許士清

【摘要】本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，在分析學(xué)生圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中遇到的困惑及其原因的基礎(chǔ)上，提出了微型教學(xué)設(shè)計(jì)、直觀化教學(xué)、完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)等教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線與方程；教學(xué)策略

作為高中平面解析幾何的核心內(nèi)容，圓錐曲線與方程知識(shí)歷來(lái)是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，并且學(xué)生得分率較低，一做就錯(cuò)的現(xiàn)象較為突出.究其原因是學(xué)生未能準(zhǔn)確理解圓錐曲線定義的生成，致使對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等常?；煜瑢?duì)數(shù)形結(jié)合思想未能全面掌握.因此，在這種背景下，探究高中圓錐曲線與方程教學(xué)策略具有重要意義.

一、學(xué)生在圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中遇到的困惑

（一）對(duì)圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一性缺乏有效理解

對(duì)于橢圓、雙曲線、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的形式記憶不清，理解過(guò)于表面化，對(duì)于圓錐曲線的變式題目，未能從定義入手，常常粗心大意，會(huì)而不對(duì)的現(xiàn)象十分普遍.例如，某一拋物線的焦點(diǎn)在直線x-y+2=0上，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).在求這一拋物線方程時(shí)，許多學(xué)生只求出了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，究其原因是對(duì)于拋物線的定義理解不夠全面，未能做到數(shù)形結(jié)合.

（二）對(duì)圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)記憶模糊，分辨不清

對(duì)于“漸近線”“離心率”等概念不清，無(wú)從下手，知識(shí)表面化，看不到概念與概念之間的聯(lián)系.例如，已知某一雙曲線漸近線方程為3x±4y=0，則該曲線的離心率是多少？很多學(xué)生對(duì)于“漸近線”“離心率”的概念不清，加之“漸近線”“離心率”與標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c之間無(wú)法建立有效聯(lián)系，致使學(xué)生面對(duì)此題時(shí)無(wú)從著手.

（三）解答題的正確率較低，缺乏分析題目的能力

查閱歷年高考試卷，學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的得分率較低，并且常常和壓軸題結(jié)合在一起，究其原因是圓錐曲線的變式題目較多，加之在解題過(guò)程中涉及二元一次方程組，許多學(xué)生能夠根據(jù)題意列出方程組，但在解方程組過(guò)程中常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，自主學(xué)習(xí)能力和計(jì)算能力不強(qiáng)，致使解題的正確率很低.

二、學(xué)生圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中問(wèn)題形成原因分析

深入分析圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，既有學(xué)生認(rèn)知方面的原因，又有教師教學(xué)策略的影響，當(dāng)然也有圓錐曲線與方程本身的因素.

一是學(xué)生認(rèn)知方面.絕大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程這章知識(shí)時(shí)，很難將已學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)，例如，如何推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解點(diǎn)的軌跡等知識(shí)，未能充分發(fā)揮新舊知識(shí)之間的聯(lián)系.同時(shí)，不注重定義、圖像、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)在做題過(guò)程中的重要作用，不注重自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成，加之拋物線、橢圓、雙曲線在學(xué)習(xí)內(nèi)容上的相似性，致使在做題過(guò)程中容易混淆.

二是教師方面.大多數(shù)教師在本章課程講解過(guò)程不注重學(xué)生知識(shí)的生成過(guò)程，不能將本章知識(shí)與平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)思想有效結(jié)合起來(lái)，并且一味地側(cè)重于標(biāo)準(zhǔn)方程公式的記憶，致使學(xué)生死記硬背，不能做到融會(huì)貫通.同時(shí)，部分教師思想觀念落后，僅注重知識(shí)的傳遞，而忽略了情感在學(xué)習(xí)過(guò)程中的作用，致使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低下，厭學(xué)情緒嚴(yán)重.

三是圓錐曲線與方程內(nèi)容本身的特點(diǎn).相比高中數(shù)學(xué)其他教學(xué)內(nèi)容，本章知識(shí)難以理解，例如，“漸近線”“離心率”等概念.加上圓錐曲線與方程的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，除了移項(xiàng)外，還需平方去根號(hào)，這對(duì)于計(jì)算能力差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，其內(nèi)容本身難以理解.

三、高中圓錐曲線與方程教學(xué)策略

（一）微型教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)中明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)倡導(dǎo)合作交流、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索等多種學(xué)習(xí)方式，但在實(shí)施過(guò)程中如果安排探究活動(dòng)較多，則難以在40分鐘的課堂時(shí)間內(nèi)有效完成.因此，筆者借鑒微課理念，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)出一個(gè)教學(xué)片斷，這個(gè)片斷既可以是某個(gè)問(wèn)題的探究，也可以是某個(gè)教學(xué)難點(diǎn)的突破，還可以是新知識(shí)的導(dǎo)入，在具體教學(xué)過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)貙?shí)施微型教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生加深對(duì)概念的理解，弄清概念的來(lái)龍去脈.

例如，在講解“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，筆者利用所學(xué)知識(shí)——二次函數(shù)圖像為背景，誘導(dǎo)出新概念.

首先，在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，筆者根據(jù)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的橢圓和雙曲線等有關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)了以下題目：

從橢圓的定義可知，題目1的軌跡是橢圓，在題目1的提示下，很多學(xué)生得出題目2是雙曲線的一支，但在解決題目3時(shí)，從條件分析，既不是拋物線，又不是雙曲線，只能按照常規(guī)思維進(jìn)行化簡(jiǎn)，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)、去根號(hào)等步驟后，題目3的方程化簡(jiǎn)后變化y=x28，即引入本節(jié)課程主題——拋物線.

其次，剖析問(wèn)題3的幾何意義，并判斷是否具有一般性結(jié)論.原方程等價(jià)于x2+（y-2）2=|y+2|，根據(jù)所學(xué)集合意義，其等式右邊表示點(diǎn)P（x，y）到直線y=-2之間的距離，等式左面表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，2）之間的距離.

最后，類(lèi)比推廣，抽象出拋物線的概念.組織學(xué)生描述出拋物線的定義，對(duì)其進(jìn)行完善，并應(yīng)用多媒體進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示，進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)會(huì)運(yùn)算化簡(jiǎn)求軌跡、根據(jù)定義判斷軌跡等解析幾何的基本思想和方法.

（二）直觀化教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)離不開(kāi)直觀化教學(xué)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖形計(jì)算器和幾何畫(huà)板是常用的畫(huà)圖軟件.這些軟件的使用能夠?yàn)楦咧袑W(xué)生“做數(shù)學(xué)”提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)的輔助下，利用幾何畫(huà)板展示動(dòng)態(tài)圖形，使原本抽象的概念更加形象.

例如，在組織學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓概念時(shí)，筆者應(yīng)用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示橢圓的生成過(guò)程，使學(xué)生更好理解.

（1）打開(kāi)新繪圖，應(yīng)用畫(huà)圓工具作一個(gè)圓，并將圓心標(biāo)記為A；

（2）在圓上取一點(diǎn)M，在圓內(nèi)取一點(diǎn)B，并連接MA，MB；

（3）選取線段MB的中點(diǎn)，并標(biāo)記為點(diǎn)E，過(guò)E作MB的垂線，并與MA交于點(diǎn)P；

（4）選擇點(diǎn)P追蹤點(diǎn)，選擇點(diǎn)M生成點(diǎn)的動(dòng)畫(huà)，最終效果如圖所示.

（三）完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中具體反映，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)完成教學(xué)，注重圓錐曲線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”相結(jié)合，加強(qiáng)不同知識(shí)之間的聯(lián)系.同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)定義的幾何意義，在學(xué)生頭腦中形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，具體應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：一是在教學(xué)中盡量不要一節(jié)課從頭講到尾，要給你學(xué)生充分的思考和總結(jié)時(shí)間，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的題目一定要認(rèn)真研究，有效避免會(huì)而不對(duì)現(xiàn)象；二是教師要督促學(xué)生強(qiáng)化鞏固所學(xué)知識(shí)，留置的課后作業(yè)要及時(shí)檢查，確保學(xué)生對(duì)教材知識(shí)在做作業(yè)過(guò)程中做一個(gè)再認(rèn)識(shí)；三是本章知識(shí)結(jié)束后，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立一個(gè)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)一步深化知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感；四是在每次考試后評(píng)卷過(guò)程中，教師應(yīng)讓學(xué)生知道每道題目考查的知識(shí)點(diǎn)，充分鍛煉學(xué)生提取、分析數(shù)學(xué)信息的能力.

總之，在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)采用微型教學(xué)設(shè)計(jì)和直觀化教學(xué)策略，最大限度地幫助學(xué)生完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，只有這樣，才能達(dá)到活學(xué)活用的目的，才能使教師的教和學(xué)生的學(xué)實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王韡.圓錐曲線與方程教學(xué)反思[J].理科考試研究，2013（1）：13-14.

[2]肖學(xué)勤.新課程下如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線有效教學(xué)[J].新課程學(xué)習(xí)（下），2014（12）：74.endprint