平志海 鐘鳴 龍志林

(湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,湘潭 411105)

基于逾滲理論的非晶合金屈服行為研究?

平志海 鐘鳴 龍志林?

(湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,湘潭 411105)

非晶合金,逾滲理論,剪切失穩(wěn),逾滲閾值

1 引 言

非晶的結(jié)構(gòu)和很多性質(zhì)遺傳于過冷液體,其內(nèi)部原子排列長程無序、短程有序,是復(fù)雜的多體相互作用體系,非晶合金是合金液態(tài)相在一定冷卻速率下被凍結(jié)為非晶態(tài)(玻璃態(tài))而形成,因此可以把非晶合金看作是“凍結(jié)的液體”[1].這類兼具玻璃與金屬雙重特性的新材料展現(xiàn)出了優(yōu)異的力學(xué)、物理和化學(xué)性質(zhì),例如高強度、耐腐蝕和熱磁性等[2,3],但大部分非晶合金主要缺陷在于其室溫下宏觀塑性較差.非晶合金的塑性變形是由于其內(nèi)部一系列原子擴散和自由體積變化或局部“流動單元”的演變和自組織行為引起[4,5],一些學(xué)者認為剪切帶的失穩(wěn)是自由體積和熱耦合軟化共同作用的結(jié)果[6?8],而剪切帶的形成實質(zhì)上是非晶合金塑性流動局部化的結(jié)果.為描述非晶塑性流變過程,Spaepen[9]提出了以單原子躍遷為基礎(chǔ)的“自由體積(free volume)”模型,Argon[10]提出了以原子團簇(atomic cluster,AC)協(xié)同剪切運動為基礎(chǔ)的“剪切轉(zhuǎn)變區(qū)”(shear transformation zone,STZ)模型.基于自由體積理論,Wang等[11]認為非晶合金剪切帶失穩(wěn)存在臨界約化自由體積濃度xC.那么,相對應(yīng)的非晶合金剪切帶失穩(wěn)時的臨界STZs的濃度到底是多少呢？STZ是原子流動時產(chǎn)生的一種動態(tài)缺陷,不能從某確定時刻的非晶固體原子圖像上事先確定SZT.另外,其定義的是包含一定數(shù)量的易于發(fā)生塑性變形且擁有剩余自由體積的AC的STZ,如果知道在非晶合金失穩(wěn)時這些AC臨界濃度,則可從另外一個側(cè)面揭示STZ與塑性變形的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

對一個阻塞(jamming)系統(tǒng)(如非晶合金、顆粒、泡沫等無序體系屬于阻塞系統(tǒng)),Liu和Nagel[12]提出溫度、應(yīng)力和密度都能夠使之發(fā)生阻塞-流動轉(zhuǎn)變.對于非晶合金這類阻塞系統(tǒng),逾滲理論是一種較好的處理方法[13].逾滲理論(percolation theory)是由Boardbent和Hammersley[14]在1956年提出的,最初逾滲模型被用于描述流體在隨機多孔無序介質(zhì)中的隨機擴展和流動.基于逾滲理論并結(jié)合橡膠顆粒填充尼龍復(fù)合體系的增韌性研究,Wu[15]提出了脆韌轉(zhuǎn)變(brittleductile transition,BDT)理論;李強等[16]在研究非極性PP/EPDM(聚丙烯/三元乙丙橡膠)共混體系時對BDT理論進行了改進和完善,使其能夠適用于分析聚合共混物的韌脆轉(zhuǎn)變行為.受改進后的BDT理論啟發(fā),本文將逾滲理論應(yīng)用到非晶合金的屈服行為研究,建立了非晶合金在剪切失穩(wěn)或屈服時STZ中AC臨界濃度的逾滲模型,計算了該濃度的閾值和這些AC的尺寸大小,并得到了一些有意義的結(jié)論.

2 理論分析與模型建立

2.1 “自由體積”理論和“STZ”理論

“自由體積”理論認為局部的一系列單個原子的躍遷是非晶合金塑性變形的根源.Spaepen[9]將自由體積vf和流變或應(yīng)變速率˙γ有效地聯(lián)系在一起,得到

式中f是Debye頻率或原子振動頻率;?f是一個體積比例分?jǐn)?shù),均勻變形時,?f～1;k是Boltzmann常數(shù);T是溫度;τ是切應(yīng)力;va是原子體積;v?是原子硬球模型體積,滿足va=1.25v?;?Gm是單個原子躍遷的能量勢壘.分析表明,非晶合金的屈服是由于局部自由體積濃度的持續(xù)增加導(dǎo)致非晶合金軟化.由于實際的自由體積難以測量,于是引入約化自由體積分?jǐn)?shù)x,其定義為x=vf/αv?(α是對自由體積點重復(fù)計算的幾何修正因子,一般取值在0.5—1之間).借用引入的約化自由體積x,發(fā)現(xiàn)其與黏滯系數(shù)η有如下關(guān)系:

由(2)式可知,當(dāng)x持續(xù)增加,黏滯系數(shù)η逐漸減小,原子的流動性增強,最終導(dǎo)致非晶合金屈服變形.

STZ模型[10]從原子或分子水平上將“自由體積”理論進行拓展和延伸,彌補了自由體積模型不能準(zhǔn)確描述低溫狀態(tài)下非晶合金塑性流動過程的不足.STZ模型認為,非晶合金塑性流動是非晶合金中的原子團簇或集團等基本流動單元的時空演化,不是單原子的躍遷或自由體積的變化.總之,無論是自由體積模型還是STZ模型,雖然兩者在適用范圍上有所不同,但這兩種模型均能很好地解釋非晶合金的一些屈服行為,如常溫下的局域變形與軟化、高溫下的均勻變形等.

2.2 STZ的逾滲模型

如前所述,對于非晶合金失穩(wěn),自由體積的增加有一個臨界值(～2.4%).對應(yīng)于STZ區(qū),如圖1(a)所示,在一個STZ區(qū)域內(nèi),包含著一定數(shù)量的AC,這些AC是富含自由體積的,在外界條件作用下,每個AC會在自己的小范圍內(nèi)發(fā)生較大的流動現(xiàn)象.如圖1(b),當(dāng)這些ACs達到一個臨界值時,在STZ內(nèi)會形成一個貫穿整個區(qū)域的主連通團,從而導(dǎo)致單個STZ發(fā)生屈服,而當(dāng)多個STZ發(fā)生屈服時就會演化為宏觀尺度的剪切帶.

圖1 非晶合金中含有不同大小AC的STZ示意圖 (a)AC數(shù)量未達到臨界值;(b)AC數(shù)量達到臨界值并形成逾滲連通集團Fig.1.The STZ containing atomic clusters of different sizes in amorphous alloys:(a)The schematic graph of the STZ with the number of ACs not reaching the critical value;(b)the schematic graph of the STZ with the number of ACs reaching a critical value and forming a percolation connected group.

圖2 單個AC的等效及屈服 (a)包含原子和自由體積的單個AC;(b)等效自由體積球和應(yīng)力體積球;(c)AC內(nèi)原子在τ作用下的流動和應(yīng)力體積球的屈服Fig.2.Equivalence and yielding of a single AC:(a)The simple AC containing atoms and free volume;(b)the stress volume sphere involving the equivalent free volume sphere;(c)the flowing of atoms in the AC and the yielding of the stress volume sphere under shear stress.

在圖2(a)中是單個AC,在這里,我們定義的AC是包含一定數(shù)量的原子和自由體積的一個空間區(qū)域,即圖2中虛線所包圍的區(qū)域.如圖2(b),根據(jù)BDT理論的思想,我們將AC中的自由體積等效為一個球體,以這個球為中心,在一定厚度內(nèi)形成一個應(yīng)力體積球.圖2(c)是當(dāng)剪應(yīng)力τ達到非晶合金臨界剪應(yīng)力τC時,AC中的原子的流動,對應(yīng)著應(yīng)力體積球的屈服.

圖3是對應(yīng)力體積球的模型簡化示意圖,d是等效自由體積球的直徑,S是應(yīng)力體積球的直徑,TC是臨界應(yīng)力體積球間的厚度.

圖3 等效應(yīng)力體積球示意圖Fig.3.The schematic diagram of the equivalent stress volume sphere.

依據(jù)Wu[15]的觀點,當(dāng)非晶合金發(fā)生韌脆轉(zhuǎn)變時,臨界應(yīng)力體積球間的厚度TC和自由體積球直徑d有如下關(guān)系:

其中θf是自由體積球的體積分?jǐn)?shù),它不同于約化自由體積分?jǐn)?shù).x的表達式為

(4)式中的n是單個AC中所可能包含的原子個數(shù);是這些原子的平均直徑,其中非晶合金的平均原子半徑可由公式[17]得到,Ai是非晶合金成分中原子半徑為ri的原子所占的體積分?jǐn)?shù).自由體積球的體積分?jǐn)?shù)θf應(yīng)為

將(4)式代入到(5)式中,就會得到θf與約化自由體積分?jǐn)?shù)x的關(guān)系:

由自由體積球的體積分?jǐn)?shù)θf就可以得到應(yīng)力體積球的體積分?jǐn)?shù)φs[16].

從(6)式可以看出,α是常數(shù),θf只與約化自由體積分?jǐn)?shù)x有關(guān),當(dāng)x達到臨界值時,θf也就達到其臨界值θfC,那么φs理論上也會達到其臨界值φsC(到后面的計算中會發(fā)現(xiàn)φsC與θf無關(guān)),而φsC正是我們最終所要獲取的.下面以Cu25Zr75為例,計算φsC的大小.

查閱文獻[18]知Cu原子直徑D1=0.256 nm,Zr原子直徑D2=0.32 nm,以Cu-Zr二元合金的成分比例可算得平均原子直徑ˉD=0.306 nm.根據(jù)自由體積理論的觀點[9],自由體積v應(yīng)該滿足v6v?,但v又不能過小,應(yīng)該大于最小的原子硬球模型體積,即dmin6d6dmax,其中這里我們假設(shè)AC在STZ內(nèi)是隨機分布的,而等效的自由體積球在各個AC中是大小相等的單分散分布的,即d的取值是上述范圍內(nèi)的某一固定值.依據(jù)Huang等[19]和劉龍飛課題組[20,21]對α值的討論,取α=0.75較為合適,將xC～0.024代入(6)式,再代入(3)和(7)式得到了臨界塑脆轉(zhuǎn)變閾值φsC=0.524.另外,由(4)式可以得到單個AC在臨界狀態(tài)下包含的原子數(shù)的范圍是33—64.

通過上面的估算,可以認為:對于非晶合金中的STZ,由于其內(nèi)部擁有一定體積大小(原子數(shù)為33—64)的較易發(fā)生流動的原子團,在達到了臨界濃度(單分散分布時φsC=0.524)時,STZ發(fā)生軟化,然后連通其他的STZ形成了一個宏觀上較大的軟化區(qū),體系發(fā)生韌脆轉(zhuǎn)變.

顯然,在上面的假設(shè)中,我們的設(shè)想過于理想與簡單化,考慮到非晶合金內(nèi)部原子結(jié)構(gòu)的無序性,d的取值不應(yīng)該是單分散的固定值,而是多分散的.因此,我們考慮分散程度對φs的影響,特引入一個重要的分散度σ參數(shù).分散度描述的是等效自由體積球的大小情況和自由體積的聚集程度,其大小分布說明在STZ內(nèi)形成次連通團時有先后、大小之分.

由于可以將自由體積球看作是嵌入非晶合金基體中的第二相[22],故可將此等效為兩相聚合共混體系,所以等效自由體積球的直徑d(d∈[dmin,dmax])服從對數(shù)正態(tài)分布[23],對其定義域內(nèi)任意直徑di,其概率密度f(di)可表示為[24]

由(10)式可知,當(dāng)所有自由體積球直徑d均取某一直徑di時,分散度σ與自由體積球的直徑di和平均自由體積球直徑有關(guān)系:lnσ=因此我們按如下規(guī)則取σ值:當(dāng)時(小分布),當(dāng)時(大分布),假設(shè)取最大值與最小值時的分散度是相同的,那么就可以依據(jù)得到Cu25Zr75二元非晶合金中的平均直徑于是就可以得到σ的最小值σ0=1和最大值σmax=1.12,這樣,無論di取何值,其直徑的分散度均在[1,1.12]內(nèi).

[25],可具體知道相鄰應(yīng)力體積球間厚度T與分散度σ的關(guān)系:

將(11)式代入(3)式中便得到新的應(yīng)力體積球的體積分?jǐn)?shù)φ′s的表達式:

在(11)和(13)式中,相鄰應(yīng)力體積球間厚度T和新的體積分?jǐn)?shù)φ′s中均有兩個變量:自由體積球的體積分?jǐn)?shù)θf和分散度σ,所以我們主要探討這兩個變量對T和φ′s的影響.

3 結(jié)果與討論

我們在初始約化自由體積濃度[20,21]x0～0.008和臨界失穩(wěn)的約化自由體積濃度xC～0.024之間取五組值,在分散度σ∈[1,1.12]之間取七組值,由(11)式計算結(jié)果如表1和圖4.由表 1和圖4可知,應(yīng)力體積球間厚度T隨著自由體積分?jǐn)?shù)θf的增加而減小,T的減小使得相鄰的應(yīng)力體積球間相互作用加強,可能導(dǎo)致應(yīng)力場相互交迭,引起大量剪切屈服區(qū),出現(xiàn)較多次生逾滲團,非晶合金的塑性變形變大,這說明自由體積濃度影響著非晶合金在變形過程中的塑性強弱[26];當(dāng)分散度變化時,其值卻基本保持不變,說明T值的大小與分散度σ無關(guān).在初始自由體積分?jǐn)?shù)θf=0.6%時,由于自由體積的濃度較低,而等效自由體積球的直徑有一定的范圍限制,所以應(yīng)力體積球間厚度的值較大;當(dāng)約化自由體積的濃度達到臨界值2.4%時,自由體積分?jǐn)?shù)也達到其臨界值1.76%,此時的臨界應(yīng)力體積球間厚度TC約為0.57 nm.

表1 在不同自由體積分?jǐn)?shù)和不同分散度情況下計算的相鄰應(yīng)力體積球間厚度(T)值Table 1.Calculated T values at different free volume fractions and different dispersities.

圖4 自由體積分?jǐn)?shù)θf和分散度σ對T的影響Fig.4.Effects of free volume fraction θfand dispersityσ on T.

分別固定一個變量時,計算θf和σ對φ′s值的影響,由(13)式計算結(jié)果如表2、表3、圖5和圖6所示.從表2、表3、圖5和圖6可知,當(dāng)分散度σ=1時,即等效自由體積球直徑分布是單分散的,無論自由體積分?jǐn)?shù)為多少,應(yīng)力體積球體積分?jǐn)?shù)都保持為0.524的恒定值;無論等效自由體積球直徑處于小分布范圍內(nèi)還是大分布范圍內(nèi),當(dāng)分散度σ值變化,不再是單分散分布時,對于同一σ值,即便自由體積分?jǐn)?shù)θf在不斷增加,雖有極其微弱的減小,但整體上卻保持恒定.另外,在小分布范圍內(nèi),即隨著σ值增加,的值明顯變大,而σ的變大說明STZ內(nèi)的自由體積呈現(xiàn)無規(guī)分布,在外力作用下較易形成次連通團卻不會形成逾滲連通團,說明非晶合金的斷裂強度愈高,所以逾滲閾值就會變大;在等效應(yīng)力體積球直徑處在大分布范圍內(nèi),即隨著σ值增加的值明顯變小,而σ的變大說明自由體積在STZ內(nèi)偏聚,在外力作用下較易形成逾滲連通團卻不會形成較多次連通團,說明非晶合金的斷裂強度較低,所以逾滲閾值就會變小,非晶合金也易發(fā)生破壞.但是σ=1和σ=1.12都不太科學(xué),由于等效自由體積球直徑符合對數(shù)正態(tài)分布,因此,非晶合金的塑脆轉(zhuǎn)變閾值應(yīng)在0.524±0.05之間.

表2 在不同自由體積分?jǐn)?shù)和不同分散度情況下計算的Table 2.Calculated values at different free volume fractions and different dispersities

表2 在不同自由體積分?jǐn)?shù)和不同分散度情況下計算的Table 2.Calculated values at different free volume fractions and different dispersities

約化自由體積濃度x/% 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4自由體積球分?jǐn)?shù)θf/% 0.6 0.9 1.2 1.5 1.76 φ′s/%σ=1.0 0.524 0.524 0.524 0.524 0.524 σ=1.02 0.549 0.548 0.547 0.546 0.546 σ=1.04 0.578 0.576 0.574 0.572 0.571 σ=1.06 0.609 0.605 0.602 0.600 0.598 σ=1.08 0.643 0.638 0.634 0.631 0.629 σ=1.10 0.681 0.675 0.670 0.665 0.661 σ=1.12 0.722 0.714 0.708 0.704 0.701

圖5 自由體積分?jǐn)?shù)θf和分散度σ對 的影響Fig.5.Effects of free volume fraction θfand dispersity

表3 在不同自由體積分?jǐn)?shù)和不同分散度情況下計算的Table 3.Calculated values at different free volume fractions and different dispersities

表3 在不同自由體積分?jǐn)?shù)和不同分散度情況下計算的Table 3.Calculated values at different free volume fractions and different dispersities

約化自由體積濃度x/% 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4自由體積球分?jǐn)?shù)θf/% 0.6 0.9 1.2 1.5 1.76 φ′s/%σ=1.0 0.524 0.524 0.524 0.524 0.524 σ=1.02 0.501 0.503 0.504 0.504 0.504 σ=1.04 0.481 0.483 0.485 0.486 0.487 σ=1.06 0.464 0.468 0.471 0.472 0.473 σ=1.08 0.449 0.453 0.456 0.458 0.459 σ=1.10 0.436 0.440 0.443 0.445 0.446 σ=1.12 0.425 0.429 0.432 0.434 0.435

圖6 自由體積分?jǐn)?shù)θf和分散度σ對的影響Fig.6.Effects of free volume fraction θfand dispersity σ on

由以上分析發(fā)現(xiàn),應(yīng)力體積球間厚度與自由體積分?jǐn)?shù)密切相關(guān),與分散度無關(guān);而逾滲閾值與分散度密切相關(guān),與自由體積分?jǐn)?shù)無關(guān);等效應(yīng)力體積球間厚度T和逾滲閾值φ′s都是描述非晶合金的塑性變形能力高低的物理量,一定程度上都可以作為非晶合金塑性強弱的判據(jù),T的大小決定著等效應(yīng)力體積球間厚度的大小,實際上是非晶合金STZ內(nèi)“增韌粒子”的大小,其對非晶合金力學(xué)性能的影響與多孔非晶合金復(fù)合材料[27]和內(nèi)生枝晶相非晶合金材料[28]以及微量添加元素的非晶合金材料[29]目的一樣,都是為提高非晶材料的塑性.但這些“增韌粒子”大小有臨界值,即當(dāng)非晶合金塑性能力提高至最優(yōu)值時,所對應(yīng)的“增韌粒子”臨界體積分?jǐn)?shù)φ′s便是非晶合金韌脆轉(zhuǎn)變的逾滲閾值,而其值大小說明了非晶合金韌脆轉(zhuǎn)變的難易程度,是非晶材料本身的塑性變形能力的體現(xiàn).且該逾滲模型下得到的韌脆轉(zhuǎn)變的逾滲閾值是非晶合金的特有性質(zhì),與臨界自由體積濃度[11]和臨界應(yīng)變[30]類似,它不會隨初始自由體積濃度和變形過程中自由體積的變化而改變,而與自由體積在非晶合金內(nèi)部分布特征或聚集狀態(tài)有關(guān).

4 結(jié) 論

本文首次將逾滲理論應(yīng)用于處理非晶合金屈服時的剪切帶形成,基于逾滲閾值處系統(tǒng)特性發(fā)生突變的特點,以Cu25Zr75為例,計算分析后得到了以下結(jié)論:

1)在STZ內(nèi),當(dāng)內(nèi)部AC的濃度達到閾值(φsC=0.524±0.05)時,STZ發(fā)生屈服,然后STZs會自組織演化為宏觀尺度的剪切帶,計算的AC中的原子數(shù)大約在33—64之間;

2)應(yīng)力體積球間厚度T隨自由體積濃度增加而變小;塑脆轉(zhuǎn)變閾值在小分布范圍內(nèi)隨著分散度的增加而變大,在大分布范圍內(nèi),隨著分散度的增加而減小;

3)等效應(yīng)力體積球間厚度T和逾滲閾值都是描述非晶合金的塑性變形能力高低的物理量,但逾滲閾值是非晶合金的固有特性,不受初始自

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Yield behavior of amorphous alloy based on percolation theory?

Ping Zhi-HaiZhong Ming Long Zhi-Lin?

(College of Civil Engineering and Mechanics,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)

25 April 2017;revised manuscript

5 June 2017)

According to the microstructure of amorphous crystal,the percolation theory,which is a theoretical approach to dealing with the inhomogeneous physical systems or random fractals,is used to describe the plastic flows of amorphous alloys under shear yielding.In order to understand in depth the critical problems about the shear band initiations in amorphous alloys,a percolation model for shear transformations of these alloys is established by combining with the existing free volume model and shear transformation zone model.Taking the binary amorphous alloy Cu25Zr75for example,the percolation threshold for the shearing instability of the atomic clusters prone to producing plastic flows in the shear transformation zone is calculated when a shear band comes into being.In addition,the size of the abovementioned cluster is also roughly estimated.The calculated results show that the percolation threshold of the shearing instability is similar to the critical reduced free volume value(xC)of～2.4%for the onset of yielding in amorphous alloy although this threshold is closely related to the dispersity of free volume.The present study may provide a new idea and method of studying the ductile-brittle transition in amorphous alloy.

amorphous alloy,percolation theory,shear instability,percolation threshold

PACS:61.43.Dq,45.10.HjDOI:10.7498/aps.66.186101

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.51471139,51071134).

?Corresponding author.E-mail:longzl@xtu.edu.cn

(2017年4月25日收到;2017年6月5日收到修改稿)

從非晶合金的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā),基于處理強無序和具有隨機幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)常用的理論方法——逾滲理論來描述非晶合金剪切屈服時的塑性流變.為了更好地理解非晶合金剪切帶萌生時的臨界問題,結(jié)合已有的“自由體積(free volume)模型”和“剪切轉(zhuǎn)變區(qū)(shear transformation zone)模型”,建立了非晶合金剪切轉(zhuǎn)變的逾滲模型.以Cu25Zr75二元非晶合金為例,計算了在剪切轉(zhuǎn)變區(qū)內(nèi)易發(fā)生塑性流動的原子團簇剪切失穩(wěn)的逾滲閾值,并粗略估算了這些原子團簇的大小.研究發(fā)現(xiàn),剪切失穩(wěn)的逾滲閾值與臨界約化自由體積濃度(xC～2.4%)有著相似的特性,不同之處在于其值與自由體積的分散度有著密切聯(lián)系.研究結(jié)果作為非晶合金的韌脆轉(zhuǎn)變問題提供了新思路.

10.7498/aps.66.186101

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:51471139,51071134)資助的課題.

?通信作者.E-mail:longzl@xtu.edu.cn