陳成 徐芳 石麗莉

【摘 要】通過(guò)對(duì)自治系統(tǒng)軌線極限集和自治系統(tǒng)無(wú)切線段的分析，得到軌線與該軌線極限集中點(diǎn)的關(guān)系。為了尋找軌線與此極限集中任意點(diǎn)的關(guān)系，首先根據(jù)極限集具體情況（極限集中是否只有奇點(diǎn)），將所研究問(wèn)題劃分為兩種情況進(jìn)行討論。根據(jù)軌線是否經(jīng)過(guò)該軌線極限集，找到在每一種情況下軌線或者屬于極限集或者無(wú)限趨近于極限集中的點(diǎn)。對(duì)軌線極限集含有常點(diǎn)的軌線而言，經(jīng)過(guò)該軌線極限集任意常點(diǎn)，必然存在自治系統(tǒng)一條無(wú)切線段或者與該軌線有可列個(gè)交點(diǎn)或者軌線經(jīng)過(guò)極限集的常點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】自治系統(tǒng)；軌線；極限集

中圖分類號(hào)： O175.12 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）27-0127-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.057

【Abstract】By analyzing the limit set of autonomous system trajectories and the non tangent segment of autonomous system，the relationship between the trajectory and the limit point of the trajectory is obtained.In order to find the relationship between the trajectories and the limit points，first of all，according to the specific conditions of the limit set （is there only a singularity in the limit concentration），the research problems are divided into two cases.According to whether the track line passes the limit set of the trajectory，we found the track line either belong to a limit set or infinitely close to a point of the limit set.Further discussion is concerned with the trajectories of the limit set with constant points.Through the limit set of the trajectories arbitrary points，a regular point of an autonomous system that has a non tangent line segment or an intersection with the track or the track line passes the limit set.

【Key words】Autonomous system；Trajectory；Limit set

0 引言

19世紀(jì)末，龐加萊開始了常微分方程定性理論的研究，當(dāng)時(shí)，他主要研究穩(wěn)定性、周期軌道的存在及回歸性等問(wèn)題，創(chuàng)立了動(dòng)力系統(tǒng)這一分支。隨后，美國(guó)、巴西、蘇聯(lián)和法國(guó)等諸多學(xué)者極大推動(dòng)了動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展，經(jīng)過(guò)一系列理論研究，他們獲得了遍歷性定理（G.D.伯克霍夫得到的）[13]、Α.Α.馬爾可夫總結(jié)伯克霍夫理論、高維系統(tǒng)的LaSalle不變引理[4]、平面系統(tǒng)著名的Poincare-Bendixson定理[2～4]和低維類梯度（或者M(jìn)orse-Smale）動(dòng)力系統(tǒng)是穩(wěn)定的（雅各布.帕里斯（Jacob Palis）提出的）等一系列結(jié)果，這些結(jié)論是與極限集密不可分。

前面結(jié)論大部分用到了本文相關(guān)結(jié)論，但未作具體闡述與證明，本文深入進(jìn)行分析并給予了詳盡的證明。本文分析軌線與此極限集點(diǎn)的關(guān)系，得到軌線與此極限集的相交情況。再得到軌線必然與經(jīng)過(guò)此軌線極限中的常點(diǎn)某一條軌線有無(wú)窮可列個(gè)交點(diǎn)，或者經(jīng)過(guò)極限集的此常點(diǎn)。本文的證明過(guò)程中結(jié)合微積分與幾何學(xué)知識(shí)，更顯形象與清晰。

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于[5]給定的平面自治系統(tǒng)

性質(zhì)2[4]若在相空間內(nèi)自治系統(tǒng)（1）的任何兩條不同的軌線不可能相交。

4 結(jié)論

自治系統(tǒng)的軌線與其相應(yīng)極限集中點(diǎn)的關(guān)系，文中不僅做了具體的說(shuō)明，還給予了詳細(xì)證明，為今后利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行自治系統(tǒng)的理論研究與實(shí)際運(yùn)用提供了理論基礎(chǔ)。而文中的定理二，具體討論極限集中常點(diǎn)所做的無(wú)切線段與此軌線的相交情況，為軌線的性質(zhì)、軌線結(jié)構(gòu)以及軌線與極限集關(guān)系的進(jìn)一步研究提供了理論基礎(chǔ)。文中第二個(gè)定理的證明，是從空間解析幾何與微積分的角度加以證明，為今后相似問(wèn)題的證明提供了新的思路和方法。

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