萬旭升， 賴遠(yuǎn)明， 張明義， 裴萬勝

（1.西南石油大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 成都 610500；2.中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所 凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000）

我國多年凍土與季節(jié)凍土面積分布廣泛，超過全國總面積的2／3［1-3］。在四季氣溫周期變化過程中，凍土區(qū)土壤水分的不斷遷移和聚集，反復(fù)成冰與溶解，使地基土的物理力學(xué)性質(zhì)發(fā)生劇烈變化，給這些地區(qū)的交通、工業(yè)與民用建筑帶來嚴(yán)重的危害。此外，隨著凍結(jié)施工法在礦井建設(shè)、地基基礎(chǔ)、地鐵、海底隧道等工程中的廣泛應(yīng)用，土中水分凍結(jié)研究顯得越來越重要。一方面凍結(jié)溫度是劃分土體凍結(jié)與否的關(guān)鍵指標(biāo)，當(dāng)土體溫度降至初始凍結(jié)溫度以下土中產(chǎn)生凍脹力，從而影響構(gòu)筑物的基礎(chǔ)穩(wěn)定性；另一方面凍土的水熱遷移與成冰過程本質(zhì)上是多孔多相介質(zhì)的多場耦合問題［4-6］，而未凍含水量與凍結(jié)溫度的關(guān)系是研究耦合相變問題的關(guān)鍵條件。

未凍含水量的變化規(guī)律能夠有效揭示土中水分凍結(jié)機(jī)理。文獻(xiàn)［7］首次提出描述多孔介質(zhì)冰水平衡狀態(tài)的Clapeyron方程，建立不同溫度下冰水壓力平衡關(guān)系，闡明了水結(jié)冰受其水壓力影響。文獻(xiàn)［8］討論了廣義Clasusius-Clapeyron方程的適用條件，并提出了更能真實(shí)反映土體凍結(jié)過程的動(dòng)態(tài)模型。

目前，未凍含水量與溫度關(guān)系研究主要基于試驗(yàn)研究。核磁共振法在凍土未凍含水量測試中得到廣泛應(yīng)用［9］。徐學(xué)祖等［2］通過室內(nèi)試驗(yàn)回歸了未凍含水量隨溫度降低呈冪函數(shù)關(guān)系，有學(xué)者將此關(guān)系應(yīng)用到凍土水熱耦合計(jì)算中［10］。文獻(xiàn)［11］通過大量試驗(yàn)回歸出未凍含水量與溫度間呈指數(shù)關(guān)系，并基于此函數(shù)關(guān)系建立凍土凍脹理論模型。未凍含水量隨外部作用（土質(zhì)、溫度及荷載等）的改變而變化，當(dāng)外部作用穩(wěn)定時(shí)，未凍水變化力圖維持平衡狀態(tài)［3，12］。此外，土中鹽分的存在降低凍土的凍結(jié)溫度，對于易形成結(jié)晶鹽的鹽分，含鹽量的增加加劇未凍含水量的變化［13］。

也有學(xué)者將水分凍結(jié)溫度歸咎于土水勢的變化，未凍含水量隨著土水勢的增大而不斷減?。?4］。文獻(xiàn)［15］依據(jù)Claperyron方程并結(jié)合Van-genuchten模型提出未凍含水量在不同溫度下的預(yù)測模型，但模型參數(shù)過多，實(shí)用性受限。朱定一等［16］從非平衡力作功出發(fā)，推導(dǎo)了反應(yīng)型固液界面上液滴體積與固液半徑和接觸角之間的關(guān)系。裴萬勝［17］基于頻域反射法在土中水分測量應(yīng)用，建立不同土壤類型未凍含水量隨溫度變化的簡單預(yù)測模型。而對于凍土，目前很少有未凍水機(jī)理的理論模型方面的文獻(xiàn)。

鑒于土中水分凍結(jié)過程理論研究相對較少，本文針對多孔介質(zhì)水溶液物理化學(xué)特性，通過冰水化學(xué)勢能平衡原理，提出了依據(jù)土體孔隙分布特征計(jì)算凍結(jié)溫度的理想公式。從理論上建立了未凍含水量與溫度的關(guān)系，可為凍土區(qū)工程防凍脹問題及成冰機(jī)理提供參考和依據(jù)。

1 理論推導(dǎo)

為了更好地研究土中水分凍結(jié)，根據(jù)土體孔隙分布特征，基于冰水化學(xué)勢能平衡理論，引入冰液表面自由能，推導(dǎo)了未凍含水量與溫度關(guān)系。其基本條件及假定如下：（1）土體為飽和；（2）不考慮土中結(jié)合水的凍結(jié)；（3）未考慮因土體凍結(jié)使土體發(fā)生的膨脹變形。其基本參數(shù)見表1。

表1 基本參數(shù)

1.1 冰水化學(xué)勢

對于純水，正常大氣壓下凍結(jié)溫度為0℃。但是在土中的水大部分存在土體孔隙中，隨著冰水壓力變化增大，凍結(jié)溫度會不斷下降。冰水相變發(fā)生時(shí)，對于任何時(shí)刻，存在冰水化學(xué)勢相等。

式中：pw為土中水溶液壓力；pi為孔隙中冰壓力；T為絕對溫度。

在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，若水壓力發(fā)生d pw微小變化，凍結(jié)溫度從T變化到T＋d T，此時(shí)新的平衡方程為

結(jié)合式（1）、式（2），可得

對于多組分體系，化學(xué)勢能為

式中：G為吉布斯自由能；nk為物質(zhì)的量。

在熱力學(xué)中，吉布斯自由能是溫度、壓力和化學(xué)勢的函數(shù)［20］，故式（3）可變?yōu)?/p>

化學(xué)勢μk對溫度和壓力的偏微分為

式中：Vk、Sk分別為物質(zhì)k的偏摩爾體積、偏摩爾熵。對于純物質(zhì)（冰和水），可取其摩爾體積vk、摩爾熵。

將式（6）和式（7）代入式（5），可得

在水溶液中存在

式中：ΔHm，w為冰水相變焓；Lwi為水的結(jié)冰潛熱。

將式（9）代入式（8），可得

1.2 冰水壓力變化下凍結(jié)溫度

土體可視為一種多孔介質(zhì)材料，力的平衡滿足有效應(yīng)力原理。在外荷載作用下滿足力學(xué)平衡［21-23］

式中：σs為顆粒間接觸應(yīng)力或有效應(yīng)力；Sl為水分所占孔隙度或孔隙比，即水分所占孔隙的體積比。對于飽和土，土體未凍結(jié)時(shí)存在Sl＝1。

對于飽和土樣，若外荷載不變，外壓主要由孔隙壓力承擔(dān)，故只考慮孔隙內(nèi)壓力變化?？紫端謨鼋Y(jié)過程中，水溶液壓力與冰壓力不斷變化 （認(rèn)為在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水壓力為0，水壓力的變化相對于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓），在此變化過程中冰壓力逐漸增大。所以對式（11）微分，可得

將式（12）代入式（10），化簡變形得

取純水初始凍結(jié)溫度為273.15 K，而冰壓力初始值為0，當(dāng)冰壓力變化Δpi時(shí)，對式（13）進(jìn)行積分為

若溫度變化較小時(shí)，認(rèn)為冰水相變潛熱Lwi為常數(shù)，由式（14）可得

式中：Tf為土中自由水的凍結(jié)溫度。

1.3 理想成冰模型

由于自由水存在土體孔隙中，冰液接觸面并非一個(gè)平面，接觸面上相變平衡必須要考慮接觸面冰水自由能。而孔隙中冰晶生長必須具備更高的化學(xué)勢，要比大體積的冰的化學(xué)勢高。故存在

小冰晶接觸面上的冰壓力變化Δpi時(shí)，化學(xué)勢的變化為

由上表可知，x26,x27的VIF值均大于10，故該兩項(xiàng)指標(biāo)存在共線性，本文在Logistic模型研究中直接剔除該兩項(xiàng)指標(biāo)。

結(jié)合式（16）和式（17），可得

為了使計(jì)算模型更加簡單，假定冰晶均勻成核，冰液接觸面為圓球面，則式（18）可化簡為

式中：rcrystal是冰晶結(jié)晶半徑。

1.4 未凍含水量與溫度函數(shù)關(guān)系建立

孔隙中未凍含水量wuw與水分所占的孔隙度之間存在的關(guān)系為

將式（20）代入到式（15）中，可得

式（21）建立了未凍含水量與溫度之間的關(guān)系，當(dāng)冰晶結(jié)晶半徑一定的情況下，未凍含水量與溫度之間呈反比例關(guān)系。隨著溫度降低，未凍含水量減小。

冰晶結(jié)晶半徑受土中孔隙大小的影響，對于任意孔隙，這一動(dòng)態(tài)過程中結(jié)晶半徑可用孔隙半徑與接觸角θ表示，冰晶填充孔隙示意圖見圖1。結(jié)晶半徑為

式中：rp為孔隙半徑，對于自由水凍結(jié)過程中，由于水膜厚度很小，可認(rèn)為自由水所占孔隙的體積近似等于孔隙體積。當(dāng)孔隙中自由水全部凍結(jié)時(shí)，其結(jié)晶半徑近似可認(rèn)為是孔隙半徑。

圖1 冰晶填充孔隙示意圖

對于任意孔隙水，當(dāng)自由水完全凍結(jié)時(shí)，式（21）可表示為

按照孔隙水由大到小的凍結(jié)順序凍結(jié)時(shí)，凍含水量為

式中：Vj為第j種孔隙體積。若已知土的孔徑分布，則可近似計(jì)算相應(yīng)未凍含水量。由式（22）～式（24）可見，當(dāng)水分從大孔隙開始凍結(jié)時(shí)，冰液接觸面近似為水平面，當(dāng)其自由水全部凍結(jié)時(shí)，凍結(jié)溫度可通過最大孔徑計(jì)算，若是無鹽且黏顆粒含量較少的土，一般可近似為0℃。若考慮土顆粒表面自由能以及土中離子作用，初始凍結(jié)溫度會小于

0℃。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 核磁共振試驗(yàn)

核磁共振法是利用試樣中的氫核受到射頻場的干擾后，測定其松弛時(shí)間不同，產(chǎn)生不同強(qiáng)度的信號，得到未凍含水量與溫度的關(guān)系。

2.1.1 試驗(yàn)條件

本試驗(yàn)采用青藏高原粉質(zhì)黏土，孔徑分布見圖2，初始含水量為18%，將土樣裝至內(nèi)徑為2 cm的聚氯乙烯管中壓實(shí)，試樣高約為5 cm，控制其干密度為1.8 g／cm3以接近天然干密度，孔隙比為0.49，用橡皮塞密封。試樣先在冷浴中恒溫，然后分階段降溫，等溫度恒定后用脈沖核磁共振儀測試可獲得土樣強(qiáng)度信號，將不同溫度下核磁共振強(qiáng)度信號轉(zhuǎn)化為質(zhì)量含水量即可得到未凍含水量與溫度關(guān)系曲線。土中水在凍結(jié)過程中先要經(jīng)歷過冷階段［24］，故在冰晶結(jié)晶中心溫度以上不會發(fā)生冰水相變，當(dāng)溫度達(dá)到結(jié)晶溫度后會跳躍到初始凍結(jié)溫度，為了便于與計(jì)算結(jié)果比較，不考慮水分凍結(jié)時(shí)的冷縮段溫度影響，直接認(rèn)為未凍含水量的變化從初始凍結(jié)溫度開始。

圖2 粉質(zhì)黏土孔徑分布

取砂土試驗(yàn)值［2］、粉質(zhì)黏土試驗(yàn)值［25］與模型計(jì)算值進(jìn)行對比。對于粉質(zhì)黏土，認(rèn)為孔徑分布與青藏高原粉質(zhì)黏土一致，砂土顆粒參數(shù)與孔徑關(guān)系見文獻(xiàn)［19，26］，其未凍含水量與溫度關(guān)系試驗(yàn)曲線見文獻(xiàn)［2，27-28］。

2.1.2 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果比較

依據(jù)式（23）和式（24），可計(jì)算不同土體在溫度變化下的未凍含水量，其結(jié)果見圖3。

圖3 不同土體未凍含水量與溫度變化曲線

通過試驗(yàn)值與計(jì)算值對比可知，計(jì)算值比試驗(yàn)值略小，這是由于計(jì)算模型未考慮土顆粒對水分的吸附作用。對于砂土，由于制樣很難保證飽和，而非飽和砂土中毛細(xì)力作用會一定程度上阻礙水分凍結(jié)，但與Dall’Amico計(jì)算模型相比，精度略微提高。所以，本模型計(jì)算式能夠較好地模擬水分凍結(jié)過程，反映不同溫度條件下未凍水含量多少。隨初始含水量增加，未凍含水量曲線會向上微小移動(dòng)。

2.2 水分傳感器監(jiān)測試驗(yàn)

水分傳感器測試原理為時(shí)域反射法，是一種利用電磁脈沖方法，根據(jù)電磁波在土層中的傳播速度，測試不同土層的介電常數(shù)，按介電常數(shù)值可獲不同土類在凍結(jié)狀態(tài)下的未凍水含量。

2.2.1 試驗(yàn)裝置

基于自行設(shè)計(jì)的凍土水熱特征試驗(yàn)箱展開未凍水變化規(guī)律測試［17］，該測試裝置主要由控溫系統(tǒng)（冷浴、冷浴液、制冷盤等）、測試系統(tǒng)（模型內(nèi)箱、溫度和水分測試傳感器等）及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)構(gòu)成，利用本裝置可實(shí)現(xiàn)對試樣的整體控溫及快速凍融，能有效測量試樣在凍融過程中的水熱特征要素。模型內(nèi)箱內(nèi)部尺寸為0.40 m×0.30 m×0.30 m（長×寬×高），試驗(yàn)中采用的冷浴液為酒精，通過制冷盤實(shí)現(xiàn)測試試樣的均勻控溫，控溫系統(tǒng)的溫度范圍為－40～50℃。測試系統(tǒng)中溫度傳感器精度為±0.05℃，水分傳感器采用美國Decagon公司設(shè)計(jì)的5TM傳感器（測試原理為FDR法，校準(zhǔn)后體積未凍含水量測試精度±2%）。溫度數(shù)據(jù)和體積未凍含水量數(shù)據(jù)同步采集。為便于對比，將監(jiān)測得到的體積含水量轉(zhuǎn)化為質(zhì)量含水量。土樣為青藏高原粉質(zhì)黏土，初始含水量為23%，基本參數(shù)如上所述。

2.2.2 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果比較

通過制冷降溫可獲得不同溫度下的土體水分含量，室內(nèi)監(jiān)測數(shù)據(jù)與模型計(jì)算值結(jié)果對比見圖4。

圖4 室內(nèi)監(jiān)測數(shù)據(jù)與模型計(jì)算值結(jié)果對比

由圖4可以看出，模型計(jì)算值能夠較好地反應(yīng)未凍含水量隨溫度變化，但由于水分傳感器探頭有一定尺寸，造成探測區(qū)域性較大，故存在一定誤差，但整體上可反映水分凍結(jié)趨勢。為了驗(yàn)證計(jì)算模型對天然凍土的適用性，采用試驗(yàn)段青藏高原楚瑪爾天然場地地下1.5 m監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。水分監(jiān)測儀器為5 T M傳感器，該處土為亞黏土，故計(jì)算模型中孔徑分布近似按圖2進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與監(jiān)測結(jié)果對比見圖5。

圖5 計(jì)算結(jié)果與監(jiān)測結(jié)果對比

由圖5可見，計(jì)算模型能夠較好地反映天然場地未凍含水量變化，但隨著溫度降低誤差逐漸增大，由于天然場地水分隨溫度梯度會發(fā)生遷移，而計(jì)算模型中未考慮水分遷移。

為了研究孔隙特征對未凍含水量隨溫度變化的影響，假定初始含水量不變，通過孔徑分布等比例減小或增大模擬不同土質(zhì)下未凍含水量隨溫度變化規(guī)律。不同孔徑下未凍含水量與溫度變化的計(jì)算結(jié)果見圖6。

由圖6可以看出，當(dāng)圖6孔徑減小時(shí)，水分凍結(jié)趨勢減緩，當(dāng)孔徑增大時(shí)，水分凍結(jié)趨勢加大。但當(dāng)自由水完全凍結(jié)時(shí)，未凍含水量隨溫度降低變化非常緩慢，這時(shí)水分的凍結(jié)主要是部分結(jié)合水的凍結(jié)。

圖6 不同孔徑下未凍含水量隨溫度變化

3 討論

公式推導(dǎo)過程中均采用絕對溫度，若用攝氏溫度表示只需要絕對溫度減去273.15即可。式（23）、式（24）揭示了水分凍結(jié)規(guī)律，水分凍結(jié)先在大孔隙中發(fā)生，初始凍結(jié)溫度由最大孔徑?jīng)Q定。隨著土體溫度降低，較小孔隙中的水分開始凍結(jié)。對于飽和土體，若知道土體孔徑分布，即可近似獲取不同孔徑中水分含量分布（將孔徑分為若干區(qū)間，每個(gè)區(qū)間內(nèi)均采用平均孔徑計(jì)算）。不同孔徑中水分凍結(jié)溫度可依據(jù)式（23）計(jì)算，而未凍結(jié)含水量等于總含水量減去凍結(jié)含水量。由于小孔隙中水分凍結(jié)需要溫度很低，故有一些小孔隙水很難凍結(jié)。在以上計(jì)算模型中，只考慮了自由水的凍結(jié)（認(rèn)為孔隙中存在的全部是自由水），未考慮結(jié)合水的凍結(jié)。結(jié)合水受到土體顆粒的強(qiáng)吸附作用，在低溫下很難凍結(jié)而以液態(tài)形式存在，故計(jì)算數(shù)值較試驗(yàn)數(shù)據(jù)較小。對于鹽漬土，土體中含有一定數(shù)量的鹽分，所以土中水是鹽溶液。鹽溶液的初始凍結(jié)溫度較純水低，具體可通過其水分活度計(jì)算初始凍結(jié)溫度［27］。初始凍結(jié)溫度的降低造成未凍含水量曲線向右移動(dòng)，而移動(dòng)的幅度主要取決于溶液中鹽分濃度和離子類型。外界大氣壓或者外界荷載的變化也造成初始凍結(jié)溫度的變化。當(dāng)外界大氣壓變化時(shí)，水溶液和冰晶體共同受同樣外界壓力，式（8）可表示為

式中：pe為外界大氣壓變化或外荷載。

通過對式（25）積分，可得

式中：Δpe為外界壓力相對與標(biāo)準(zhǔn)大氣壓變化值。

從式（26）可以看出，當(dāng)氣壓或外界壓力增大時(shí)，凍結(jié)溫度會降低。壓力變化與凍結(jié)溫度呈現(xiàn)反比例關(guān)系。通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓增大1 MPa時(shí)，土中水的初始凍結(jié)溫度會降低0.073℃。其計(jì)算規(guī)律與徐學(xué)祖等［14］、張立新等［28］的研究結(jié)果一致。凍結(jié)溫度的降低造成未凍含水量曲線向右側(cè)移動(dòng)。

同樣含水量下，孔徑越小的土，其未凍含水量隨溫度降低減少相對緩慢，而凍結(jié)初始時(shí)刻，未凍含水量變化規(guī)律基本趨于一致，溫度越低，差距越明顯。由圖6可見，隨著孔徑減小，未凍含水量曲線發(fā)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)幅度取決于土體顆粒粗細(xì)程度。為了研究冰晶對未凍含水量曲線影響，若不考慮冰晶對凍結(jié)溫度的影響，可將式（23）變形為

比較式（23）和式（27）可以發(fā)現(xiàn)，考慮冰晶的作用使未凍水量曲線向右移動(dòng)，即冰晶體的出現(xiàn)延緩了未凍含水量的凍結(jié)。

4 結(jié)論

基于冰水相變化學(xué)勢相等，利用有效應(yīng)力原理建立孔隙中冰水壓力的關(guān)系，推導(dǎo)出未凍含水量與凍結(jié)溫度的公式，并利用試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，研究表明：

（1）水分凍結(jié)與土體孔徑分布密切相關(guān)。土中水分凍結(jié)先從大孔徑開始，隨著孔徑減小，孔隙中水分凍結(jié)難度增大。

（2）大氣壓或外荷載的增大、含鹽量的增加導(dǎo)致未凍含水量與溫度曲線向坐標(biāo)右側(cè)移動(dòng)，而土中孔隙大小變化引起未凍含水量曲線旋轉(zhuǎn)，若土顆粒變細(xì)，曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

（3）孔隙中冰晶增加延緩水分凍結(jié)趨勢，該現(xiàn)象隨孔徑的減小而愈發(fā)明顯。

［1］趙其國，王浩清，顧國安.中國的凍土［J］.土壤學(xué)報(bào)，1993，30（4）：341-354.

ZH AO Qiguo，WANG Haoqing，GU Guoan.Gelisols of China［J］.Acta Pedologica Sinica，1993，30（4）：341-354.

［2］徐學(xué)祖，王家澄，張立新，等.土體的凍脹和鹽脹機(jī)理［M］.北京：科學(xué)出版社，1995.

［3］陳肖柏，劉建坤，劉鴻緒，等.土的凍結(jié)作用與地基［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［4］李寧，程國棟，徐學(xué)祖，等.凍土力學(xué)的研究進(jìn)展與思考［J］.力學(xué)進(jìn)展，2001，31（1）：95-102.

LI Ning，CHENG Guodong，XU Xuezu，et al.The Advance and Review on Frozen Soil Mechanics［J］.Advance in Mechanics，2001，31（1）：95-102.

［5］田亞護(hù)，沈宇鵬，隗新宇，等.多年凍土區(qū)路基U型水溝熱力耦合理論分析及現(xiàn)場試驗(yàn)［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2015，37（7）：92-97.

TIAN Yahu，SHENG Yupeng，WEI Xinyu，et al.Theoretical Analysis of Thermo-mechanical Coupling and Field Test on U-type Canal of Embankment in Permafrost Regions［J］.Journal of the China Railway Society，2015，37（7）：92-97.

［6］張明禮，溫智，薛珂，等.道砟層對多年凍土區(qū)鐵路路基水熱影響監(jiān)測與分析［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2017，39（4）：94-100.

ZH ANG Mingli，WEN Zhi，XUE Ke，et al.Monitoring and Analysis of Impact of Ballast Layer on Thermal-moisture Dynamics in Railway Subgrade in Permafrost Regions［J］.Journal of the China Railway Society，2017，39（4）：94-100.

［7］BLACK P B.Application of the Clapeyron Equation to Water and Ice in Porous Media［R］.U.S.Army Corps of Engineers：Cold Regions Research and Engineering Lab，1995.

［8］MA W，ZH ANG L，YANG C.Discussion of the Applicability of the Generalized Clausius-Clapeyron Equation and the Frozen Fringe Process［J］.Earth-Science Reviews，2015，142：47-59.

［9］KUJALA K.Unfrozen Water Content of Finnish Soils Measured by NMR ［C］／／International Symposium on Frost in Geotechnical Engineering.Rathmayer H.Espoo，F(xiàn)inland，1989：301-310.

［10］黃興法，曾德超，練國平.土壤水熱鹽運(yùn)動(dòng)模型的建立與初步驗(yàn)證［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，1997，13（3）：32-36.

HUANG Xingfa，ZENG Dechao，LIAN Guoping.A Numerical Model for Coupling Movement of Water Heat and Salt in Soil under the Conditions of Frozen，Unfrozen，Saturated and Unsaturated［J］.Transactions of the CSAE，1997，13（3）：32-36.

［11］SHENG D，AXELSSON K，KNUTSSON S.Frost Heave Due to Ice Lens Formation in Freezing Soils 1：Theory and Verification［J］.Nordic Hydrology，1995，26（2）：125-146.

［12］馬巍，王大雁.凍土力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2014.

［13］萬旭升，賴遠(yuǎn)明，廖夢柯.硫酸鹽漬土未相變含水量與溫度關(guān)系研究［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2015，37（12），2175-2181.

WAN Xusheng，LAI Yuanming，LIAO Mengke.Study on Relationship between Water Content of Sodium Saline Soil without Phase Transformation and Temperature［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2015，37（12），2175-2181.

［14］徐學(xué)祖，王家澄，張立新，等.凍土物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［15］DALL’AMICO M，ENDRIZZI S，GRUBBER S，et al.A Robust and Energy-conserving Model of Freezing Variably-saturated Soil［J］.The Cryosphere，2011，5（2）：469-484.

［16］朱定一，廖選茂，戴品強(qiáng).反應(yīng)型固液界面能的理論表征與計(jì)算［J］.科學(xué)通報(bào)，2013，58（2）：181-187.

ZHU Dingyi，LIAO Xuanmao，DAI Pinqiang.Theoretical Analysis of Reactive Solid-liquid Interfacial Energies［J］.Chinese Science Bulletin，2013，58（2）：181-187.

［17］裴萬勝.凍土水-熱-力相互作用過程及數(shù)值模擬研究［D］.蘭州：中國科學(xué)院大學(xué)，2015.

［18］HILLING W B.Measurement of Interfacial Free Energy for Ice／Water System［J］.Journal of Crystal Growth，1998，183（3）：463-468.

［19］胡凱，賴遠(yuǎn)明.含鹽凍結(jié)粉質(zhì)砂土的強(qiáng)度參數(shù)和強(qiáng)度準(zhǔn)則試驗(yàn)研究［J］.冰川凍土，2014，36（5）：1199-1204.

HU Kai，LAI Yuanming.Experimental Study on the Strength Parameters and Strength Criteria of Saline Frozen Silty Sand［J］.Journal of Glaciology and Geocryology，2014，36（5）：1199-1204.

［20］付獻(xiàn)彩，沈文霞，姚天揚(yáng)，等.物理化學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［21］O＇NEILL K，MILLER R D.Exploration of a Rigid Ice Model of Frost Heave［J］.Water Resources Research，1985，21（3）：281-296.

［22］CHEN F X，LI N，CHEN G D.The Theoretical Frame of Multi-Phase Porous Medium for the Freezing Soil［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24（2）：213-217.

［23］ZHOU J Z，LI D Q.Numerical Analysis of Coupled Water，Heat and Stress in Saturated Freezing Soil［J］.Cold Region Science and Technology，2012，72：43-49.

［24］炳慧，馬巍.鹽漬土凍結(jié)溫度的試驗(yàn)研究［J］.冰川凍土，2011，33（5）：1106-1113.

BING Hui，MA Wei.Experimental Study on Freezing Point of Saline Soil［J］.Journal of Glaciology and Geocryology，2011，33（5）：1106-1113.

［25］冷毅飛，張喜發(fā)，楊鳳學(xué)，等.凍土未凍水含量的量熱法試驗(yàn)研究［J］.巖土力學(xué)，2010，31（12）：3758-3764.

LENG Yifei，ZH ANG Xifa，YANG Fengxue，et al.Experimental Research on Unfrozen Water Content of Frozen Soils by Calorimetry［J］.Rock and Soil Mechanics，2010，31（12）：3758-3764.

［26］EVERETT D H.The Thermodynamics of Frost Damage to Porous Solids［J］.Transactions of the Faraday Society，1961，57（5）：1541-1551.

［27］WAN X S，LAI Y M，WANG C.Experimental Study on the Freezing Temperatures of Saline Silty Soils［J］.Permafrost and Periglacial Processes，2015，26（2）：175-187.

［28］張立新，徐學(xué)祖，張招祥，等.凍土未凍含水量與壓力關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究［J］.冰川凍土，1998，20（2）：124-127.

ZHANG Lixing，XU Xuezu，ZH ANG Zhaoxiang，et al.Experimental Study of the Relationship between the Unfrozen Water Content of Frozen Soil and Pressure［J］.Journal of Glaciology and Geocryology，1998，20（2）：124-127.