點p′s，延長直線pep0與圓弧交于點p′e，此時，圓弧pspe被分為圓弧psp′e、圓弧p′ep′s以及圓弧p′spe，上述每段圓弧所對應(yīng)的圓心角均小于π，故對每段圓弧可采用圓心角0<θ≤π對應(yīng)的情況進行插補點的計算，在此不再敘述。

根據(jù)以上推導(dǎo)可求出每個插補點pj的位置坐標，對機器人在這些插補點的位置進行逆解計算，便可求出機器人各驅(qū)動關(guān)節(jié)所需的位移。

4 空間圓弧插補算法驗證

4.1 圓弧插補算法Matlab仿真驗證

(1) 對圓心角0<θ≤π的情況進行Matlab仿真：設(shè)圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)。設(shè)圓弧分割精度為ΔL=0.1 mm，在Matlab中編寫圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7a所示。

圖7 空間圓弧插補軌跡圖Fig.7 Track charts of space arc interpolation

(2) 對圓心角π<θ<2π的情況進行圓弧Matlab仿真：設(shè)圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)。直線psp0延長線與圓弧交點坐標為p′s=(10,-89,152)，直線pep0延長線與圓弧交點坐標為p′e=(20,-89,142)，在Matlab中編寫圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7b所示。

(3) 繪制一個整圓：取上述圓弧圓心角0<θ≤π與圓心角π<θ<2π兩種情況相同的起始點、終止點和圓心坐標點，在Matlab中編寫繪制整圓的圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7c所示。

4.2 插補算法試驗樣機驗證

為對上述圓弧插補算法進行驗證，基于提出的2SPU+U+RRR五自由度混聯(lián)機構(gòu)，搭建實驗樣機，控制系統(tǒng)采用“運動控制卡(DSP28335) + PC機”的方法，以PC機作為上位機，運動控制卡 (DSP28335) 作為下位機，由DSP28335控制器完成控制信號的生成，采用毛筆在白紙上畫出圓弧軌跡的方法對上述圓弧插補算法進行驗證。通過TI公司提供的CCS5.5編譯軟件對該混聯(lián)機構(gòu)運動控制程序進行編譯處理，實現(xiàn)對機構(gòu)的運動控制。

通過上述圓弧插補算法可得圓弧的實時插補坐標，圖8為該混聯(lián)機構(gòu)所畫的圓弧軌跡。其中，圖8a為圓弧圓心角0<θ≤π，圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)所對應(yīng)的空間圓??；圖8b為圓弧圓心角π<θ<2π，且圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)所對應(yīng)的空間圓?。粓D8c為上述兩個圓弧合并成整圓。

圖8 圓弧插補實驗Fig.8 Experiment pictures of space arc interpolation

由圖8可以看出，所畫的圓弧軌跡平滑，銜接緊密，筆畫清晰，驗證了上述圓弧插補算法的正確性。

5 結(jié)論

(1)提出了一種由兩自由度并聯(lián)機構(gòu)和三自由度串聯(lián)機構(gòu)構(gòu)成的五自由度混聯(lián)機構(gòu)，其中，兩自由度并聯(lián)機構(gòu)增加機構(gòu)的承載能力和剛度，三自由度串聯(lián)機構(gòu)增加機器人的剛度、靈活性和工作空間，相對傳統(tǒng)混聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)具有更大工作空間和更高剛度。

(2)將五自由度混聯(lián)機構(gòu)等效為U+RRR串聯(lián)機構(gòu)，對串聯(lián)機構(gòu)進行運動學(xué)正反解分析，確定了逆解唯一解的選取原則，并驗證了運動學(xué)正反解解析表達式的正確性。根據(jù)得到的虎克鉸U兩軸線轉(zhuǎn)動角度θ1、θ2，通過坐標轉(zhuǎn)換求得了兩驅(qū)動分支SPU桿長的表達式，為機構(gòu)的運動控制奠定理論基礎(chǔ)。

(3)為滿足對工件復(fù)雜曲面的加工需要，提出了一種基于等弧度數(shù)據(jù)采樣的新型空間圓弧插補算法，該方法對圓弧路徑進行等弧度離散分割，直接在笛卡兒坐標系中進行，無需坐標轉(zhuǎn)換，簡化了插補算法的計算量，通過Matlab仿真和樣機實驗驗證了該方法的正確性。

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