林喆陽

摘要：為了更好地理解飛機的飛行原理，研究機翼形狀與升空受力之間的關系，本文設計了一種簡潔的飛行器機翼模型。通過數學建模，結合平面幾何、二分法和工程繪圖等相關知識，確定該機翼的表面形狀，以及利用伯努利原理，估計該機翼的升力系數，以及能夠提供的升力與速度之間的關系。

關鍵詞：伯努利原理 數學建模 機翼形狀 升力系數

一、飛機的飛行原理

《詩經·大雅》中有“鳶飛戾天，魚躍于水”的詩句，表達了古人對飛鳥游魚的羨慕。1903年，美國萊特兄弟發(fā)明了飛機，實現了人類飛上天的愿望。一百多年來，無數航空先輩設計了各種飛行器。直至今日，全球每年航班總數以千萬架次計，極大方便了人們的出行。

我曾乘坐飛機旅行，當時特別好奇，飛機為什么能飛上天？在閱讀了大量的科普書籍后，我漸漸了解了飛機的飛行原理。原來，秘密就在飛機的機翼上。雖然各種飛機的機翼形狀不完全一樣，但它們都有一個共同點，就是機翼的上表面有一定向上凸起的弧度，下表面平整。從機翼橫截面來看，上表面長度比下表面長度要長。

1726年，丹尼爾·伯努利提出流體流速越大，壓力越小，這就是著名的“伯努利原理”，也是飛機的飛行原理。如圖1所示，飛機在高速運動中的表面長度更長，氣流流速更大，導致機翼上方的壓力比下面的小，機翼上下壓力差產生了一個升力，飛機便能夠飛起來。

圖1 機翼形狀與伯努利原理示意圖

利用伯努利原理，可將機翼上下任意兩點的壓強差用方程表達為：

P1++ρgh1=P2++

ρgh2 （1）

其中，P1、P2為機翼上下兩點的壓強，v1、v2為該點空氣流速，ρ為氣流密度，g為重力加速度，h1、h2為所在高度。不過，需要注意的是，該方程僅適用于黏度可以忽略不計、不可被壓縮的理想流體。在氣流密度與外界空氣密度相同，且忽略兩計算點的高度差（非常小的值）時，公式（1）可以寫成：

P1+=P2+ （2）

因此，對整個機翼而言，受到的升力為：

L =（P2-P1）S =ρ（-）S

（3）

方程式中，S為機翼平面投影面積。

實際上，飛機的升力還和迎角、飛機構型等因素有關，設計師一般采用經驗公式估計飛機的升力：

L = CLS （4）

其中，CL為升力系數，v為機翼整體與空氣的相對速度。飛機上下表面氣體流速差及飛機構型等變量都包含在升力系數CL中，設計師一般通過風洞實驗得到該數值。

二、機翼的數學建模

在了解了飛行的基本原理后，我們要如何設計機翼形狀呢？在參考了各種飛機的機翼形狀及結構后，我設計的機翼開狀是：翼展為8米，截面寬為2米，下表面是平直的，上表面凸起的形狀可以用一個分段函數來描述，一部分是一段圓弧曲線，而另一部分是指數函數y=e-2x曲線的一部分。為了盡量減小空氣阻力，上表面這兩條曲線必須盡量光滑地銜接起來，同時機翼前緣的夾角設計為45°。我設想的機翼橫截面形狀如圖2所示。那么，我們該如何確定機翼的表面形狀呢？

圖2 機翼的數學建模

由于機翼的截面長為2米，所以函數y=e-2x在x=2處需要作一個截斷，此處y≈0.0183米，相對于總長度而言很薄。由于機翼前緣的夾角設計為45°，即在圖中坐標原點處，圓的切線為y=x，進而我們又可以得出圓心的位置在y=-x這條直線上?，F在的關鍵問題是確定圓心的位置，使得圓正好與函數y=e-2x相切，并求出切點的位置。

三、機翼截面形狀的確定

設圓心坐標為（x0，y0），圓與函數y=e-2x切點坐標為（x1，y1）。根據所建模型，可以知道：y0=-x0，y1=e-2x1。圓的定義為：

（x-x0）2+（y-y0）2=r 2 （5）

其中，r為圓的半徑。將上述條件代入，可得到第一個關于x1和x0的方程：

（e-2x1+x0）2+（x1-x0）2=2 （6）

分解可得：

e-2x1+2x0e-2x1+ -2x1x0= 0

（7）

從圓與函數y=e-2x相切可以知道，切點處切線與圓心到切點間的方向是垂直的。切點處切線斜率即為函數y=e-2x在（x1， y1）處的導數，即：

k1=y'=-2e-2x1 （8）

而圓心（x0， y0）到切點（x1， y1）的方向向量所在直線的斜率為：

（9）

由于兩條向量相互垂直，所以它們所在直線斜率乘積為-1。于是，我們可以得到第二個關于x1和x0的方程：

（10）

分解得：

2e-4x1+2x0e-2x1+x0-x1=0 （11）

方程式（7）和方程式（11）是包含有未知數x0，x1的兩個等式。聯(lián)立這兩個等式，原則上，我們可以求解出x0和x1的值，進而求出y0和y1的大小。然而，實際上，需要精確計算解析是非常困難的，但我們可以采用“二分法”來求數值解。首先，我們觀察第一個方程可知，如果給定一個x1值，則必定有一個x0值與之相對應。只有同時滿足兩個方程的x1和x0值，才能為這組方程組的解。將方程式（7）和方程式（11）變形，可以得到：

（12）

（13）

由于機翼寬度為2米，x0和x1的取值范圍為0～2，我們可以將公式（12）和（13）的曲線畫在圖中。如圖3所示，我們可以看到這兩條曲線有一個交點，對應于（x0， x1）≈ （0.5663，0.8441），即為近似的共同解。由這個結果可以很快得到：y0≈-0.5663，y1≈0.1849；圓心位置約為（0.5663，-0.5663），圓與函數y=e-2x相切的切點位置約為（0.8441，0.1849）。

圖3 “二分法”求解x0， x1的示意圖

我們可以檢驗一下切點是否在圓上。圓心到坐標原點的距離即為圓的半徑：≈

0.80087（米），切點到圓心的距離為：≈

0.80092（米）。這樣，r和s的誤差就非常小，絕對誤差僅0.05毫米，在誤差允許的范圍內。為了方便后面的計算，我們取圓的半徑為0.801米。至此，機翼的表面形狀被完全確定。

要計算機翼上下兩側的壓力，我們需要知道機翼截面上下兩側弧線的長度。下表面為直線，長度S下=2米。上表面由兩個部分組成，即圓弧部分的S1和指數函數部分的S2，參見圖2。坐標軸原點、圓心、切點構成了一個等腰三角形，而且三條邊都已知，圓弧部分的弧長可根據張角很快計算出來，S1= 0.9126米。指數部分的弧長計算十分復雜，我們可以采用工程繪圖軟件將這部分曲線畫出來，得到S2= 1.1726米。這樣，上表面總長度為S上= S1+S2= 2.0852米。

四、機翼升空受力分析

早期理論認為兩個相鄰的空氣質點同時由機翼的前端往后走，一個流經機翼的上緣，另一個流經機翼的下緣，兩個質點應在機翼的后端會合，也就是機翼上緣空氣和下緣空氣到達機翼后端的時間是相同的。然而，大量的風洞實驗表明：兩個相鄰空氣的質點中，流經機翼上緣的質點會比流經機翼的下緣質點優(yōu)先到達后緣?？諝赓|點經上表面從機翼前緣到達后緣的時間約為經下表面所用時間的0.90倍～0.95倍。我們取0.95為預估值，可得機翼上下表面壓力差：

對比經驗公式（4）：L =

CLS，可以知道該機翼的升力系

數約為0.20445。

已知機翼展長為8米，展寬為2米，面積為16平方米，在20℃時，空氣密度ρ≈1.205千克/立方米。據此，我們可以計算升力與速度的關系。例如在不考慮空氣阻力的情況下，當飛行器速度為200米/秒（720千米/小時）時，機翼受到的升力約為7.8836×104牛，重力加速度取9.8牛/千克，則該機翼產生的升力足夠維持重8044千克（約8噸）飛行器的飛行。

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（作者系北京市第一六一中學高三2班學生）