陳偉軍，龍世瑜，劉如軍

電磁場(chǎng)與電磁波是電子信息類專業(yè)本科生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課,該課程涵蓋的內(nèi)容是電子信息類專業(yè)本科階段所應(yīng)具備的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要組成部分[1-2]。然而,該課程比較抽象、難以理解,并包含大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo),尤為復(fù)雜的是電磁場(chǎng)的計(jì)算問題[3-4]。對(duì)于那些具有簡(jiǎn)單邊界條件和場(chǎng)域幾何形狀規(guī)則的電磁場(chǎng)計(jì)算問題可以采用解析方法,對(duì)于多數(shù)復(fù)雜的電磁場(chǎng)問題的求解必須采用數(shù)值計(jì)算方法。本科教學(xué)中常介紹的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法有矩量法[5]、有限元法[6]和有限差分法[7-8]。

隨著計(jì)算電磁學(xué)的快速發(fā)展,許多新的數(shù)值計(jì)算方法涌現(xiàn),為本科階段電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的教學(xué)帶來了較大的挑戰(zhàn)。本文介紹計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域中一種新的無條件穩(wěn)定的快速時(shí)域數(shù)值計(jì)算方法——基于加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式(weighted laguerre polynomials,WLPs)的時(shí)域有限差分(finite-difference time-domain,FDTD)方法的基本原理及應(yīng)用。把該方法引入到電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì)中,豐富和發(fā)展了學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)知識(shí)的理解,能有效提高學(xué)生的能力水平。

1 加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的正交性

定義如下Laguerre多項(xiàng)式[9-10]：

式中,Lp(t)是關(guān)于時(shí)間變量t≥0而階數(shù)為p階的Laguerre多項(xiàng)式。其滿足加權(quán)函數(shù)e-t的正交性關(guān)系

式中,δpq是Dirac函數(shù)。因此,根據(jù)式(2),可以獲得一個(gè)正交基函數(shù)系 {φ0,φ1,φ2,…},

式中,ˉt＝s·t,s是時(shí)間尺度因子。另外,Laguerre多項(xiàng)式具有以下的遞推關(guān)系式：

對(duì)Laguerre多項(xiàng)式的時(shí)間一階求導(dǎo),有：

2 WLP-FDTD算法的公式體系

二維簡(jiǎn)單、無耗、均勻媒質(zhì)中,TEz波的時(shí)域Maxwell方程表示為[11]：

式中,ε表示介電常數(shù),μ表示磁導(dǎo)率。使用加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式作為時(shí)域基函數(shù),式 (8) ～式(10)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量可以展開為[12]：

這樣,原本是與時(shí)間和空間有關(guān)的電磁場(chǎng)分量變換成在與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)和與空間有關(guān)的函數(shù)的乘積,有效地實(shí)現(xiàn)了時(shí)間和空間的分離。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)為：

把式 (11)～式 (16)代入式 (8)～式 (10)中可以得到：

為了消除時(shí)間變量,利用Galerkin方法,在式 (17)～式 (19)兩邊同時(shí)乘以權(quán)函數(shù)φq(ˉt),并在區(qū)間積分,可以得到：

其中,Δxi,j,Δyi,j分別表示電場(chǎng)x分量和y分量所處網(wǎng)格的邊的長(zhǎng)度；Δˉxi,j,Δˉyi,j表示向量磁場(chǎng)位置之間的距離。二維TEz波的電磁場(chǎng)分布如圖1所示。式(23)～式(25)中不包含時(shí)間變量,電場(chǎng)和磁場(chǎng)變量之間是隱式關(guān)系。為了求得電場(chǎng)和磁場(chǎng)變量,可以把式(23)～式(25)構(gòu)造成矩陣方程：

圖1 TEz波瞬態(tài)電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在網(wǎng)格中的位置

其中,Eq＝ {Exq,Eyq,Ezq}T,Jq＝ {Jxq,Jyq,0}T,{βq-1}是與電場(chǎng)和磁場(chǎng)有關(guān)的0階到q-1階所有項(xiàng)的求和。WLP-FDTD算法中電場(chǎng)和磁場(chǎng)變量之間是成隱式關(guān)系的,并產(chǎn)生了一個(gè)大型稀疏系數(shù)矩陣A。這個(gè)系數(shù)矩陣A與加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的階數(shù)無關(guān),故式 (26)的求解可以僅對(duì)系數(shù)矩陣A只進(jìn)行一次求逆或通過LU分解,然后按階數(shù)步進(jìn)求解。

通過按照階數(shù)步進(jìn)求解式 (26),每一階時(shí)域基函數(shù)的系數(shù)可以計(jì)算出來,即電場(chǎng)和磁場(chǎng)的展開系數(shù)。從式(11)～式(13)可以得到時(shí)域電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的數(shù)值解：

其中,N表示準(zhǔn)確表征電場(chǎng)和磁場(chǎng)所需要的階數(shù)。

3 仿真實(shí)例

考慮一個(gè)含有薄PEC擋板的二維平行板波導(dǎo),如圖2所示。為了模擬1μm厚的薄導(dǎo)體平板,在PEC擋板處沿電磁波傳播方向劃分為2個(gè)網(wǎng)格,網(wǎng)格的大小是0.5μm×0.005 m,計(jì)算空間采用了漸變網(wǎng)格,如圖3所示,總的網(wǎng)格數(shù)量是120×12。由最小的網(wǎng)格尺寸,可以確定CFL時(shí)間穩(wěn)定性條件Δt＝3.333 fs。WLP-FDTD方法中,計(jì)算數(shù)值積分所需的時(shí)間間隔取值為Δt＝4.0 ps。采用正弦調(diào)制高斯脈沖作為入射電流激勵(lì)源,其表達(dá)式為：

其中,Td＝1/2fc,Tc＝3Td。 我們選擇 fc＝1 GHz,Tf＝11.71 ns,時(shí)間尺度因子s＝6.07×1010,步進(jìn)階數(shù)N＝150[13]。

圖2 包含有金屬擋板的平行板波導(dǎo)

圖3 金屬擋板附近的漸變網(wǎng)格

如圖4所示,表示在P1和P2點(diǎn)y方向的瞬態(tài)電場(chǎng)。WLP-FDTD算法和傳統(tǒng)的FDTD算法計(jì)算的結(jié)果一致。如表1所示,給出了兩種方法數(shù)值仿真的CPU計(jì)算時(shí)間和步進(jìn)數(shù)目。由表1可以知道,WLP-FDTD方法仿真需要的步進(jìn)階數(shù)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的FDTD方法的時(shí)間步進(jìn)數(shù),其CPU時(shí)間只有傳統(tǒng)的FDTD方法的15.5。本文所有的計(jì)算都是在配置為AMD Phenon II×6 2.80GHz 8 GRAM的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

圖4 電場(chǎng)Ey的時(shí)域波形圖

表1 帶金屬擋板的雙導(dǎo)體平行板傳輸線效率比較

4 WLP-FDTD算法的難點(diǎn)

WLP-FDTD算法是電磁場(chǎng)領(lǐng)域的一種新的數(shù)值計(jì)算方法,公式復(fù)雜、難以理解,作為本科生電磁場(chǎng)與電磁波的課程設(shè)計(jì)有一定的難度。但是,能力較強(qiáng)的學(xué)生通過一段時(shí)間的努力后,能夠比較順利的完成,各方面的能力也得到較大的提高。根據(jù)學(xué)生完成該算法的情況,有幾個(gè)關(guān)于該算法的難點(diǎn)需要關(guān)注。一是Laguerre多項(xiàng)式的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法；二是矩陣方程中系數(shù)矩陣的構(gòu)建；三是根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的展開系數(shù)還原時(shí)域電場(chǎng)和時(shí)域磁場(chǎng)。學(xué)生可以通過查閱相關(guān)資料,相互討論等方法解決以上3個(gè)難點(diǎn),正確完成該算法。

5 結(jié)束語

本文主要介紹了加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式的基本概念、正交特性及在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了二維TEz波的WLP-FDTD算法的公式體系并用一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了WLP-FDTD方法的正確性和高效性。本文所表達(dá)的方法作為一種新的無條件穩(wěn)定的快速時(shí)域算法可以作為本科電磁場(chǎng)課程設(shè)計(jì),能有效幫助學(xué)生充分理解電磁場(chǎng),提高學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)的知識(shí)水平,并對(duì)幫助本科生理解電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算具有一定的參考意義。

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