杜振東，趙建民，楊志遠(yuǎn)，倪祥龍

（軍械工程學(xué)院，石家莊 050003）

0 引言

隨著維修方式的不斷發(fā)展，在裝備日常保障中，基于狀態(tài)的維修（CBM）逐漸成為了裝備維修的主流方式。

目前在CBM中，對(duì)退化過(guò)程以及相關(guān)維修決策的研究已較為成熟［1-3］，但基于退化過(guò)程對(duì)備件訂購(gòu)時(shí)間進(jìn)行決策的研究相對(duì)較少。而且，研究備件的文獻(xiàn)也很少結(jié)合系統(tǒng)的退化過(guò)程進(jìn)行研究。陶小創(chuàng)等［4］通過(guò)綜合分析備件保障概率的影響因素，預(yù)測(cè)裝備的備件需求量。楊仕美等［5］利用庫(kù)存量與裝備可用度的關(guān)系，用邊際分析法對(duì)備件庫(kù)存量進(jìn)行優(yōu)化。Zhang J等［6］和 Vander Heijden M C［7］以備件滿足率為優(yōu)化目標(biāo)，以費(fèi)用為約束研究了備件優(yōu)化配置模型。趙建忠等［8］建立了改進(jìn)系統(tǒng)備件滿足率約束下的備件優(yōu)化配置模型。蔣云鵬等［9］采用Armstrong等［10］提出的經(jīng)典聯(lián)合策略，結(jié)合 Si等［11］提出的具有參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)能力的RUL預(yù)測(cè)方法，針對(duì)帶有狀態(tài)監(jiān)測(cè)的單部件系統(tǒng)，對(duì)備件的替換時(shí)間和備件的訂購(gòu)時(shí)間進(jìn)行了聯(lián)合決策。以上研究中涉及備件訂購(gòu)時(shí)間優(yōu)化決策的研究較少，且模型計(jì)算復(fù)雜，在平時(shí)的裝備備件保障中難以有效地實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用。

基于此，本文針對(duì)平時(shí)裝備保障中的備件保障問(wèn)題，著重研究了基于gamma退化過(guò)程的備件保障模型，通過(guò)連續(xù)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)信息獲得部件的退化量閾值分布，結(jié)合Armstrong等［10］提出的經(jīng)典聯(lián)合策略，以裝備維修總費(fèi)用率最小為目的，決策備件訂購(gòu)時(shí)間。

1 模型基本假設(shè)

一般來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的退化軌跡會(huì)存在差異，但仍可以通過(guò)歸納總結(jié)找到其退化規(guī)律。本文針對(duì)單系統(tǒng)（單部件）備件保障問(wèn)題進(jìn)行研究，為方便建模分析，作出如下假設(shè)：

①缺少備件所造成的停機(jī)損失費(fèi)用率和庫(kù)存費(fèi)用率均為固定值，分別表示為ks和kh；

②備件從訂貨到收貨的時(shí)間間隔是固定的，表示為L(zhǎng)；

③初始時(shí)刻備件庫(kù)存為零；

④備件的價(jià)格固定，不隨時(shí)間而變化；

⑤備件運(yùn)費(fèi)計(jì)算在價(jià)格之內(nèi)，為固定值，不單獨(dú)考慮。

2 退化與備件訂購(gòu)決策模型

2.1 退化模型

某系統(tǒng)的退化量用Y表示，系統(tǒng)在t時(shí)刻的退化水平用隨機(jī)變量y（t）表示，假設(shè)在初始狀態(tài)時(shí)的退化量為 0，即 y（0）=0，并且在退化過(guò)程中{y（t）}t≥0是非減的，失效時(shí)間為 Tf，失效閾值為 yF，當(dāng) y（t）≥yF，t≥0時(shí)，系統(tǒng)退化失效。在可能的分布中，Gamma分布可以用來(lái)描述連續(xù)的累計(jì)磨損過(guò)程（Abdel-Hameed，1975），并且具有對(duì)退化過(guò)程建模所需的所有屬性，既非負(fù)、平穩(wěn)增長(zhǎng)和從零開(kāi)始的獨(dú)立性的增量過(guò)程［12］。在實(shí)踐中，退化量的均值與方差通常是隨時(shí)間增長(zhǎng)，因此，在建模中作如下假設(shè)：

假設(shè)退化過(guò)程 y（t）服從均值為 μt，方差為 σ2μt的 Gamma分布，且 y（0）=0。Gamma分布的形狀參數(shù)為α，尺度參數(shù)為β，密度函數(shù)為，其中Γ（·）為Gamma函數(shù)，其均值與方差分別為αβ和αβ2。根據(jù)以上假設(shè)，在計(jì)算給定時(shí)間t時(shí)的退化量y（t）時(shí)具有以下的密度函數(shù)：

在t時(shí)刻，求退化量y在［0，y］的分布為

由于需要確定訂購(gòu)備件的時(shí)間，所以最后的表達(dá)式應(yīng)該是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式，所以現(xiàn)在要確定在某確定退化量y時(shí)從［0，t］的時(shí)間分布，記為Fy（t）

而且可知

其中，fy（t）是在退化量為y時(shí)的時(shí)間t的概率密度函數(shù)。

由于系統(tǒng)的退化軌跡不確定，存在著多種可能，經(jīng)歸類(lèi)可分為三類(lèi)，如圖1所示。

圖1 Fy（t）與Ft（y）關(guān)系圖

①還沒(méi)到t時(shí)刻，系統(tǒng)的退化量就已經(jīng)達(dá)到了退化量 y，如圖 1 中曲線 1、2、3、4，此時(shí)退化軌跡從退化量為y時(shí)與橫坐標(biāo)軸平行的這條線出去了；

②在t時(shí)刻系統(tǒng)的退化量達(dá)到退化量y，如圖1中曲線5，此時(shí)正是期望發(fā)生的情況；

③已經(jīng)到了t時(shí)刻，而系統(tǒng)的退化量還沒(méi)有達(dá)到y(tǒng)，如圖1中曲線6、7，要想達(dá)到y(tǒng)就需要再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，所以系統(tǒng)的退化軌跡從t時(shí)刻上與縱坐標(biāo)軸平行的那條線出去了。

不論是哪種情況，退化軌跡要么從橫著的退化量為y的這條線出去，要么從豎著的t時(shí)刻上的那條線出去，除此之外不會(huì)再出現(xiàn)其他情況，所以這兩種情況相加得到的概率為1，即：

將t時(shí)刻退化量y的分布帶到式（4）中，就能得到退化量為y時(shí)的時(shí)間分布

所以

2.2 費(fèi)用模型

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到失效閾值時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更換，這時(shí)需要考慮是否有備件?，F(xiàn)在假定初始狀態(tài)即是備件被更換上的時(shí)刻，這時(shí)候是一個(gè)周期的開(kāi)始，直到這個(gè)部件達(dá)到退化閾值，再次更換為止，這個(gè)周期結(jié)束。由于發(fā)生故障的時(shí)刻不確定，所以周期的長(zhǎng)短也不確定。本文的目的是通過(guò)研究退化規(guī)律，預(yù)測(cè)系統(tǒng)到達(dá)故障閾值的時(shí)間，決策在什么時(shí)候開(kāi)始訂購(gòu)備件使總費(fèi)用率最少。在周期過(guò)程中，有可能出現(xiàn)3種情況，如圖2所示。

圖2 備件訂購(gòu)時(shí)間決策示意圖

I還沒(méi)訂購(gòu)備件，系統(tǒng)就已經(jīng)出現(xiàn)故障；

II已經(jīng)訂購(gòu)備件，但是訂購(gòu)的備件還沒(méi)到時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)故障；

III系統(tǒng)出故障時(shí)正好有備件。

如圖2可知，達(dá)到退化閾值的時(shí)機(jī)不同，所產(chǎn)生的費(fèi)用也不同。

通常來(lái)說(shuō)，一旦設(shè)備停機(jī)，所產(chǎn)生的停機(jī)損失費(fèi)會(huì)很高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于備件的儲(chǔ)存費(fèi)用，即ks＞＞kh。

初始時(shí)刻為0，訂購(gòu)備件下單時(shí)刻t0，從下單到收到貨所需的時(shí)間為L(zhǎng)。當(dāng)系統(tǒng)在［0，t0］區(qū)間達(dá)到退化閾值時(shí)立即下單訂購(gòu)備件，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到故障閾值的時(shí)刻處于已經(jīng)下訂單到收到貨之間時(shí)，不再重新下單，而是等到備件到貨后立即進(jìn)行更換。

系統(tǒng)的退化量在時(shí)間上的分布服從函數(shù)Fy（t），其密度函數(shù)為f（t）。由式（3）可知

如果在t0+L的時(shí)刻部件還沒(méi)有到達(dá)退化閾值，而這時(shí)備件已經(jīng)到貨，這時(shí)就需要對(duì)備件進(jìn)行儲(chǔ)存，儲(chǔ)存?zhèn)浼?huì)產(chǎn)生儲(chǔ)存費(fèi)用。在一個(gè)周期中保存?zhèn)浼膬?chǔ)存費(fèi)用為：

由于系統(tǒng)每個(gè)不同個(gè)體之間會(huì)有差異，所以使用后到達(dá)退化閾值的時(shí)間也不同。但是可以根據(jù)其概率密度函數(shù)來(lái)求訂貨時(shí)間為t0，訂貨到收貨的時(shí)間間隔為L(zhǎng)時(shí)周期長(zhǎng)度的期望。該部件采用的是連續(xù)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)，當(dāng)退化量達(dá)到退化閾值時(shí)進(jìn)行部件的更換。期望的周期長(zhǎng)度為：

在整個(gè)運(yùn)行周期中，費(fèi)用率最低是我們追求的目標(biāo)，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為：

由于停機(jī)損失費(fèi)用率ks要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于備件儲(chǔ)存費(fèi)用率kh，并且儲(chǔ)存的時(shí)間越長(zhǎng)費(fèi)用越高，最好的狀態(tài)是在系統(tǒng)達(dá)到退化閾值時(shí)有備件可用，而且備件正好到貨或是儲(chǔ)存的時(shí)間很短，這種狀態(tài)最理想。經(jīng)分析訂購(gòu)的太早和太晚都會(huì)使總費(fèi)用增加，故費(fèi)用率函數(shù)是一個(gè)先減后增的函數(shù)。求得費(fèi)用率函數(shù)最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t0時(shí)刻，在該時(shí)刻訂購(gòu)備件，可以使總費(fèi)用率最小。

3 算例分析

考慮某型裝備關(guān)鍵件平時(shí)訂貨問(wèn)題，該型裝備備件保障過(guò)程可簡(jiǎn)要分為如下幾步：

第1步：訂購(gòu)備件。使用單位在合適的時(shí)間將備件需求呈報(bào)上級(jí)部門(mén)，上級(jí)部門(mén)馬上向廠家訂貨。

第2步：廠家備貨。廠家需要一定的時(shí)間生產(chǎn)準(zhǔn)備所訂購(gòu)備件。

第3步：發(fā)貨運(yùn)送。廠家發(fā)貨后需要一定時(shí)間將備件運(yùn)送至相關(guān)使用部門(mén)。

由經(jīng)驗(yàn)可知從呈報(bào)備件需求到收到備件的間隔時(shí)間是基本固定的，變化范圍很小，基本可忽略。

該型裝備造價(jià)昂貴，且需要連續(xù)工作，一旦停機(jī)將造成重大的經(jīng)濟(jì)損失，所以要盡量保證在裝備達(dá)到退化閾值時(shí)有備件。但是該備件的保存費(fèi)用比較昂貴，長(zhǎng)期儲(chǔ)存?zhèn)浼?huì)增加使用費(fèi)用，而且該備件有儲(chǔ)存壽命，不適合長(zhǎng)期儲(chǔ)存。所以該裝備采取的方法是平時(shí)不儲(chǔ)存?zhèn)浼谘b備使用一段時(shí)間后訂購(gòu)備件，且一次只訂購(gòu)一個(gè)，使備件在部件達(dá)到故障閾值時(shí)到貨，這樣既不會(huì)產(chǎn)生儲(chǔ)存費(fèi)用亦不會(huì)產(chǎn)生停機(jī)損失費(fèi)用。

然而這只是理想情況，現(xiàn)實(shí)中部件的退化軌跡不會(huì)完全相同，其到達(dá)故障閾值的時(shí)刻也會(huì)不同。通過(guò)對(duì)大量退化軌跡的分析，研究其退化規(guī)律，制定合適的訂貨時(shí)間點(diǎn)，使其總費(fèi)用率最小才是要解決的問(wèn)題。

已知，該部件的訂購(gòu)價(jià)格是固定的，不隨訂購(gòu)時(shí)間而變，運(yùn)費(fèi)也是固定的，其儲(chǔ)存費(fèi)用率為1000元/d，停機(jī)損失費(fèi)用率為33 000元/d，退化閾值為0.1，當(dāng)退化量達(dá)到0.1時(shí)即進(jìn)行部件的更換。從呈報(bào)備件需求到收到貨的時(shí)間是45d。由大量的該部件退化數(shù)據(jù)求得μ=0.000 2/d，σ2=0.02。將這些數(shù)據(jù)帶入本文所建模型，采用小步長(zhǎng)積分法進(jìn)行近似計(jì)算，求得訂貨時(shí)間和費(fèi)用率的關(guān)系如圖3所示。

圖3 備件訂購(gòu)時(shí)間與日費(fèi)用率之間的關(guān)系圖

經(jīng)過(guò)對(duì)圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最小費(fèi)用率為767.698 6元/d，最佳的訂貨點(diǎn)是運(yùn)行196 d的時(shí)候訂貨，此時(shí)的費(fèi)用率最小，提前或推后都會(huì)使費(fèi)用率增加。

從所有數(shù)據(jù)中，按每隔10 d取一個(gè)數(shù)據(jù)的方式，取100 d～400 d時(shí)的數(shù)據(jù)，給出如表1。

將所給數(shù)據(jù)繪制成折線圖，如圖4（橫坐標(biāo)為天數(shù)，單位：d；縱坐標(biāo)為費(fèi)用，單位：元；范圍:100 d～400 d）。

可以看出，保存費(fèi)用隨著訂貨時(shí)間的推遲而下降，損失費(fèi)用隨著訂貨時(shí)間的推遲而增高，但是總費(fèi)用確是先下降后上升的過(guò)程。由圖3（橫坐標(biāo)為天數(shù)，單位：d；縱坐標(biāo)為費(fèi)用率，單位：元/d）可以看出費(fèi)用率也是先下降后上升的過(guò)程，總費(fèi)用和費(fèi)用率幾乎在同時(shí)達(dá)到最低點(diǎn)，這就是實(shí)際中想要的結(jié)果。通過(guò)這個(gè)實(shí)例可以證明在實(shí)際應(yīng)用中，使用本文所建模型進(jìn)行備件訂購(gòu)時(shí)間的決策，可以有效減少備件儲(chǔ)存和使用過(guò)程中的總費(fèi)用和費(fèi)用率。

表1 各項(xiàng)費(fèi)用數(shù)據(jù)表

圖4 各項(xiàng)費(fèi)用變化曲線圖

4 結(jié)論

本文研究了基于gamma退化過(guò)程的備件訂購(gòu)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)部件建立gamma退化模型，經(jīng)推導(dǎo)計(jì)算得到任意退化量下的使用時(shí)間分布，將該退化模型與改進(jìn)的費(fèi)用率模型聯(lián)合使用，在費(fèi)用約束條件下，決策了最優(yōu)備件訂購(gòu)時(shí)間，使費(fèi)用率最小。并且通過(guò)案例分析對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證。所得結(jié)果表明，該模型在實(shí)際備件訂購(gòu)過(guò)程中確實(shí)有應(yīng)用價(jià)值，在所決策的時(shí)間內(nèi)訂購(gòu)備件確實(shí)能降低總費(fèi)用，使費(fèi)用率最低。過(guò)早和過(guò)晚都會(huì)使費(fèi)用率增加。

［1］葛小凱，胡劍波，張博鋒.退化系統(tǒng)狀態(tài)維修決策與維修活動(dòng)建模 ［J］ 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013，35（1）：102-108.

［2］谷玉波，賈云獻(xiàn)，張英波.基于Gamma退化過(guò)程的剩余壽命預(yù)測(cè)及維修決策優(yōu)化模型研究［J］.軸承，2013（4）：44-49.

［3］石慧，王玉華，曾建潮.MRO系統(tǒng)動(dòng)態(tài)維修策略的建模與優(yōu)化［J］.火力與指揮控制，2012，37（6）：181-187.

［4］陶小創(chuàng)，郭霖翰，肖波平，等.基于備件保障概率分配的備件需求量預(yù)測(cè)模型［J］.兵工學(xué)報(bào)，2012，33（8）：975-979.

［5］楊仕美，石忠義，翟旭升，等.基于重要度的航材備件庫(kù)存綜合優(yōu)化模型 ［J］.火力與指揮控制，2014，39（8）：109-113.

［6］ ZHANG J，ZHANG J.Fill rate of single-stage general periodic review inventory systems［J］.Operations Research Letters，2007，35（4）：503-509.

［7］VANDER H M C.Near cost-optimal inventory control policies for divergent networks under fill rate constraints［J］.Inte-ernational Journal of Production Economics，2000，63（2）：161-179.

［8］趙建忠，李海軍，葉文，等.改進(jìn)系統(tǒng)備件滿足率約束條件下的備件優(yōu)化配置建模 ［J］.兵工學(xué)報(bào)，2013，34（9）：1187-1192.

［9］蔣云鵬，郭天序，周東華.基于剩余使用壽命預(yù)測(cè)的替換時(shí)間和備件訂購(gòu)時(shí)間聯(lián)合決策［J］.化工學(xué)報(bào)，2015，66（1）：284-290.

［10］ARMSTRONG M J，ATKINS D R.Jointoptimization of maintenance and inventory policies for a simple system［J］.IIE Transaction，1996，28（5）：415-424.

［11］SI X，WANG W，CHEN M.Adegradation path-dependent approach for remaining useful life estimation with an exact and closed-form solution ［J］.European Journal of Operational Research，2013，226（1）：53-66.

［12］賈希勝.以可靠性為中心的維修決策模型［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2007.