王新剛 張 恒 王寶艷 皇甫一樊

東北大學(xué)機(jī)械動(dòng)力學(xué)與可靠性研究中心，秦皇島,066004

0 引言

端齒盤是數(shù)控機(jī)床刀架系統(tǒng)中的關(guān)鍵部件，其分度精度決定刀架的轉(zhuǎn)位精度，進(jìn)而影響機(jī)床的加工精度。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者雖然對(duì)數(shù)控機(jī)床的可靠性進(jìn)行了大量的研究，并證明了數(shù)控機(jī)床失效時(shí)間的數(shù)據(jù)分布類型滿足威布爾分布或指數(shù)分布[1-5]，但目前對(duì)動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度精度可靠性靈敏度技術(shù)的研究還比較少。文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)端齒盤齒根輪廓曲線的優(yōu)化，提出了一種提高端齒盤可靠性的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[7]對(duì)端齒盤齒廓形狀的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，對(duì)端齒盤齒面輪廓方程進(jìn)行推導(dǎo)，并對(duì)端齒盤的加工過(guò)程進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真分析。文獻(xiàn)[8]對(duì)多齒分度臺(tái)的互研過(guò)程進(jìn)行建模和仿真，給出了齒盤分度誤差的形成機(jī)理及多種換位方法對(duì)于齒盤分度誤差的影響。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)提高端齒盤可靠性的研究主要通過(guò)分析其工作機(jī)理、齒面接觸強(qiáng)度以及設(shè)計(jì)更加合理的幾何參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文對(duì)端齒盤中的加工誤差和齒厚的磨損誤差進(jìn)行分析，建立端齒盤分度精度可靠性的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用攝動(dòng)法和可靠性設(shè)計(jì)理論，結(jié)合靈敏度技術(shù)給出端齒盤的可靠度及可靠性靈敏度的計(jì)算方法。

1 齒盤誤差分析

加工誤差和齒厚的磨損誤差對(duì)端齒盤的分度精度影響很大。本文結(jié)合幾類常見(jiàn)的齒盤加工誤差和端齒盤齒厚磨損誤差進(jìn)行端齒盤的分度精度誤差分析。

1.1 齒厚磨損誤差

齒厚誤差是實(shí)際齒厚和標(biāo)準(zhǔn)齒厚的差值。齒厚誤差會(huì)隨著端齒盤在加載和卸載過(guò)程的累積作用時(shí)間的增加而逐漸增大。端齒盤的齒厚磨損是由端齒盤兩齒面接觸部分的相對(duì)滑動(dòng)引起的，如圖1所示。根據(jù)磨損理論，這種磨損屬于黏著磨損。本文采用改進(jìn)后的Archard方程來(lái)計(jì)算齒厚這一隨機(jī)參量的磨損量。用A表示端齒盤在鎖緊并加載或剛要卸載的過(guò)程中兩嚙合齒的表面接觸區(qū)域面積，則端齒盤一個(gè)齒的磨損深度

(1)

式中，K為線性磨損量；F為摩擦副元素之間的法向載荷；L為零件間的相對(duì)滑動(dòng)距離；H為較軟材料的屈服極限值。

圖1 齒厚誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of tooth thickness error

在動(dòng)力伺服刀架的鎖緊并加載或松開的過(guò)程中，兩接觸齒面會(huì)產(chǎn)生彈性變形和相對(duì)滑動(dòng)。兩接觸齒面的壓力

F=AEε

(2)

式中，ε為應(yīng)變；E為彈性模量。

在動(dòng)力伺服刀架加工工件的加載過(guò)程結(jié)束或剛要卸載時(shí)，由于端齒盤除受鎖緊力外還會(huì)受到切向力的作用，所以對(duì)接觸齒進(jìn)行受力分析可得壓力

(3)

式中，F(xiàn)y為端齒盤鎖緊力；Fτ為切向力；z為端齒盤齒數(shù)；γ為壓力角。

在端齒盤受載過(guò)程中，定齒盤齒厚的正常變形

(4)

鎖緊齒盤齒厚的正常變形

(5)

式中，s1為定齒盤齒厚；s2為鎖緊齒盤齒厚。

在端齒盤受載過(guò)程中，兩個(gè)端齒盤總的相對(duì)滑動(dòng)距離

(6)

參照文獻(xiàn)[9]的方法可以得到端齒盤一個(gè)加載或松開的工作過(guò)程中總的齒厚磨損量

(7)

(8)

所以由端齒盤齒厚磨損所產(chǎn)生的分度誤差

(9)

式中，d為端齒盤外徑。

1.2 齒向誤差

理論齒向線和實(shí)際齒向線間的轉(zhuǎn)角為齒向誤差。圖2所示(從節(jié)平面將齒盤剖開)為端齒盤節(jié)平面上的齒向誤差情況。

圖2 齒向誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of tooth direction error

由文獻(xiàn)[10-11]可得由齒向誤差引起的分度誤差

(10)

式中，b為齒寬；Δβ為齒盤接觸齒面齒向誤差。

1.3 齒形半角誤差

端齒盤實(shí)際齒形半角和標(biāo)準(zhǔn)齒形半角的偏差為齒形半角誤差，用Δα/2表示。如圖3所示，設(shè)端齒盤嚙合時(shí)左右齒盤的齒中線彼此對(duì)準(zhǔn)，左齒盤的齒為標(biāo)準(zhǔn)齒形半角，右齒盤的齒有齒形半角誤差Δα/2，標(biāo)準(zhǔn)齒形角為θ。由文獻(xiàn)[10-11]可得由齒形半角誤差引起的分度誤差

(11)

式中，h為齒的工作高度。

圖3 齒形半角誤差示意圖Fig.3 Schematic diagram of half angle error of tooth

1.4 齒盤總的分度誤差

由齒盤的齒厚磨損誤差、齒向誤差、齒形半角誤差可以得到齒盤總的分度誤差

(12)

2 齒盤分度精度可靠性設(shè)計(jì)

齒盤的分度誤差需在允許范圍內(nèi)，即

|Δφ|≤τ

(13)

式中，τ為端齒盤允許分度誤差。

為了使端齒盤分度時(shí)滿足上述要求，端齒盤分度誤差所對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)分別為

gu(X,t)=τ-Δφ(X,t)

(14)

gm(X,t)=τ+Δφ(X,t)

(15)

將齒盤分度時(shí)的分度精度可靠性可分為兩種狀態(tài)進(jìn)行研究，即當(dāng)齒盤的分度誤差滿足Δφ≥-τ時(shí)的可靠度Rm和齒盤的分度誤差滿足Δφ≤τ時(shí)的可靠度Ru，然后可以求出齒盤總的分度精度可靠度

R=Rm+Ru-1

(16)

由于篇幅所限，本文只討論齒盤的分度誤差滿足Δφ≤τ時(shí)的可靠度。由式(12)及上述分析可得動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度誤差極限狀態(tài)方程：

(17)

基本隨機(jī)變量的向量X=(Fy,Fτ,γ,A,s1,s2,b,Δβ,d,h,Δα/2)T。運(yùn)用二階矩和攝動(dòng)方法[12-13]，對(duì)刀架齒盤進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)。對(duì)應(yīng)于輸出分量Δφ的可靠度可以定義為

(18)

(19)

式中，fX(X,t)為基本隨機(jī)參數(shù)向量X的聯(lián)合概率度函數(shù)；gu(X,t)為狀態(tài)函數(shù)，可表示動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度精度的兩種狀態(tài)。

動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度誤差極限狀態(tài)函數(shù)的均值方差可以做如下定義。將隨機(jī)參量向量X和狀態(tài)函數(shù)gu(X)表示為

X=Xd+εXr

(20)

gu(X,t)=gud(X,t)+εgur(X,t)

(21)

式中，ε為一個(gè)小參數(shù)；下標(biāo)r表示隨機(jī)參量中的隨機(jī)部分，且其具有零均值；下標(biāo)d表示隨機(jī)參量中的確定部分。

對(duì)式(20)、式(21)求數(shù)學(xué)期望可得

(22)

(23)

同理，可對(duì)隨機(jī)參量向量X和狀態(tài)函數(shù)gu(X)取方差，并根據(jù)隨機(jī)分析理論[14]可得

(24)

var(gu(X,t))=E((gu(X,t)-E(gu(X,t)))[2])=
ε2E((gur(X,t))[2])

(25)

其中，var(X)為隨機(jī)參量的方差矩陣，((X-E(X))[2]=(X-E(X))?(X-E(X))，為Kronecker冪，符號(hào)?為Kronecker積。根據(jù)矩陣值函數(shù)和隨機(jī)向量值的Taylor展開式，可以把gur(X)在E(X)=Xd處展開到一階為止，有

(26)

把式(26)代入式(25)中可得

(27)

基本隨機(jī)變量的均值E(X)和方差var(X)是已知的，可以得到可靠性指標(biāo)

(28)

利用可靠性指標(biāo)βu可以得到動(dòng)力伺服刀架端齒盤的分度精度可靠度

Ru=Φ(βu)

(29)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

3 端齒盤的可靠性靈敏度設(shè)計(jì)

動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度對(duì)其基本參數(shù)向量的均值和方差的靈敏度[15]為

(30)

(31)

式中，ψ(βu(t))為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；In為n×n維的單位矩陣；Un×n為n2×n2維的矩陣。

把已知條件和可靠度計(jì)算結(jié)果代入式(30)和式(31)，可以獲得可靠度Ru對(duì)基本隨機(jī)變量X的均值和方差的靈敏度矩陣。

4 數(shù)值算例

某型號(hào)的刀架齒盤各參量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下：允許精度誤差τ=2.7142×10-3rad，齒數(shù)z=24，線性磨損量K=4.5×10-4,較軟材料的屈服極限值H=685 MPa,彈性模量E=206 GPa, 嚙合齒表面接觸區(qū)域面積A=(148.46，0.74)mm2(括號(hào)里為該量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以下類同),端齒盤鎖緊力Fy=(56520，282.6)N, 切向力Fτ=(2215.4，21.1)N,壓力角γ=(0.52，0.0028)rad，定齒盤齒厚s1=(6.98，0.035)mm,鎖緊齒盤齒厚s2=(17.22，0.086)mm,端齒盤的標(biāo)準(zhǔn)齒形角θ=0.52 rad,齒寬b=(0.07，3.5×10-5)m，齒盤外徑d=(0.140，1.1×10-4)m，接觸齒面齒向角誤差Δβ=(0，0.0013)rad，齒形半角誤差Δα/2=(0，0.0026)rad，齒的工作高度h=(7.5，0.0375)mm。

將齒盤各結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)代入式(28)、式(29)可得圖4所示的動(dòng)力伺服刀架端齒盤的分度精度的動(dòng)態(tài)可靠性曲線。從圖4中可以看出，端齒盤的分度精度可靠度隨加載和卸載過(guò)程的累積作用時(shí)間的增加而逐漸降低。

圖4 動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度曲線Fig.4 Indexing accuracy reliability curve of the end-toothed disc of power servo tool rest

由于可靠度是隨著時(shí)間不斷變化的，所以可靠度對(duì)各參數(shù)的靈敏度也應(yīng)該是一個(gè)隨著時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)量。由式(30)、式(31)可以得到圖5、圖6所示的各設(shè)計(jì)參數(shù)向量的均值和方差的靈敏度動(dòng)態(tài)曲線。

由圖5可以看出，一些基本參數(shù)向量的均值靈敏度始終是小于零的，這些參數(shù)包括鎖緊力Fy、切向力Fτ、定齒盤齒厚s1、鎖緊齒盤齒厚s2、接觸齒面齒向誤差Δβ、齒形半角誤差Δα/2。隨著動(dòng)力伺服刀架加載和卸載過(guò)程作用時(shí)間的累積，這幾個(gè)基本參數(shù)向量的靈敏度具有先減小后增大的趨勢(shì)?；倦S機(jī)參數(shù)向量齒寬b和齒的工作高度h的均值靈敏度為零，這與其均值有關(guān)。其他基本參數(shù)向量的均值靈敏度都是先減小到負(fù)的最大，后逐漸增加到正的最大，最后減小到零。由圖6可以看出，基本隨機(jī)參數(shù)齒寬b和齒的工作高度h的方差靈敏度一直為零，而其他基本參數(shù)的方差靈敏度都是先減小到負(fù)的最大，后逐漸增加到正的最大，最后減小到零。

通過(guò)上述分析可將一些基本參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以提高齒盤的分度精度可靠性。受實(shí)際的加工條件、刀架及刀具結(jié)構(gòu)的限制，經(jīng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)后，嚙合齒表面接觸區(qū)域面積A=(158.23，0.74)mm2，齒向誤差Δβ=(0，0.00085)rad，定齒盤齒厚s1=(6.56，0.035)mm, 鎖緊齒盤齒厚s2=(16.32，0.086)mm。得到圖7所示優(yōu)化后的可靠度變化規(guī)律。從圖7中可以看到，優(yōu)化后的齒盤的分度精度在有效使用壽命內(nèi)的可靠度較原來(lái)有所提高。

5 結(jié)論

(1)受端齒盤加工誤差和齒厚磨損誤差的影響，動(dòng)力伺服刀架分度精度可靠度隨加載和卸載過(guò)程的累積作用時(shí)間的增加有逐漸減小的趨勢(shì)。

(a)Fy (b)Fτ (c)γ (d)A

(e)s1 (f)s2 (g)b (h)Δβ

(i)d (j)h (k)Δα/2 圖5 端齒盤各隨機(jī)變量期望的分度精度可靠性靈敏度曲線Fig.5 Indexing accuracy reliability sensitivity curve of the random variables’ mean of the end-toothed disc

(a)Fy (b)Fτ (c)γ (d)A

(e)s1 (f)s2 (g)b (h)Δβ

(i)d (j)h (k)Δα/2 圖6 端齒盤各隨機(jī)變量方差的分度精度可靠性靈敏度曲線Fig.6 Indexing accuracy reliability sensitivity curve ofthe random variables’ variance of the end-toothed disc

圖7 動(dòng)力伺服刀架端齒盤分度精度可靠度曲線Fig.7 Indexing accuracy reliability curve of the end-toothed disc of power servo tool rest

(2)通過(guò)對(duì)各基本參量的期望和方差的動(dòng)態(tài)可靠性靈敏度變化曲線進(jìn)行分析可知：在動(dòng)力伺服刀架端齒盤的設(shè)計(jì)或使用過(guò)程中可以適當(dāng)減小切向力、鎖緊力、接觸齒面齒向誤差、齒形半角誤差、定齒盤齒厚和鎖緊齒盤齒厚的值來(lái)提高分度精度可靠度。通過(guò)優(yōu)化嚙合齒表面接觸區(qū)域面積、定齒盤齒厚、鎖緊齒盤齒厚和齒向誤差參數(shù)，可以提高動(dòng)力伺服刀架分度精度的可靠度。

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