徐 磊， 翟婉明

（西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031）

車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)在時(shí)間、空間尺度下具有動(dòng)力參數(shù)和激振源的不確定性，為了更細(xì)致、準(zhǔn)確地反映該時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，需要將用于鐵路線路“設(shè)計(jì)與建造”的確定性計(jì)算方法與非確定性的隨機(jī)分析理論相融合。車(chē)輛-軌道（橋梁）耦合系統(tǒng)的動(dòng)力隨機(jī)分析，亦逐漸為國(guó)內(nèi)外科研工作者所關(guān)注，文獻(xiàn)［1］將軌道結(jié)構(gòu)的扣件剛度和道床剛度作為隨機(jī)參數(shù)，應(yīng)用Monte Carlo（MC）隨機(jī)有限元法，對(duì)中高速鐵路設(shè)計(jì)動(dòng)輪載和動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［2］運(yùn)用車(chē)-橋垂向耦合模型，考慮車(chē)輛荷載及一、二系豎向彈簧剛度與阻尼的隨機(jī)性，對(duì)車(chē)橋垂向耦合隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算分析；文獻(xiàn)［3］將道床橫向剛度的隨機(jī)性與軌道原始彎曲、行車(chē)速度等因素綜合考慮，進(jìn)行無(wú)縫線路動(dòng)力穩(wěn)定性的概率計(jì)算；此外，Ricciardi［4］假設(shè)荷載幅值和到達(dá)橋梁時(shí)間的隨機(jī)性，采用擴(kuò)展的Ito微分法則求解梁的隨機(jī)響應(yīng)；Saeed等［5］對(duì)鋼軌型面數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將可靠度理論引入列車(chē)脫軌分析。

通過(guò)對(duì)既有研究的總結(jié)可知，目前關(guān)于車(chē)線（橋）系統(tǒng)隨機(jī)性的研究取得了不少成果，但考慮系統(tǒng)時(shí)-空隨機(jī)動(dòng)力效應(yīng)的車(chē)輛-軌道系統(tǒng)時(shí)-空隨機(jī)振動(dòng)模型尚未完整建立，主要原因有：

（1）車(chē)輛、軌道系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)隨時(shí)間維度的演化特性未知。

（2）軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)在空間維度的分布及演變規(guī)律未知。

（3）激振源概率信息不全。目前國(guó)內(nèi)外絕大多數(shù)研究均通過(guò)對(duì)單一譜線進(jìn)行反演所得到的時(shí)域不平順樣本作為激勵(lì)，然而單一譜線僅代表鐵路系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)中某一概率水平下的激振幅值，不具有遍歷性。

（4）計(jì)算效率的限制性。車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)變量的高維分布導(dǎo)致了計(jì)算量的劇增。

（5）激勵(lì)輸入與響應(yīng)輸出的概率傳遞機(jī)理不明，非確定系統(tǒng)宜采用概率方法進(jìn)行描述。雖然可以進(jìn)行大量確定性分析以逼近真實(shí)的系統(tǒng)隨機(jī)行為，但直接導(dǎo)致計(jì)算量的增加，與（4）相悖，故需要進(jìn)行概率密度演化與傳遞的研究。

對(duì)于具有空時(shí)演化特性的車(chē)輛-軌道耦合隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，其分析與控制是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，從動(dòng)力激擾因素的統(tǒng)計(jì)、模擬、組合，隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的建模，到系統(tǒng)輸入-輸出的隨機(jī)概率特征傳遞與分析，各環(huán)相扣，而每一環(huán)均可作獨(dú)立的子模型深入研究（見(jiàn)圖1），此系統(tǒng)模型的建立必須借鑒多學(xué)科的研究成果。除軌道不平順外，其他基礎(chǔ)檢測(cè)資料還不完善，本文主要假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)分布特性，重點(diǎn)對(duì)隨機(jī)模型中涉及的參數(shù)模擬，隨機(jī)變量聯(lián)合概率計(jì)算、組合與降維，隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)建模，系統(tǒng)響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)分析等內(nèi)容做具體研究。

圖1 車(chē)輛-軌道隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)分析流程

1 車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力模型

本文基于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論［6］，建立了車(chē)輛-軌道有限元耦合動(dòng)力模型，包括車(chē)輛子系統(tǒng)、軌道子系統(tǒng)及輪軌界面系統(tǒng)三部分，見(jiàn)圖2。

圖2 車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

車(chē)輛子系統(tǒng)為35個(gè)自由度的多剛體系統(tǒng)［1］，主要考慮了車(chē)體、構(gòu)架以及輪對(duì)的橫移、沉浮、側(cè)滾、搖頭及點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)一系、二系懸掛系統(tǒng)進(jìn)行連接。軌道子系統(tǒng)則采用高速鐵路中廣泛采用的板式無(wú)砟軌道，采用有限元方法對(duì)其進(jìn)行模擬。其中鋼軌考慮為連續(xù)點(diǎn)支承的Euler梁，鋼軌墊層模擬為線性剛彈簧及阻尼器單元，軌道板通過(guò)CA砂漿與路基連接，CA砂漿模擬為線性均布面彈簧和黏滯阻尼器，每個(gè)軌段單元40個(gè)自由度，見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。

另外，本文采用新型輪軌空間耦合模型［8］模擬輪軌界面的非線性接觸幾何關(guān)系，輪軌法向力用赫茲非線性彈性接觸理論計(jì)算，輪軌切向蠕滑力用Kalker線性蠕滑理論和飽和非線性修正計(jì)算［9］。

本模型各子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及不同子系統(tǒng)間的相互作用關(guān)系可參見(jiàn)文獻(xiàn)［7］，由于篇幅所限，此處不再贅述。

2 車(chē)輛、軌道及不平順激振源的隨機(jī)模擬

考慮系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的隨機(jī)性，車(chē)輛-軌道隨機(jī)動(dòng)力方程為

式中：M、C、K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；U、˙U、¨U 分別為位移、速度及加速度響應(yīng)向量；F（s）為輪軌相互作用力過(guò)程；ζ（t）為激勵(lì)源隨機(jī)域（如軌道隨機(jī)不平順）；ΩV（t）、ΩT（t）分別為車(chē)輛系統(tǒng)、軌道系統(tǒng)的參數(shù)隨機(jī)域，具有時(shí)變性。

對(duì)于上述建立的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力模型，其系統(tǒng)參數(shù)［ΩV（t），ΩT（t），ζ（t）］是確定的，不具概率意義和時(shí)變性。而車(chē)輛-軌道時(shí)-空隨機(jī)振動(dòng)模型是在車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力模型的基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)參數(shù)及激振源的隨機(jī)性及長(zhǎng)時(shí)效演化性，通過(guò)概率理論及隨機(jī)模擬方法，將確定性計(jì)算與隨機(jī)分析相結(jié)合而構(gòu)造的動(dòng)力模型。這里將分別給出車(chē)輛系統(tǒng)、軌道系統(tǒng)、輪／軌界面系統(tǒng)隨機(jī)性的模擬方法。

2.1 軌道系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)模擬

軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)具有沿空間的隨機(jī)性及隨時(shí)間的變異性，但其變化規(guī)律尚不確定。文獻(xiàn)［10］假定軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)沿空間獨(dú)立隨機(jī)分布，采用Karhunen-Loève（K-L）展開(kāi)法建立軌道結(jié)構(gòu)的隨機(jī)場(chǎng)模型。本文給出一種考慮軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)性的隨機(jī)模擬方法。

軌道系統(tǒng)為層式結(jié)構(gòu)，考慮其物理力學(xué)參數(shù)沿x軸的空間變異性及相關(guān)性。其中，同一結(jié)構(gòu)層的系統(tǒng)部件參數(shù)是非獨(dú)立的，其相關(guān)系數(shù)為

式中：i，j為部件單元編號(hào)值；ξ表示不同的系統(tǒng)部件（如扣件單元、CA砂漿等效彈簧單元等），ξ＝1，2，…，k，k為部件數(shù)目；為相關(guān)系數(shù)的取值范圍；n為總的部件單元數(shù)目。值越大，表示參數(shù)的空間相關(guān)性越強(qiáng)。通過(guò)式（2），可以形成n維相關(guān)正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣序列的相關(guān)系數(shù)矩陣

對(duì)于不同的系統(tǒng)部件 Uξ，令為需要產(chǎn)生的n維相關(guān)正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣序列，每個(gè)變量Xi（i＝1，2，…，m）為m個(gè)服從指定概率分布的隨機(jī)抽樣列向量。對(duì)于Xξm×n的模擬，可采用如下步驟［11］：

Step1與同矩陣維數(shù)，生成獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣序列

Step2計(jì)算的協(xié)方差矩陣由于的對(duì)稱(chēng)與正定性［12］，可對(duì)進(jìn)行 Cholesky分解，即，其中為上三角矩陣；

Step3通過(guò)線性變換，令

式中：μm×n為均值矩陣。

如此，便產(chǎn)生了具有指定相關(guān)性的正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣序列。同時(shí)，通過(guò)正態(tài)分布反函數(shù)迭代算法［13］，可得的概率密度矩陣Prξ（i，j）（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）。

由于軌道參數(shù)沿線路縱向隨機(jī)變化，故本文采用隨機(jī)有限元法建立軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力模型，并采用了一種循環(huán)計(jì)算的策略［14］，實(shí)現(xiàn)了大長(zhǎng)度連續(xù)建模和動(dòng)力計(jì)算。

2.2 車(chē)輛系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)模擬

對(duì)于車(chē)輛系統(tǒng)，可以不考慮系統(tǒng)參數(shù)的空間變異性及相關(guān)性，僅考慮其動(dòng)力參數(shù)隨時(shí)間的變化，即對(duì)于某次確定性的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算，其參數(shù)是恒定的；而對(duì)于不同時(shí)間點(diǎn)下的動(dòng)力計(jì)算，其參數(shù)的樣本向量變化。

對(duì)于不同的系統(tǒng)部件 Uζ，令為某單一部件ζ的n維正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣向量，總m個(gè)部件的抽樣序列可構(gòu)成抽樣矩陣，則每個(gè)部件動(dòng)力參數(shù)抽樣序列對(duì)應(yīng)的概率密度為根據(jù)不同的隨機(jī)變量選點(diǎn)方法，對(duì)Ym×n進(jìn)行重排序，可獲得新的用于動(dòng)力計(jì)算輸入的樣本矩陣即在動(dòng)力學(xué)計(jì)算時(shí)，直接從的n個(gè)列向量中抽取m個(gè)動(dòng)力學(xué)參數(shù)值進(jìn)行車(chē)輛系統(tǒng)動(dòng)力矩陣建模。

2.3 軌道不平順的隨機(jī)模擬

軌道不平順是弱平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，以隨機(jī)不平順作為車(chē)輛-軌道系統(tǒng)的激振源，實(shí)際是其空間隨機(jī)下的系統(tǒng)響應(yīng)分析，而其隨時(shí)間的演化規(guī)律尚不確定，但它在時(shí)域內(nèi)的譜密度分布范圍及概率分布是可以確定的。文獻(xiàn)［15］根據(jù)軌道不平順功率譜線的概率分布特性，給出了一種軌道不平順的全概率隨機(jī)模擬方法，極大地提高了計(jì)算效率，可將其應(yīng)用于本文的研究。

3 車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析

3.1 隨機(jī)變量集合

上述簡(jiǎn)單給出了車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)ΩV（t）、ΩT（t）及隨機(jī)不平順激振源ζ（t）的模擬及概率計(jì)算方法，記隨機(jī)變量的集合為

假定隨機(jī)因素為相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程，采用MC法進(jìn)行隨機(jī)變量的集合選取時(shí)，存在效率低、隨機(jī)收斂等問(wèn)題。根據(jù)概率理論，隨機(jī)變量的累計(jì)分布函數(shù)服從均勻分布，可以采用數(shù)論法［16］構(gòu)造積分域內(nèi)單位超立方體均勻散布點(diǎn)集，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量值的優(yōu)選，令

式中：k＝1，2，…，s，表示隨機(jī)變量，且k∈Θ；j＝1，2，…，n，n和hj構(gòu)成整數(shù)矢量（n，h1，h2，…，hs），可加以篩選進(jìn)一步降低選點(diǎn)數(shù)目，具體方法見(jiàn)文獻(xiàn)［16-17］。

基于式（6）構(gòu)造的點(diǎn)列xk，j均為單位超立方體［0，1］s內(nèi)的散布點(diǎn)列，即xk，j∈［0，1］，這正是累積分布函數(shù)的幅值分布范圍，而隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)、概率密度分布及變量值一一對(duì)應(yīng)。因此，可由點(diǎn)列xk，j確定車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)及激勵(lì)源的具體取值。

3.2 概率密度演化

由于車(chē)輛-軌道系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)源的隨機(jī)性，系統(tǒng)響應(yīng)X（t）＝（UT，˙UT）T也將是隨機(jī)過(guò)程，其隨機(jī)性來(lái)源于Θ。增廣向量（X（t），Θ）的演化是一個(gè)概率守恒且保守的隨機(jī)過(guò)程，Θ的輸入概率與X（t）的響應(yīng)概率間的概率傳遞可以用一類(lèi)廣義概率密度演化方程控制［18-19］。令（X（t），Θ）的聯(lián)合概率密度函數(shù)pXΘ（x，θ，t），可得［19-20］

式中：pXl（xl，t）反映系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的幅值及統(tǒng)計(jì)概率信息，為系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)、可靠度分析及低動(dòng)力控制奠定了基礎(chǔ)。需要注意的是，這里的時(shí)間t實(shí)際代表的是不同系統(tǒng)響應(yīng)量在“縮聚”空間尺度的演化過(guò)程，亦即響應(yīng)量經(jīng)概率積分后在空間上的概率流動(dòng)情況。

4 算例分析

基于前面的算法，給出一個(gè)數(shù)值算例，計(jì)算車(chē)輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)在不同隨機(jī)條件下的動(dòng)力學(xué)行為。分析中采用CRH2型車(chē)，雙塊式板式軌道結(jié)構(gòu)，行車(chē)速度為300 km／h。以武廣高速鐵路2013年全年的軌道不平順動(dòng)檢檢數(shù)據(jù)為系統(tǒng)隨機(jī)激勵(lì)源；由于系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律善不明確，僅用變異系數(shù)表達(dá)，計(jì)算中系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)以初始設(shè)計(jì)值為均值，假定服從高斯分布，取五擋變異系數(shù)0.05、0.10、0.15、0.20、0.25及未變異工況進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算。

4.1 車(chē)輛振動(dòng)響應(yīng)

車(chē)輛-軌道系統(tǒng)在變異系數(shù)為0.2時(shí)，里程區(qū)段580～880 m內(nèi)的車(chē)體垂向振動(dòng)加速度概率密度演化曲面見(jiàn)圖3。此概率密度演化曲面由車(chē)體振動(dòng)加速度在不同截面的概率密度分布組合而成，反映了車(chē)體垂向振動(dòng)響應(yīng)在不同線路區(qū)段的概率分布。若概率分布較為集中，表明此區(qū)段之參數(shù)時(shí)變性對(duì)車(chē)體的垂向隨機(jī)振動(dòng)影響較??；反之，若概率分布較廣，則此區(qū)段的車(chē)軌隨機(jī)耦合參數(shù)對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)不利，應(yīng)重點(diǎn)加以分析。

圖3 變異系數(shù)為0.2時(shí)車(chē)體垂向振動(dòng)加速度在某區(qū)段的概率密度演化曲面

將概率密度演化曲面沿行車(chē)距離軸向積分和歸一化，可得時(shí)-空參數(shù)隨機(jī)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的整體概率分布。輪軌垂向力、左輪軌橫向力的整體概率密度分布見(jiàn)圖4。由圖4可知，無(wú)論是輪軌橫向力還是輪軌垂向力，其振動(dòng)響應(yīng)范圍及概率密度分布散度基本隨變異系數(shù)的增加而增加。相對(duì)而言，系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)輪軌垂向力影響很大。德國(guó)聯(lián)邦鐵路（DB）規(guī)定［6］，對(duì)于線路負(fù)荷，非沖擊性的中低頻輪軌垂向力不允許超過(guò)極限值170 k N。此極限值在系統(tǒng)變異系數(shù)為0.25時(shí)可能發(fā)生，見(jiàn)圖4（a）；同時(shí)，變異系數(shù)為0.05～0.20時(shí)，輪軌垂向力響應(yīng)范圍及概率分布均差別不大，但變異系數(shù)一旦達(dá)到0.25，則輪軌垂向相互作用將產(chǎn)生突變。

車(chē)輛系統(tǒng)不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的計(jì)算最大值及失效概率見(jiàn)表1。需要指出的是，表1中的失效概率是相對(duì)的。依據(jù)正態(tài)分布的基本特征，其橫軸區(qū)間（μ－1.96σ，μ＋1.96σ）內(nèi)的面積為95.4%。本文取系統(tǒng)參數(shù)未變異、僅考慮軌道隨機(jī)不平順激勵(lì)時(shí)動(dòng)力響應(yīng)累積概率在2.6%及97.4%時(shí)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值xl、xu為可靠度的吸收壁，即正常使用的要求為xi∈［xl，xu］。

圖4 在不同變異系數(shù)下的概率密度分布

表1 車(chē)輛系統(tǒng)不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的計(jì)算最大值及失效概率

由表1可知，車(chē)輛系統(tǒng)不同動(dòng)力指標(biāo)隨系統(tǒng)參數(shù)變異程度的增加（與時(shí)間相關(guān)），其計(jì)算響應(yīng)范圍及其失效概率基本遞增。采用時(shí)-空隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算方法，不同指標(biāo)響應(yīng)的概率分布pX，Θ（xi，θJ）可以計(jì)算出來(lái)，只需給定指標(biāo)限值xi，可直接計(jì)算、使用可靠度，獲得失效概率。失效概率反映了系統(tǒng)的時(shí)變隨機(jī)狀態(tài)，若能確定失效概率的限值，即可根據(jù)失效概率的時(shí)變曲線確定系統(tǒng)維修時(shí)間。

4.2 軌道振動(dòng)響應(yīng)

車(chē)輛系統(tǒng)不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的計(jì)算最大值及失效概率見(jiàn)表2。由該結(jié)果可知，系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力影響十分顯著，隨變異系數(shù)的增加，概率密度分布的離散性基本增加。鋼軌在系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)情況下的失效概率變化率要大于軌道板；同時(shí)，軌道系統(tǒng)的加速度響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性十分敏感，而位移響應(yīng)相對(duì)較為遲鈍，但也受系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)的影響。

表2 軌道系統(tǒng)不同動(dòng)力響應(yīng)指標(biāo)的計(jì)算最大值及失效概率

5 結(jié)論

（1）為進(jìn)一步貼近車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)在空-時(shí)域的隨機(jī)性本質(zhì)，本文給出了較為完整的車(chē)輛-軌道系統(tǒng)時(shí)-空隨機(jī)分析模型。利用此模型，可以更好地研究車(chē)輛-軌道系統(tǒng)在耦合振動(dòng)狀態(tài)下的隨機(jī)演化過(guò)程及其機(jī)理；此外，在系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)效動(dòng)力預(yù)測(cè)、演化機(jī)制及模糊動(dòng)力限值制定等方面均可做深入的拓展研究。

（2）軌道隨機(jī)不平順數(shù)據(jù)較為完備，而對(duì)于車(chē)輛、軌道系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)特性，則沒(méi)有完整的實(shí)測(cè)資料，因此應(yīng)先假設(shè)其概率分布，再做具體的分析。由本文算例分析可知，依據(jù)本文模型獲得的計(jì)算結(jié)果符合物理概念。

（3）研究表明，車(chē)輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)均對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性較為敏感，體現(xiàn)了進(jìn)行車(chē)輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析的必要性。

［1］李斌，劉學(xué)毅.基于隨機(jī)振動(dòng)理論的我國(guó)中高速鐵路有砟軌道設(shè)計(jì)輪載研究［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2010，32（5）：114-118.

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