福建省福安市第二中學(xué) 阮云慶

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法，其證明過(guò)程的兩個(gè)步驟缺一不可。通過(guò)反復(fù)練習(xí)與強(qiáng)調(diào)也難以把握這一方法的實(shí)質(zhì)，體會(huì)其辯證的思想策略和內(nèi)涵。為什么證題時(shí)一定要分兩步進(jìn)行？為什么證了這兩步之后能對(duì)無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)結(jié)論成立？學(xué)生感到困惑、茫然。除了學(xué)生的思維和認(rèn)識(shí)上的局限外，另一個(gè)重要原因是教師對(duì)教材處理不當(dāng)引起的。以下談?wù)勛约旱慕虒W(xué)實(shí)踐與思考。

一、理解數(shù)學(xué)歸納法原理的內(nèi)涵

1.數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的辯證關(guān)系

數(shù)學(xué)歸納法是通過(guò)“有限”來(lái)解決“無(wú)限”的一種遞推證明方法。它的證明有兩個(gè)步驟，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者之間的抽象關(guān)系是學(xué)生認(rèn)知的障礙。如何將學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)換成適合于新情況所需要的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一個(gè)簡(jiǎn)捷的途徑是：將現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)融合新知識(shí)，把新知識(shí)同化于現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，我將原理想象成一個(gè)游戲模型或多米諾骨牌，將一排錄音磁帶按適當(dāng)距離豎直排列，以磁帶倒下表示命題正確，推倒第一塊（表示n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題正確），要保證所有的磁帶都倒下（n∈N時(shí)命題正確）必須滿足什么條件？每一塊倒下（n=k，k∈N,k≥n0時(shí)命題正確），都能保證其后面的一塊倒下（n=k+1時(shí)命題正確），從而使數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)直觀化。

2.驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題正確的必要性

由于教師強(qiáng)調(diào)，學(xué)生自然認(rèn)同數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，但對(duì)驗(yàn)證值取第一個(gè)值時(shí)命題正確的必要性的認(rèn)識(shí)可能還不夠深刻，需要設(shè)計(jì)如下式子的證明，幫助學(xué)生體會(huì)初始值驗(yàn)證的重要性。

證明：2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N)。

學(xué)生：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1，∴n=k+1時(shí)，等式成立。所以對(duì)所有的正整數(shù)n，都有等式成立。

學(xué)生并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到遞推基礎(chǔ)的重要性，只知數(shù)學(xué)歸納法的步驟，而沒(méi)有領(lǐng)悟到原理和實(shí)質(zhì)。所以在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)實(shí)踐中遇到學(xué)生種種的錯(cuò)誤或困難是很正常的。

二、遞推過(guò)程中的證題技巧與方法

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于五類問(wèn)題的證明，即恒等式、整除性問(wèn)題、條件等式、不等式和某些幾何問(wèn)題的證明，從證題模式看似乎簡(jiǎn)單、呆板，其實(shí)在遞推過(guò)程中體現(xiàn)出的證題技巧、方法和數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解題能力卻不容置疑。其基本思路是：從歸納假設(shè)出發(fā)，分析P(k)與P(k+1)的差異及聯(lián)系，利用折項(xiàng)、添項(xiàng)、放縮、作差、分析等手段，或從P(k+1)中分離出P(k)再進(jìn)行局部調(diào)整，也可以考慮尋求二者的“接口”，以便過(guò)渡。其中體現(xiàn)了高超的數(shù)學(xué)技巧和豐富的數(shù)學(xué)思想方法以及對(duì)學(xué)生的能力要求和教師的教學(xué)技能的挑戰(zhàn)。

例1 當(dāng)n∈N,n≥2時(shí)，求證：

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立。

（2）設(shè)n=k時(shí)，不等式成立,即則n=k+1時(shí)，（學(xué)生往往以為“n=k”到“n=k+1”增加一項(xiàng)），∴n=k+1時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）可知對(duì)于任意n∈N(n≥2)，不等式都成立。

三、錯(cuò)誤辨析的教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟學(xué)生較易接受，但對(duì)原理的理解要靠方法來(lái)揭示和解決，巧妙地設(shè)計(jì)一些典型的證題錯(cuò)誤進(jìn)行辨析，可提高教材實(shí)質(zhì)性內(nèi)容的深度，引發(fā)學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生適當(dāng)?shù)摹懊堋焙汀皼_突”，使他們發(fā)覺(jué)在理解數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還存在下列不當(dāng)之處。

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論正確。

（2）設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論正確，即成立，則n=k+1時(shí)，

當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。

所以由（1）（2）可知，對(duì)于任意n∈N，都有

上面的解法貌似是數(shù)學(xué)歸納法，但第二步驟推理沒(méi)有運(yùn)用n=k時(shí)的歸納假設(shè)，這種推理實(shí)質(zhì)上是沒(méi)有根據(jù)的，缺失傳遞性。

例3 對(duì)任意的自然數(shù)n，求證：

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即則n=k+1時(shí),

∴n=k+1時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）可知，對(duì)任意的自然數(shù)n,都有

在第一步驗(yàn)證n=n0后，數(shù)學(xué)歸納法要求第二步所考慮的k必須滿足k≥n0,本題第二步成立要求k≥2,因此必須依次驗(yàn)證n=1和n=2時(shí)不等式成立。

證明:（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，所以不等式成立。

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題正確，即有成立，則n=k+1時(shí)，

∴n=k+1命題正確。

所以由（1）（2）知對(duì)于任意n∈N，都有命題正確。

分析：上述證明犯了偷換歸納假設(shè)錯(cuò)誤，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，與 當(dāng)n=k+1時(shí)中的 不同取值，于是不能將作為歸納假設(shè)進(jìn)行遞推。由則應(yīng)用此不等式結(jié)合分析法實(shí)施轉(zhuǎn)化才是正理。

4.猜想與證明

數(shù)學(xué)命題的論證通常始于不完全歸納，再加以邏輯推理的證明。數(shù)學(xué)歸納法從論證的方法上綜合了歸納和演繹，這種通過(guò)“觀察—?dú)w納—猜想—證明”發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，是培養(yǎng)學(xué)生探索新問(wèn)題、歸納新方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思維的金鑰匙。

猜想：an=2n-1,Sn=n2?？捎脭?shù)學(xué)歸納法證明此猜想的正確（證明略）。從特殊到一般也符合人類的認(rèn)知規(guī)律，合情推理和演繹推理在這兒相得益彰、各領(lǐng)風(fēng)騷。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的正確途徑是向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學(xué)歸納法才能解決的問(wèn)題，迫使他們直觀地去使用這個(gè)方法。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)和懂得了這個(gè)方法后，再去幫助他們用抽象形式把它敘述出來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)不簡(jiǎn)單，需要師生的默契配合，需要師生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，需要學(xué)生思維能力的有效訓(xùn)練，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要時(shí)間，靜待花開(kāi)。