王斌?陳柏健

摘要：廟會(huì)的娛樂(lè)項(xiàng)目吸引了很多游客的參與，但是許多人卻無(wú)功而返。經(jīng)過(guò)我們的觀察發(fā)現(xiàn)，其中獎(jiǎng)率低的原因就在于場(chǎng)地的設(shè)計(jì)。為了提醒和警示那些只為了獎(jiǎng)品的參與者小心為妙，不要對(duì)獎(jiǎng)品抱有太大希望，要以?shī)蕵?lè)為主。我們展開(kāi)了此課題的研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；統(tǒng)計(jì)分析；分類討論；概率計(jì)算

廟會(huì)游戲的玩家必須站在外圈外，將一枚游戲幣（直徑為2cm每枚5元）拋入場(chǎng)地，若硬幣全部落在玻璃圓盤(pán)內(nèi)，則獲得大獎(jiǎng)（零售價(jià)大約為30元），若未全部落在圓盤(pán)內(nèi)或落在圓盤(pán)外皆無(wú)獎(jiǎng)。我們采集了其他玩家參與此游戲的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)20個(gè)參與者，一共投了168次，只投中了6次，概率僅有3.57%。由此可見(jiàn)，這個(gè)游戲的中獎(jiǎng)概率極低。

概率如此之低的游戲，導(dǎo)致其因素都哪些呢？通過(guò)觀察和思考我們發(fā)下，可能導(dǎo)致中獎(jiǎng)概率太低的因素有如下三條：

（1）面積：圓盤(pán)面積、圓盤(pán)外外場(chǎng)內(nèi)面積

（2）因?yàn)椴牧显?，硬幣落在圓盤(pán)內(nèi)彈起，落在圓盤(pán)外不彈起

（3）扔硬幣的起始高度、力度（拋物線）

在此基礎(chǔ)上我們建立模型進(jìn)行分析。

由于硬幣在玻璃上運(yùn)動(dòng)會(huì)彈起，而硬幣在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡近似拋物線，所以將運(yùn)動(dòng)的軌跡抽象成幾個(gè)拋物線的組合，如下圖所示。

其中，硬幣從手拋出時(shí)刻位于第一個(gè)拋物線任意一點(diǎn)，人可以控制的只有h和s。

h：硬幣第一個(gè)拋物線的高度

s：硬幣經(jīng)過(guò)的第一個(gè)拋物線在地面上的投影長(zhǎng)度

由于硬幣和玻璃間碰撞會(huì)損失能量，所以設(shè)每一次彈起的高度會(huì)有減小，但我們假設(shè)拋物線的形狀不變（a）不變，只是拋物線的位置變化了。

m：相鄰兩個(gè)高度值，后一個(gè)與前一個(gè)之間的比值，即為衰減率

在圖中的直角坐標(biāo)系中，對(duì)于第一個(gè)拋物線，有點(diǎn)（0，0）點(diǎn)（s/2，h）點(diǎn)（s，0），所以第一個(gè)拋物線解析式為y=（-4h/s）×x×（x-s），所以易知A1A2=s，

第二個(gè)拋物線中，有點(diǎn)（s，0），拋物線的a與第一個(gè)拋物線相等，頂點(diǎn)到x軸的距離是mh，所以第二個(gè)拋物線的方程為y=（-4h/s）×（x-s）×（x-s-），所以易知A2A3=，第三個(gè)拋物線中，有點(diǎn)（s+，0），拋物線的a與第一個(gè)拋物線相等，頂點(diǎn)到x軸的距離是m2h，所以第三個(gè)拋物線的方程為y=（-4h/s）×（x-s-）×（x-s--）所以易知A3A4=

……

由上述的規(guī)律，可知AnAn+1=（n大于等于2）

所以X==s+{}

概率計(jì)算

若硬幣第一次落地剛好落在第一個(gè)圓盤(pán)最右端，最后停止在圓盤(pán)上，則s=129，這時(shí)可以算出：X=s+{} ≈141.29

若硬幣最后停止在第一個(gè)圓盤(pán)最左端，則X=s+{}=159

解出s≈145.93，所以易知可行的s范圍是[129， 145.93]

以此類推，可以計(jì)算在第二個(gè)乃至第五個(gè)圓盤(pán)降落的s范圍。

綜上所述，則可行的s的范圍：

此時(shí)的概率為：

P1=≈12.3538%

由于硬幣在落入盤(pán)中時(shí)，有可能會(huì)滑動(dòng)導(dǎo)致滑出圓盤(pán)，極大地縮小了概率，為了統(tǒng)計(jì)滑出圓盤(pán)的概率，我們?cè)谧灾茍?chǎng)地上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)：從圓盤(pán)上10cm以各個(gè)方向，適宜的力度向盤(pán)上投擲硬幣（模擬硬幣最后著陸的過(guò)程）。計(jì)算未滑出的概率P0=27/160≈16.88%

綜上所述：最終的概率為P=P0×P1=2.09%

結(jié)論

本文先進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)出平均概率大約為1.07%。后又進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)，使用一種高概率的方法進(jìn)行投擲，統(tǒng)計(jì)出平均概率大約為1.26%。之后，我們又建立了數(shù)學(xué)模型，算出了這種概率高的方法的理論概率為2.09%。

從這里我們可以看出，即使是用高概率的方法進(jìn)行投擲，概率仍只有1～2%，足以體現(xiàn)出此游戲概率之低。

通過(guò)對(duì)廟會(huì)游戲得獎(jiǎng)概率的研究與計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)此類游戲的得獎(jiǎng)概率極低，我們?cè)诖撕粲醮蠹?，在玩此類游戲時(shí)不要抱有一定要得獎(jiǎng)的心理，重在參與，體驗(yàn)其中的樂(lè)趣。其次，我希望游戲舉辦者可以參考以上概率，根據(jù)情況提高得獎(jiǎng)概率，以便吸引更多的玩家參與進(jìn)來(lái)。

作者簡(jiǎn)介：

王斌（2000.07.19）男，籍貫：北京昌平，學(xué)校：北京市昌平第二中學(xué)；

陳柏?。?000.04.14）男，籍貫：北京昌平，學(xué)校：北京市昌平第二中學(xué)。endprint