邱洋青

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

廣義變分不等式組和非擴(kuò)張映射對的Wiener-Hopf方程技巧

邱洋青

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

將含松弛共強(qiáng)制映射的廣義變分不等式組和非擴(kuò)張映射對轉(zhuǎn)化為廣義非線性Wiener-Hopf方程組,構(gòu)造新的迭代算法,證明廣義變分不等式組解集和非擴(kuò)張映射對積集公共解的存在性及迭代序列的強(qiáng)收斂性。

Wiener-Hopf方程技巧;松弛共強(qiáng)制映射;迭代算法;非擴(kuò)張映射

0 引言

將變分不等式轉(zhuǎn)化為算子方程,最終化為不動點(diǎn)問題,是求解變分不等式普遍使用的方法,其中之一是將變分不等式轉(zhuǎn)化為Wiener-Hopf方程[1-9]。設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集,C(H)是H中所有非空緊子集的全體,Ai:C×C→H是非線性映射,Bi:H×H → C(H)是集值映射,i=1,2。尋找(x,y)∈C×C,w1∈B1(x,y),w2∈B2(x,y),使得

式(1)稱為廣義變分不等式組,它的解記為SVI(C,Ai,Bi)。又設(shè)S1,S2:C→C是2個(gè)非擴(kuò)張映射,它們的不動點(diǎn)集的積集記為F(S1)×F(S2)。設(shè)SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2))非空,本文將Wiener-Hopf方程技巧用于求解廣義擬變分不等式組解集和非擴(kuò)張映射對不動點(diǎn)積集的公共解問題,是文獻(xiàn)[1-9]中主要結(jié)果的整合、改進(jìn)和推廣。

若A1=A2=A,B1=B2=B,則式(1)化為:找x∈C,w∈B(x)使得

它是由Noor[1]引進(jìn)并研究的。

1 預(yù)備知識

定義1[5,10]設(shè)X是自反Banach空間,T :X →X?是單值映射,如果存在2個(gè)常數(shù)α,β＞0,使得

其中D(T)表示T的定義域,G(T)表示T的圖,則稱T為(α,β)-松弛共強(qiáng)制的。

引理1[11]設(shè)H是Hilbert空間,C是H的非空閉凸子集,PC表示H到C上的投影算子,給定點(diǎn)z∈H,則?x∈C滿足不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

引理2[11]由引理1定義的投影算子PC:H→C是非擴(kuò)張的,即

‖PC(u)-PC(v)‖ ≤ ‖u-v‖, ?u,v ∈ H

引理3 (x,y,w1,w2)是式(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)(x,y,w1,w2)滿足

式中:(x,y)∈C×C,w1∈B1(x,y),w2∈B2(x,y),PC是H 到C上的投影算子;ρ1,ρ2＞0是常數(shù)。

證明 由引理1即得。

2 Wiener-Hopf方程技巧及迭代算法

建立Wiener-Hopf方程。

設(shè)I是H中的恒同映射,令QC=IPC,S1,S2:C → C是非擴(kuò)張映射,尋找z1,z2,w1,w2∈ H,使得w1∈ B1(PCz1,PCz2),w2∈B2(PCz1,PCz2)且

稱為廣義非線性Wiener-Hopf方程組。

值得注意的是:當(dāng)B1=B2,S1=S2=I時(shí),即為 Wiener-Hopf方程[1-3]。

定理2 廣義變分不等式組式(1)的解集和非擴(kuò)張映射對不動點(diǎn)積集存在公共解(x,y)∈SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2))當(dāng)且僅當(dāng)廣義非線性Wiener-Hopf方程組(4)有解,(x,y)∈C×C,(z1,z2)∈H×H,w1∈B1(PCz1,y),w2∈B2(x,PCz2),且滿足

式中,ρ1,ρ2＞ 0 是常數(shù)。

證明 (1)必要性。若(x,y)∈SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2)),則x=S1x,y=S2y。又由引理3可知,(x,y)滿足式(3)。令z1=x-ρ1(A1(x,y)+w1),z2=y-ρ2(A2(x,y)+w2),則由式(3)知,x=PCz1,又x=S1x,可得x=S1PCz1。同理,由y=S2y和y=PCz2可得y=S2PCz2,從而式(5)成立,且

上式就是廣義Wiener-Hopf方程組(4)。

(2)充分性。由上述過程反推即得。定理證完。

利用定理2,構(gòu)造以下迭代算法:

算法1 設(shè)Ai:C×C→H,Bi:H×H→C(H),S1,S2:C→ C是非擴(kuò)張映射對,任意∈B1(x0,y0),∈B2(x0,y0),由以下迭代程序

式中,n=0,1,···。

3 主要結(jié)果

下面求解廣義變分不等式組解集和非擴(kuò)張映射對不動點(diǎn)積集的公共逼近解。

定理3 設(shè)H是實(shí)Hilbert空間;C?H為非空閉凸子集;S1,S2:C → C是非擴(kuò)張映射;Ai:C × C → H 是 (ξi,ηi)-Lipschitz連續(xù)且關(guān)于第i變元是(αi,βi)-松弛共強(qiáng)制映射;Bi:H×H→C(H)是(γi,ζi)-?H-Lipschitz連續(xù)映射,i=1,2。若

由式(8)有

由A1關(guān)于第一變元的松弛共強(qiáng)制(見定義1)及Lipschitz連續(xù)性,有

及

由式(10)及B1的?H-Lipschitz連續(xù)性,有

由式 (13～16)有

同理有

又由式(6～7)及引理2有

和

由式 (17～20)有

式中

其次,由式(19～20)知,{xn},{yn}也是H中的Cauchy列,從而存在x?,y?∈H,使得當(dāng)n→∞時(shí),xn→x?,yn→y?。由式(16)可知,{}也是H 中的Cauchy列。同理,{}也是H中的Cauchy列。

因?yàn)锽1(x?,y?)是緊集,所以∈B1(x?,y?)。同理可得,∈B2(x?,y?)。由PC,A1,A2的連續(xù)性及式(6～9),令n→∞,有

即式 (5)成立。從而由定理 2,有 (x?,y?) ∈SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2))。定理證完。

注1 定理3研究的是廣義變分不等組解集與非擴(kuò)張映射對不動點(diǎn)積集的公共元問題,是文獻(xiàn)[5～7]中所研究問題的推廣。具體來說,文獻(xiàn)[5]研究的是變分不等式組問題,文獻(xiàn)[6～7]研究的是一個(gè)變分不等式的解和一個(gè)非擴(kuò)張映射不動點(diǎn)的公共元問題。

若A1=A2=A,B1=B2=B,S1=S2=I,由算法1,為式(2)構(gòu)造相應(yīng)的迭代算法:設(shè)A:C→ H,B:H→ C(H),任意給定z0∈H,x0=PCz0,w0∈B(x0),由以下迭代程序得到序列{xn}、{zn}和{wn}。

其中 n=0,1,···。

由定理 3,αi= ηi= ζi=0,ξ2= γ2=0,即有以下結(jié)論:

推論1 設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集,A:C→H是β-強(qiáng)單調(diào)ξ-Lipschitz連續(xù)映射,B:H→C(H)是γ-?H-Lipschitz連續(xù)映射,若ρ滿足以下條件:

則 存 在 (x?,w?) 是 式 (2)的 解,z?滿 足 相 應(yīng)的Wiener-Hopf方程,且由新算法生成的序列{xn},{zn},{wn} 分別強(qiáng)收斂于 x?,z?,w?。

[1] NOOR M A.Some developments in general variational inequalities[J].Applied Mathematics&Computation,2004,152(1):199-277.

[2] SHI P.Equivalence of variational inequalities with Wiener-Hopf equations[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1991,111(2):339-346.

[3] NOOR M A.Wiener-Hopf equations and variational inequalities[J].J Optim Theory Appl,1993,79(1):197-206.[4] NOOR M A.Iterative schemes for multivalued quasi variational inclusions[J].J Global Optim,2001,19(2):141-150.

[5] QIU Y Q,LI X L.The existence of solutions for systems of generalized set-valued nonlinear quasi-variational inequalities[J].Fixed Point Theory&Applications,2013(1):1-15.

[6] NOOR M A,HUANG Z Y.Wiener-Hopf equation technique for variational inequalities and nonexpansive mappings[J].Applied Mathematics&Computation,2007,191(2):504-510.

[7] QIN X L,NOOR M A.General Wiener-Hopf equation technique for nonexpansive mappings and general variational inequalities in Hilbert spaces[J].Applied Mathematics&Computation,2008,201(1/2):716-722.

[8] 聞道君,宋樹枝,龍憲軍.非凸變分不等式和非擴(kuò)張映象的Wiener-Hopf方法[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,34(1):5-8.

[9] 王月虎,張從軍.廣義均衡問題旳算法及強(qiáng)收斂性——基于Wiener-Hopf方程技巧[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2015,35A(4):695-709.

[10]邱洋青,劉理蔚,蘭麗英.一類新的含(A,η)-增生算子的廣義混合擬-似變分包含組[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2011,13(4):375-382.

[11]張石生.變分不等式和相補(bǔ)問題理論及應(yīng)用[M].上海:上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社,1991.

The Wiener-Hopf Equation Technique of a System of Generalized Variational Inequalities and a Couple of Nonexpansive Mappings

QIU Yangqing
(School of Science,Shanghai Polytechnic University,Shanghai 201209,China)

A system of generalized variational inequalities involving relaxed co-coceive mappings and a couple of nonexpansive mappings were transferred into the system of generalized Wiener-Hopf equations.A new iterative algorithm was constructed.Finally,the existence of the common solution of the system of generalized variational inequalities and the couple of nonexpansive mappings and the strong convergences of iterative sequences were proved.

Wiener-Hopf equations technique;relaxed co-coceive mappings;iterative algorithms;nonexpansive mapping

O 177.91

A

1001-4543(2017)04-0291-04

10.19570/j.cnki.jsspu.2017.04.007

2017-07-13

邱洋青(1981–),女,江西贛州人,講師,博士,主要研究方向?yàn)樽兎植坏仁郊跋嘌a(bǔ)理論。E-mail:yqqiu@sspu.edu.cn。

上海第二工業(yè)大學(xué)?；?EGD17XQD04)資助