江蘇省常熟市王莊中心小學(xué) 黃 芳

數(shù)學(xué)知識的形成依賴于幾何直觀，數(shù)學(xué)的發(fā)展過程也表明，再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論也總能找到相對直觀的表征和解釋。著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授指出：數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微?！皵?shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)重要的思想，幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的更好體現(xiàn)。他還說：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅?！苯柚鷰缀沃庇^，“以退求進(jìn)”策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，會讓學(xué)生真正經(jīng)歷獲取知識與方法的過程，知道解決問題的方法是怎么想到的，使數(shù)學(xué)教學(xué)更富有意義，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)得以積累和形成，學(xué)生知其然，更知其所以然。

一、示意圖，化抽象為形象——揭示算理的本質(zhì)

算理是四則運(yùn)算的理論依據(jù)，是由數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)等構(gòu)成的，它是計(jì)算的原理與依據(jù)，而運(yùn)算法則是四則運(yùn)算的基本程序和方法。算理不清，算法難以牢固；算法不明，計(jì)算技能難以形成，而理解算理、掌握算法的本質(zhì)就是不僅要知道怎么計(jì)算，還要明白為什么這樣算——知其然又知其所以然，這使計(jì)算教學(xué)的根本算理的抽象和算法的直觀形成了鮮明的對比。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)過程中，可以借助幾何直觀，以圖為載體，巧妙地將算式與直觀圖相結(jié)合，把抽象的算理具體化、形象化，運(yùn)用直觀模型幫助學(xué)生理解感知與理解算理。

師：這種算式以前碰到過嗎?對于這種新知識的解決，就要用到老師經(jīng)常說的一句話——最笨的辦法有時(shí)就是最好的辦法。猜猜看這個(gè)最笨也是最好的辦法是什么？

學(xué)生試著想辦法……老師點(diǎn)明：最原始的辦法就是拿出4個(gè)橘子分一分。

出示圖：

師：請看，數(shù)一數(shù)，你能告訴我得數(shù)嗎？看著圖，你還能用哪個(gè)算式告訴我答案呢？

學(xué)生交流：從圖上可以看出可以分給8人。1個(gè)橙子分給2人，4個(gè)可以分給8人。

展示學(xué)生作品：

由此得到：

師過渡：剛才我們研究了整數(shù)除以幾分之一的計(jì)算方法，接下來我們研究整數(shù)除以幾分之幾的計(jì)算方法。出示例題：一根繩子4米長，剪成每段米，可以剪成多少段？數(shù)量關(guān)系：用總米數(shù)÷每段的米數(shù)。列式：

要求：（1）先在圖中分一分，再在圖上數(shù)出結(jié)果并填在括號里。

師揭疑：誰能看著圖解釋一下為什么

智慧題：甲、乙兩人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇的地點(diǎn)離A地4千米，相遇后兩人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，兩次相遇地點(diǎn)之間相距多少千米？的結(jié)果一樣呢？

小學(xué)階段，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義及算理比較抽象，學(xué)生理解起來困難較大。一句“最笨的辦法有時(shí)就是最好的辦法”將學(xué)習(xí)退到最原始而不失重要性的地方，然后教師帶領(lǐng)學(xué)生將“式”與“圖”溝通起來，讓學(xué)生感受到圖和式子之間的聯(lián)系，化抽象為形象。借助直觀理解算式背后蘊(yùn)含的復(fù)雜算理，用數(shù)形結(jié)合的方法把學(xué)生的操作活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行進(jìn)一步的引領(lǐng)和提升，使學(xué)生對知識的內(nèi)化變得水乳交融，使得“技能”教育自然上升為“能力”的教育。

二、線段圖，化復(fù)雜為簡單——理清數(shù)量關(guān)系

基礎(chǔ)題：超市、銀行和學(xué)校在陽光大道的同一邊。超市距學(xué)校550米，銀行距學(xué)校250米。超市距銀行多少米？解決這一問題時(shí)，大部分學(xué)生只有一種答案：550+250=800（米）。教師如果能引導(dǎo)學(xué)生用畫線段圖的方式表達(dá)題意，學(xué)生就會有疑惑：超市、銀行和學(xué)校應(yīng)該在什么位置呢？用線段圖就能清楚、直觀地表示出兩種不同的情況（如下圖）。

數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系導(dǎo)致學(xué)生很難理清數(shù)量之間的關(guān)系，但是有了圖，學(xué)生就不難理解：如上圖，兩人合作走一個(gè)全程，甲走了4千米，兩人一共合作走了3個(gè)全程，甲一共走了4×3=12（千米），所以兩次相遇點(diǎn)之間相距12-4-3×2=2（千米）。

直觀的線段圖不僅可以吸引學(xué)生的興趣，更重要的是借助圖形讓復(fù)雜問題簡單化，利于學(xué)生抽象出數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)模型，規(guī)避錯(cuò)誤，有效提高解決問題的效率和正確率，是解決問題的“靈通之術(shù)”，更是許多解題高手常用的解題策略，這個(gè)樁務(wù)必要夯實(shí)。

三、構(gòu)造圖，化煩瑣為簡明——巧妙解決問題

如：計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64。這么煩瑣的計(jì)算題，如果數(shù)形結(jié)合，根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系構(gòu)造出如下圖示，就能很快地計(jì)算出結(jié)果。在此基礎(chǔ)上找到規(guī)律，就能解決這種類型的所有問題，當(dāng)學(xué)生能一下子說出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/256的結(jié)果時(shí)，可以想象得出孩子的成就感有多強(qiáng)。

幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)經(jīng)過形式化而趨于完美，又通過直觀化返璞歸真，這正是數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證過程。數(shù)學(xué)應(yīng)該借助幾何直觀，解釋啟發(fā)學(xué)生思路，利用直觀背景或幾何直觀幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機(jī)會。如果教師能在每節(jié)課中持續(xù)開發(fā)“數(shù)形結(jié)合”的訓(xùn)練點(diǎn)，久而久之，幾何直觀的種子便能在學(xué)生的頭腦中生根發(fā)芽。