福建省福安市第二中學(xué) 林如翰

教學(xué)中發(fā)揮例習(xí)題的功能，有利于學(xué)生掌握知識、提高技能，形成能力。因此，教師在講評例習(xí)題中，注重并挖掘例習(xí)題的本質(zhì)，探究例習(xí)題的價值，對培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義。本文通過一個習(xí)題的解法、推廣及拓展，并結(jié)合自己的教學(xué)實踐談?wù)劯形蚺c思考。

一、習(xí)題及解法

題目：如右圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為求弦長

解法1：依題可知l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)且k≠0，代入拋物線方程y2=4x得[k(x-1)]2=4x，即k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則Δ＞0且原點O到直線l的距離為所以△AOB的面積

解法2：設(shè)直線l的方程為x-1=my且m≠0，將x=my+1代入拋物線方程y2=4x得y2-4my-4=0，則Δ＞0且y1+y2=4m，y1y2=-4，所以則

解法4：以焦點F為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線y2=4x的極坐標(biāo)方程為所以令點A的極坐標(biāo)為(ρ1，θ),則點B的極坐標(biāo)為(ρ1,θ+π)，所以原點到直線l的距離d=1×sinθ，且=6。

二、推廣與拓展

1.最值問題

若解析幾何中的相關(guān)長度、面積、斜率、離心率等幾何量是某變量的函數(shù)，則都可以轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，這是函數(shù)思想方法在解析幾何中的應(yīng)用。

解：不妨設(shè)直線l1的傾斜角為θ且則直線l2的傾斜角為由以上可得弦長當(dāng)sin2θ取得最大值為1時，即取得最小值，為8p。

2.軌跡問題

圓錐曲線中有許多豐富的、有趣的軌跡問題，如某動點軌跡、中點軌跡、相關(guān)點軌跡、重心軌跡、垂心軌跡等問題，都是十分有趣、有益的探究學(xué)習(xí)活動。

例2 已知拋物線點F的直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，過點O作弦AB的垂線，垂足為H，求H的軌跡方程。

3.對稱問題

圓錐曲線中的對稱問題包括點關(guān)于點的對稱、曲線關(guān)于點的對稱、曲線關(guān)于直線的對稱等，抓住中點坐標(biāo)與斜率關(guān)系是處理這類問題的關(guān)鍵。

解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然拋物線上不存在兩點C、D關(guān)于直線AB對稱；

三、啟示與展望

通過一道習(xí)題的求解及拓展、探究并解決解析幾何中常見問題，從中感受拋物線焦點弦所蘊(yùn)含的豐富數(shù)學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中實施探究性學(xué)習(xí)，提升學(xué)生探究能力和學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，有利于培養(yǎng)科學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與能力，從中體會到弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”原理。數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”、交流數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，同時也啟發(fā)我在今后的教學(xué)中應(yīng)充分挖掘習(xí)題的潛在功能與價值，為追尋數(shù)學(xué)教學(xué)之道而努力。

[1]裴金樓.拋物線焦點弦的幾條性質(zhì)[J].數(shù)理天地（高中版），2007（10）：4-5.