孫娟李曉霞 張金浩申玉卓李艷雨

1)(省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室(河北工業(yè)大學),天津 300130)

2)(河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室(河北工業(yè)大學),天津 300130)

多層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力分析?

孫娟1)2)李曉霞1)2)?張金浩1)2)申玉卓1)2)李艷雨1)2)

1)(省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室(河北工業(yè)大學),天津 300130)

2)(河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室(河北工業(yè)大學),天津 300130)

多層星形網(wǎng)絡(luò),有向網(wǎng)絡(luò),特征值譜,同步能力

1 引 言

近幾年,復雜網(wǎng)絡(luò)研究主要集中在網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)與其動力學行為之間的關(guān)系[1?4]、擴散動力學[5?9]、同步[10?14]等方面.目前大多數(shù)復雜網(wǎng)絡(luò)的研究都集中在單個網(wǎng)絡(luò)[15?27],然而現(xiàn)實世界中各類系統(tǒng)之間并不是獨立的,而是相互聯(lián)系的.研究結(jié)果表明,單個網(wǎng)絡(luò)建模的方法一般不足以確定出現(xiàn)在實際復雜系統(tǒng)中的多層網(wǎng)絡(luò)間的真正的相互依存關(guān)系.比如,一些不同社交網(wǎng)絡(luò)的用戶關(guān)系[28]、運輸系統(tǒng)[29]以及大腦的學習型組織[30].盡管多層網(wǎng)絡(luò)的研究還處于起步階段,但已經(jīng)涌現(xiàn)出一些有影響力的研究成果[31,32],這將是復雜網(wǎng)絡(luò)理論的重要研究方向.

研究復雜網(wǎng)絡(luò)的終極目標之一是理解網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對物理過程的影響.網(wǎng)絡(luò)上的同步現(xiàn)象是一項重要的研究課題[33,34].同步現(xiàn)象大量出現(xiàn)在我們的生活中,如掌聲同步、路由器同步、螢火蟲同時閃爍、物理振子以及生物振子的同步等,在物理、化學、生物、工程技術(shù)、經(jīng)濟以及社會科學等領(lǐng)域都觀察到了各種各樣的同步現(xiàn)象[35?39].復雜網(wǎng)絡(luò)作為一個載體展示了豐富多彩的網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象,不同領(lǐng)域的學者從不同的角度對復雜網(wǎng)絡(luò)同步進行了深入研究.

為了研究更接近于實際復雜網(wǎng)絡(luò)的同步能力,學者們提出了一種基于多層網(wǎng)絡(luò)的擴散動力學方程的超拉普拉斯矩陣結(jié)構(gòu),根據(jù)其特征值譜來分析網(wǎng)絡(luò)同步能力[40].根據(jù)主穩(wěn)定性函數(shù)方法,復雜系統(tǒng)的非線性動力學行為與網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣的第二個特征值有關(guān)[41],在擴散過程中,收斂于最大熵狀態(tài)[42],而且耦合網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣的最大特征值對網(wǎng)絡(luò)的同步穩(wěn)定性具有決定性影響[43,44].文獻[45,46]研究了典型的規(guī)則兩層星形網(wǎng)絡(luò),提出并嚴格推導出兩層星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜,并分析了同步能力,但由于實際復雜網(wǎng)絡(luò)更接近于有向網(wǎng)絡(luò),本文即在此基礎(chǔ)上研究了更具一般性的多層有向星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力.首先,嚴格推導出三層單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項式,分別分析了在同步域無界和有界兩種情況下,網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、每層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)、層內(nèi)耦合強度、層間耦合強度(層間中心節(jié)點之間的耦合強度和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度)與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系.其次,進一步嚴格推導出多層單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項式以及特征值譜,分析了在同步域無界和有界兩種情況下,網(wǎng)絡(luò)層數(shù)、每層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)、層內(nèi)耦合強度、層間耦合強度(層間中心節(jié)點之間的耦合強度和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度)與網(wǎng)絡(luò)同步能力的關(guān)系.最后,分析各個參數(shù)對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響并進行了仿真驗證.

2 模型與方法

2.1 模 型

M層網(wǎng)絡(luò)中第K層、第i個節(jié)點的動力學方程如下:

我們假設(shè)多層網(wǎng)絡(luò)為M層網(wǎng)絡(luò),每層有N個節(jié)點.α層的層內(nèi)連接強度矩陣W(α)∈RN×N,S(α)∈RN×N為層內(nèi)點強度的對角矩陣,層的層內(nèi)拉普拉斯矩陣為L(α)=S(α)?W(α), 假設(shè)多層網(wǎng)絡(luò)層間的所有節(jié)點的層間連接完全一致,我們定義WI∈RM×M為每兩層網(wǎng)絡(luò)的層間連接強度矩陣,SI∈RM×M為每兩層網(wǎng)絡(luò)的層間點強度對角矩陣,每兩層網(wǎng)絡(luò)的層間拉普拉斯矩陣為LI=SI?WI.

我們得到整個網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣:L=LL+LI.我們把L分成兩部分,LL為層內(nèi)的超拉普拉斯矩陣,LI為層間的超拉普拉斯矩陣.LL為各層內(nèi)拉普拉斯矩陣的直和,

LI為層間拉普拉斯矩陣與M×N的單位矩陣的Kronecker積,

2.2 方 法

本文采用主穩(wěn)定性函數(shù)法來判定網(wǎng)絡(luò)的同步能力的穩(wěn)定性.一個由N個相同的動力學系統(tǒng)˙Xi=f(Xi)為節(jié)點所構(gòu)成的連續(xù)時間耗散耦合動態(tài)網(wǎng)絡(luò),其狀態(tài)方程如下:

主穩(wěn)定性函數(shù)法是研究線性耦合同步穩(wěn)定性問題的一種主要方法,并被廣泛采用.下面主要詳細介紹主穩(wěn)定性函數(shù)法.我們將連續(xù)時間動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(4)式關(guān)于同步流形S(t)進行線性穩(wěn)定性分析.令δi為第i個節(jié)點狀態(tài)的變分,可以得到下面的變分方程:

這里Jf和JH分別是f(X)和H(X)關(guān)于同步流形S的Jacobi矩陣,通常要求為有界.令則(5)式可寫為矩陣形式:

下面根據(jù)Lyapunov指數(shù)法來判斷同步流形的穩(wěn)定性.考慮到方程中只有λk和ηk與k有關(guān),當外耦合矩陣W為非對稱時,其特征值可能是復數(shù),故定義主穩(wěn)定性方程為

其最大Lyapunov指數(shù)γmax是實變量α和β的函數(shù),稱為動力學網(wǎng)絡(luò)的主穩(wěn)定性函數(shù).已知一個給定的耦合強度c,在(α,β)所在的復平面上對應(yīng)一個點cλk,如果該點對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)γmax為正數(shù)時,則該特征態(tài)為不穩(wěn)定態(tài);反之,則該特征態(tài)為穩(wěn)定態(tài).如果對應(yīng)所有的特征態(tài)λk(k=2,3,···,N), 其所有點對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)γmax均為負數(shù)時,那么認定在該耦合強度c下,整個網(wǎng)絡(luò)的同步流形是漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)主穩(wěn)定函數(shù)方法,本文網(wǎng)絡(luò)模型的同步能力由L的非零最小特征值λ2和最大特征值λmax決定[47?50].當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2決定,并與λ2成正比;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λmax/λ2決定,此時網(wǎng)絡(luò)的同步能力與r=λmax/λ2成反比.對于同步化區(qū)域為空集的情況,無論耦合強度c怎么改變都不能實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步,所以無需討論該情況.

3 特征值譜及同步能力分析

3.1 三層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

本節(jié)首先嚴格推導三層單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜,其中單向耦合包含葉子節(jié)點向中心節(jié)點的單向耦合和中心節(jié)點向葉子節(jié)點的單向耦合,耦合模型如圖1(a)和圖1(b)所示,層間耦合方式如圖2所示.圖1(a)的每層星形網(wǎng)絡(luò)內(nèi),葉子節(jié)點向該層中心節(jié)點耦合強度為a;圖1(b)的每層星形網(wǎng)絡(luò)內(nèi),中心節(jié)點向該層葉子節(jié)點耦合強度為a;圖2中每兩層網(wǎng)絡(luò)間葉子節(jié)點與葉子節(jié)點一一對應(yīng)耦合,中心節(jié)點與中心節(jié)點一一對應(yīng)耦合,耦合方式為雙向耦合,葉子節(jié)點之間耦合強度為d,中心節(jié)點之間耦合強度為d0.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)(a)葉子節(jié)點向中心節(jié)點的單向耦合;(b)中心節(jié)點向葉子節(jié)點的單向耦合;黑色虛線表示每兩層間葉子節(jié)點耦合,紅色虛線表示每兩層間中心節(jié)點耦合,層內(nèi)耦合強度為a,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度為d,層間中心節(jié)點之間的耦合強度為d0Fig.1.(color online)(a)The coupling model is that leaf nodes point to the hub node;(b)the coupling model is that the hub node point to leaf nodes.The black dotted line represents the coupling connection between the leaf nodes of every two layers of the network,the red dotted line represents the coupling connection between the hub nodes of every two layers of the network,the intralayer coupling strength a the inter-layer leaf nodes coupling strength d,the interlayer hub nodes coupling strength d0.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)層間耦合方式,每兩層葉子節(jié)點之間一一對應(yīng)雙向耦合,每兩層中心節(jié)點之間一一對應(yīng)雙向耦合;黑色虛線表示層間葉子節(jié)點之間的耦合連接,紅色虛線表示層間中心節(jié)點之間的耦合連接Fig.2.(color online)The coupling model between the layers.The coupling between the leaf nodes of every two-layer of network is one-to-one bidirectional coupling,and the coupling between the hub nodes of every two-layer of network is one-to-one bidirectional coupling;the black dotted lines represent the interlayer leaf nodes,and the red dotted lines represent the coupling between the inter-layer hub nodes.

3.2 三層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力分析

首先,這里我們假設(shè)三層網(wǎng)絡(luò)的每層網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)是完全一致的星形網(wǎng)絡(luò),每兩層網(wǎng)絡(luò)間葉子節(jié)點之間、中心節(jié)點之間分別都是一一對應(yīng)耦合;每層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)都為N,整個網(wǎng)絡(luò)層數(shù)為M,層內(nèi)耦合強度為a,層間中心節(jié)點之間的耦合強度為d0,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度為d.對于簡單有向圖G,其拉普拉斯矩陣L(G)=S(G)?W(G),S(G)為頂點出度的對角矩陣,W(G)=[aij]為其鄰接矩陣,aij為節(jié)點Vi到Vj的邊的權(quán)值[51].由此得到的三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點的單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點的單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點的單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣的特征值多項式為故特征值為:

在實際網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點數(shù)N是非常大的,遠遠大于層內(nèi)耦合強度a和層間節(jié)點之間的耦合強度d與d0.其同步能力的強弱根據(jù)同步域無界和有界兩種情形來考慮,即討論非零最小特征值λ2(值越大同步性越強)與r=λmax/λ2(值越小同步性越強).

三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{a,3d0}決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=(a+3d)/min{a,3d0}決定,而無論是同步域無界還是有界,網(wǎng)絡(luò)的同步能力都與節(jié)點數(shù)無關(guān).

三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=3d決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+3d0]/3d決定.

3.3 多層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜及同步能力分析

本文進一步推導出多層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣及特征值多項式,多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣為

多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的特征值多項式為:故特征值為

多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力,按同步域為無界和有界兩種情形分別討論,當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{a,Md0}決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=(a+Md)/min{a,Md0}決定,除了d,a,d0,多層網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)對網(wǎng)絡(luò)的同步能力也會產(chǎn)生影響.

多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),按同步域為無界和有界兩種情形分別討論,當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=Md決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+Md0]/Md決定.除了N,d,a,d0,網(wǎng)絡(luò)的同步能力也受到多層網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)的影響.

4 數(shù)值仿真及結(jié)果

4.1 三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力仿真

同步域無界時,λ與a,3d0中的最小值有關(guān);同步域有界時,同步能力由r=(a+3d)/min{a,3d0}來決定,網(wǎng)絡(luò)的同步能力與N無關(guān).仿真情況歸納見表1.

1)同步域無界

同步域無界、a<3d0時,λ2與a有關(guān);a>3d0時,λ2與d0有關(guān).分別變化a和d0,所得到的λ2如圖3所示.λ2隨著a的增大而增大,隨著d0的增大而增大,同步能力增強,增大層間中心節(jié)點之間的耦合強度更有利于提高同步能力,這是因為三層網(wǎng)絡(luò)類似于三個聚類的社團結(jié)構(gòu),聚類塊間連接緊密,從而使同步能力變得更強.最后,從圖3我們可以得到:當同步域無界時,對于層內(nèi)耦合強度和層間中心節(jié)點之間的耦合強度,同步能力依賴于較弱的一方;在兩種耦合強度同步改變時,層間中心節(jié)點之間的耦合強度對同步能力產(chǎn)生的影響更大一些.

表1 對于三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2,r= λmax/λ2隨d,a,d0的變化Table 1.When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for three-layer star networks,λ2 and r= λmax/λ2changes with d,a,d0.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)對于三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線),a<3d0;λ2隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化(藍色實線),a>3d0Fig.3.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for three-layer star networks,λ2change with the intra-layer coupling strength a(red solid line),a<3d0;λ2change with inter-layer coupling strength between the hub nodes d0(blue solid line),a>3d0.

2)同步域有界

同步域有界、a<3d0時,同步能力由r=1+3d/a決定;a>3d0時,同步能力由r=(a+3d)/3d0決定.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)對于三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線);r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化(藍色實線);其中a<3d0Fig.4.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for three-layer star networks,r change with the intra-layer coupling strength a(red solid line)and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line),a<3d0.

2?a>3d0時,取d=1,d0=0.01,變化a,取a=1,d0=0.01,變化d;取d=1,a=1,變化d0.得到的r如圖5所示.r隨a的增大而增大,r隨d的增大而增大;r隨d0增大呈指數(shù)減小.層內(nèi)耦合強度越小,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度越小,層間中心節(jié)點之間的耦合強度越大,同步能力變得越強.最后,從圖5(a)我們可以得到:在上述假定條件下,當層內(nèi)耦合強度和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度值取1時,同步能力相等.從圖5(b)和圖4我們可以得到:當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力依賴于層內(nèi)耦合強度和層間中心節(jié)點之間的耦合強度中較弱的一方.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)對于三層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò) (a)r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線)以及r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d(藍色實線)的變化;(b)r隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化;其中a>3d0Fig.5.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for three-layer star networks,(a)r change with the intra-layer coupling strength a(red solid line)and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line),respectively;(b)r change with the inter-layer coupling strength between the hub nodes d0;a>3d0.

4.2 三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力的仿真

三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=3d決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+3d0]/3d決定.仿真情況歸納于表2.

表2 對于三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2和r=λmax/λ2隨N,M,d,a,d0的變化Table 2.When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for three-layer star networks,λ2and r= λmax/λ2changes with N,M,d,a,d0.

1)同步域無界

λ2與d有關(guān),變化d,如圖6所示,λ2隨d的增大而增大.層間葉子節(jié)點之間的耦合強度增大,同步能力越強.中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的三層星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值是一定的,不需要討論,它與層間葉子節(jié)點之間的耦合強度有關(guān),而與層內(nèi)耦合強度和層間中心節(jié)點之間的耦合強度無關(guān).

圖6 (網(wǎng)刊彩色)對于三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化Fig.6.(color online)When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for three-layer star networks,λ2change with the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d.

2)同步域有界

網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+3d0]/3d決定.取N=200,d=d0=1,變化a;取N=200,a=d0=1,變化d;取N=200,d=a=1,變化d0;取a=d=d0=1,變化N;得到的r如圖7所示.r隨a的增大而增大;r隨d的增大呈指數(shù)減小;r隨d0的增大而增大;r隨N的增大而增大.層內(nèi)耦合強度越小,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度越大,層間中心節(jié)點之間的耦合強度越小,網(wǎng)節(jié)點數(shù)越少,網(wǎng)絡(luò)的同步能力變的越強.從圖7我們得到:在上述假定條件下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力更依賴于層間葉子節(jié)點之間的耦合強度,而層間中心節(jié)點之間的耦合強度對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響微乎其微.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)對于三層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線),r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化(藍色實線),r隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化(黑色實線);(b)r隨節(jié)點數(shù)N 的變化Fig.7.(color online)When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for three-layer star networks,(a)r change with the intra-layer coupling strength a(red solid line),the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line),and the inter-layer coupling strength between the hub nodes d0(black solid line),respectively;(b)r change with the number of nodes N.

4.3 多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力的仿真

多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=min{a,Md0}決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=(a+Md)/min{a,Md0}決定;網(wǎng)絡(luò)的同步能力與N無關(guān).仿真情況歸納于表3.

情況 3 v7,v8全染顏色1,v2,v6染1,v4只能染2,則可繼續(xù)用上述方法將窮點v3改染為1, 并用3來染v。

表3 對于多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2和r=λmax/λ2隨M,d,a,d0的變化Table 3.When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for multilayer star networks,λ2 and r= λmax/λ2changes with N,M,d,a,d0.

1)同步域無界

2)同步域有界

圖8 (網(wǎng)刊彩色)對于多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)λ2隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化;(b)λ2隨層數(shù)M的變化Fig.8.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for multilayer star networks,(a)λ2change with the inter-layer coupling strength between the hub nodes d0;(b)λ2change with the number of layers M.

圖9 (網(wǎng)刊彩色)對于多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線),r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化(藍色實線);(b)r隨層數(shù)M的變化Fig.9.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for multilayer star networks,(a)r change with the intra-layer coupling strength a(red solid line)and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line),respectively;(b)r change with the number of layers M.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)對于多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線),r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化(藍色實線);(b)r隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化;其中a>Md0Fig.10.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for multilayer star networks,(a)r changes with the intra-layer coupling strength a(red solid line)and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line),respectively;(b)r change with the inter-layer coupling strength between the hub nodes d0;a>Md0.

a>Md0時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力還受到層數(shù)的影響.取a=1,d=1,d0=0.01,變化M,得到r(圖11).r隨著M的增大呈指數(shù)減小.層數(shù)越少,同步能力越強.我們從圖11可以得到:在上述假定條件下,與a

圖11 (網(wǎng)刊彩色)對于多層葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),r隨層數(shù)M的變化,a>Md0Fig.11.(color online)When the coupling model is that leaf nodes point to the hub node for multilayer star networks,r change with the number of layers M,a>Md0.

4.4 多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力的仿真

多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由λ2=Md決定;當同步域有界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+Md0]/(Md)決定.仿真情況歸納于表4.

表4 對于多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),λ2和r=λmax/λ2隨N,M,d,a,d0的變化Table 4.When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for multilayer star networks,λ2 and r= λmax/λ2changes with N,M,d,a,d0.

1)同步域無界

λ2與M,d有關(guān),取d=1,改變M;取M=20,變化d.得到的λ2如圖12所示.λ2隨M的增大而增大,λ2隨d的增大而增大.層間葉子節(jié)點之間的耦合強度越大,層數(shù)越多,網(wǎng)絡(luò)的同步能力越強.

2)同步域有界

網(wǎng)絡(luò)的同步能力由r=[(N?1)a+Md0]/(Md)決定.取N=200,M=20,d=d0=1,變化a;取N=200,M=20,a=d0=1,變化d;取N=200,M=20,d=a=1,變化d0;取a=d=d0=1,N=200,變化M.得到的r如圖13所示.r隨著a的增大而增大,r隨著d的增大而減小,r隨著d的增大而增大,r隨著M的增大而減小.層內(nèi)耦合強度越小,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度越大,層間中心節(jié)點之間的耦合強度越小,層數(shù)越大,網(wǎng)絡(luò)的同步能力越強.從圖13我們得到:在上述假定的條件下,網(wǎng)絡(luò)的同步能力更依賴于層間葉子節(jié)點之間的耦合強度,層間中心節(jié)點之間的耦合強度對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響微乎其微.比較圖7(a)與圖13可以得到:層內(nèi)耦合強度和層間耦合強度對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響可以由三層網(wǎng)絡(luò)推廣到多層網(wǎng)絡(luò);對于多層網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)的同步能力也依賴于層數(shù).

圖12 (網(wǎng)刊彩色)對于多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)λ2隨層數(shù)M的變化;(b)λ2隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化Fig.12.(color online)When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for multilayer star networks,(a)λ2change with the number of layers M;(b)λ2change with the inter-layer coupling strengthbetween the leaf nodes d.

圖13 (網(wǎng)刊彩色)對于多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),(a)r隨層內(nèi)耦合強度a的變化(紅色實線),r隨層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d的變化(藍色實線),r隨層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0的變化(黑色實線);(b)r隨層數(shù)M的變化Fig.13.(color online)When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for multilayer star networks,(a)r change with the intra-layer coupling strength a(red solid line)and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes d(blue solid line)and the inter-layer coupling strength between the hub nodes d0(black solid line),respectively;(b)r change with the number of layers M.

取a=d=d0=1,M=20,變化N,得到r(圖14).r隨著N的增大而增大.節(jié)點數(shù)越少,同步能力越強.比較圖7(b)和圖14可以得到:節(jié)點數(shù)對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響與層數(shù)無關(guān);節(jié)點數(shù)對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響可以由三層網(wǎng)絡(luò)推廣到多層網(wǎng)絡(luò).

圖14 (網(wǎng)刊彩色)對于多層中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的星形網(wǎng)絡(luò),r隨節(jié)點數(shù)N的變化Fig.14.(color online)When the coupling model is that the hub node point to leaf nodes for multilayer star networks,r change with the number of nodes N.

5 討論與結(jié)論

本文在理論上嚴格推導出三層、多層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣,得到其特征值譜,并分析了同步能力.對于葉子節(jié)點向中心節(jié)點耦合的三層及多層星形網(wǎng)絡(luò):當同步域無界時,隨著層內(nèi)耦合強度和層間中心節(jié)點之間的耦合強度的增大會使同步能力增強,且該影響可以由三層網(wǎng)絡(luò)推廣到多層網(wǎng)絡(luò);而對于多層網(wǎng)絡(luò),層數(shù)的增大也會使同步能力增強.當同步域有界時,在層內(nèi)耦合強度較弱的情況下,層內(nèi)耦合強度的增大會使同步能力增強,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度和層數(shù)的增大會使同步能力變?nèi)?在層間中心節(jié)點之間的耦合強度較弱的情況下,層間中心節(jié)點之間的耦合強度和層數(shù)的增大會使同步能力增強,而層內(nèi)耦合強度和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度的增大反而會使同步能力變?nèi)?對于中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的三層及多層星形網(wǎng)絡(luò):當同步域無界時,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度和層數(shù)的增大會使同步能力增強;當同步域有界時,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度和層數(shù)的增大會使同步能力增強,而層內(nèi)耦合強度、節(jié)點數(shù)和層間中心節(jié)點之間的耦合強度的增大反而會使同步能力減弱.本文結(jié)論與文獻[45]的結(jié)論部分一致,單向耦合的多層星形網(wǎng)絡(luò)與雙向耦合的兩層星形網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)連接方式上具有一定的聯(lián)系.相同之處在于:當同步域有界時,文獻[45]和本文的葉子節(jié)點向中心節(jié)點耦合的三層及多層星形網(wǎng)絡(luò)在層內(nèi)耦合強度較弱的情況下,都得出層內(nèi)耦合強度的增大會增強網(wǎng)絡(luò)的同步能力,層間葉子節(jié)點之間的耦合強度的增大會減弱網(wǎng)絡(luò)的同步能力.通過比較各參數(shù)對單向耦合的多層星形網(wǎng)絡(luò)和雙向耦合的兩層星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響,也得出它們之間的一些不同之處:文獻[45]設(shè)定層間中心節(jié)點之間的耦合強度d0和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度d相等,在同步域有界的情況下,文獻[45]討論的是層內(nèi)耦合強度較弱的情況和層間葉子節(jié)點之間的耦合強度較弱的情況,而本文沒有做此設(shè)定.對于葉子節(jié)點向中心節(jié)點耦合的三層及多層星形網(wǎng)絡(luò),我們討論的是層內(nèi)耦合強度較弱的情況和層間中心節(jié)點之間的耦合強度較弱的情況;而對于中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的三層及多層星形網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣的最小非零特征值是確定的,不需要討論.相對于文獻[45]研究的兩層網(wǎng)絡(luò),本文重點研究了多層網(wǎng)絡(luò),并且得出了網(wǎng)絡(luò)的同步能力深受層數(shù)的影響.

由于多層網(wǎng)絡(luò)復雜龐大,本文對有向網(wǎng)絡(luò)進行了簡單一般化,得到當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增大使網(wǎng)絡(luò)的同步能力增強;在同步域有界的情況下,當層間中心節(jié)點之間的耦合強度較弱時,層數(shù)對兩種有向耦合方式的多層星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力的影響相同,而當層內(nèi)耦合強度較弱時,層數(shù)對兩種有向耦合方式的多層星形網(wǎng)絡(luò)的同步能力的影響不同;對于葉子節(jié)點向中心節(jié)點單向耦合的多層星形網(wǎng)絡(luò),節(jié)點數(shù)的變化對網(wǎng)絡(luò)的同步能力沒有影響.由于簡單一般化的網(wǎng)絡(luò)與實際網(wǎng)絡(luò)的復雜無規(guī)則性還有一定的差異,目前,多層網(wǎng)絡(luò)的研究仍然還有很多問題沒有解決:譬如本文的多層單向耦合的星形網(wǎng)絡(luò),層間在有向耦合的情況下,網(wǎng)絡(luò)的特征值譜以及同步能力問題;對于多層星形網(wǎng)絡(luò),在層內(nèi)耦合強度改變了網(wǎng)絡(luò)的同步能力的情況下,如何改變其他參數(shù)來使同步能力保持不變.特征值譜方法對研究規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的同步能力問題有巨大的貢獻,而Newman-Watts小世界網(wǎng)絡(luò)介于最近鄰耦合規(guī)則網(wǎng)絡(luò)與全局耦合網(wǎng)絡(luò)之間,是否可以推廣到多層小世界網(wǎng)絡(luò)的研究也有待驗證.目前多層網(wǎng)絡(luò)的理論模型在應(yīng)用層面還較為薄弱,主要由于理論模型與實際數(shù)據(jù)存在一定差距,未來隨著多層網(wǎng)絡(luò)理論越來越逼近現(xiàn)實系統(tǒng),會產(chǎn)生較好的應(yīng)用前景.

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Synchronizability and eigenvalues of multilayer star networks through unidirectionally coupling?

Sun Juan1)2)Li Xiao-Xia1)2)?Zhang Jin-Hao1)2)Shen Yu-Zhuo1)2)Li Yan-Yu1)2)

1)(State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China)

2)(Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China)

1 April 2017;revised manuscript

16 May 2017)

Previous studies on multilayer networks have found that properties of multilayer networks show great differences from those of the traditional complex networks.In this paper,we derive strictly the spectra of the Supra-Laplace matrix of three-layer star networks and multilayer star networks through unidirectionally coupling by using the master stability method to analyze the synchronizability of these two networks.Through mathematical analyses of the eigenvalues of the Supra-Laplace matrix,we explore how the node number,the intra-layer coupling strength the inter-layer coupling strength,and the layer number in fluence the synchronizability of multilayer star networks through unidirectionally coupling in two different ways.In particular,we focus on the layer number and the inter-layer coupling strength between the hub nodes,and then we conclude that the synchronizability of networks is greatly affected by the layer number.We f i nd that when the synchronous region is unbounded,the synchronizability of the two different coupling multilayer star networks is related to not only the intra-layer coupling strength or the inter-layer coupling strength between the leaf nodes of the entire network,but also the layer number.If the synchronous region of two different coupling multilayer star networks is bounded,and the intra-layer coupling strength is weak,the synchronizability of the two different coupling multilayer star networks is different with the changing of the intra-layer coupling strength and the inter-layer coupling strength between the leaf nodes and the layer number.If the synchronous region of two different coupling multilayer star networks is bounded,and the inter-layer coupling strength between the hub nodes is weak,the two different coupling multilayer star networks are consistent with the changing of the intra-layer coupling strength and the layer number while different from the inter-layer coupling strength between the leaf nodes and the inter-layer coupling strength between the hub nodes.We find that the node number has no effect on the synchronizability of multilayer star networks through coupling from the hub node to the leaf node.The synchronizability of the network is directly proportional to the layer number,while inversely proportional to the inter-layer coupling strength between the hub nodes.Finally,the effects of the coupling strength,the layer number and the node number on the synchronizability of the two different coupling star networks can be extended from three-layer network to multilayer networks.

*Project supported by the Natural Science Foundation of Hebei Province,China(Grant No.E2011202051).

?Corresponding author.E-mail:lixiaoxia@hebut.edu.cn

multilayer star networks,unidirectional network,eigenvalue spectrum,synchronization

PACS:89.75.Fb,89.75.Hc,89.75.–k,89.70.aDOI:10.7498/aps.66.188901

(2017年4月1日收到;2017年5月16日收到修改稿)

隨著復雜網(wǎng)絡(luò)同步的進一步發(fā)展,對復雜網(wǎng)絡(luò)的研究重點由單層網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)向更加接近實際網(wǎng)絡(luò)的多層有向網(wǎng)絡(luò).本文分別嚴格推導出三層、多層的單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)的特征值譜,并分析了耦合強度、節(jié)點數(shù)、層數(shù)對網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響,重點分析了層數(shù)和層間中心節(jié)點之間的耦合強度對多層單向耦合星形網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響,得出了層數(shù)對多層網(wǎng)絡(luò)同步能力的影響至關(guān)重要.當同步域無界時,網(wǎng)絡(luò)的同步能力與耦合強度、層數(shù)有關(guān),同步能力隨其增大而增強;當同步域有界時,對于葉子節(jié)點向中心節(jié)點耦合的多層星形網(wǎng)絡(luò),當層內(nèi)耦合強度較弱時,層內(nèi)耦合強度的增大會使同步能力增強,而層間葉子節(jié)點之間的耦合強度、層數(shù)的增大反而會使同步能力減弱;當層間中心節(jié)點之間的耦合強度較弱時,層間中心節(jié)點之間的耦合強度、層數(shù)的增大會使同步能力增強,層內(nèi)耦合強度、層間葉子節(jié)點之間的耦合強度的增大反而會使同步能力減弱.對于中心節(jié)點向葉子節(jié)點耦合的多層星形網(wǎng)絡(luò),層間葉子節(jié)點之間的耦合強度、層數(shù)的增大會使同步能力增強,層內(nèi)耦合強度、節(jié)點數(shù)、層間中心節(jié)點之間的耦合強度的增大反而會使同步能力減弱.

10.7498/aps.66.188901

?河北省自然科學基金(批準號:E2011202051)資助的課題.

?通信作者.E-mail:lixiaoxia@hebut.edu.cn