■江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲中學(xué)高三(5)班 陸志明

不等式的求解歸納

■江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲中學(xué)高三(5)班 陸志明

不等式知識(shí)主要包括:基本不等式、一元二次不等式、線性規(guī)劃等,是高中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。筆者在學(xué)習(xí)不等式知識(shí)的過(guò)程中,遇到綜合性稍微強(qiáng)一點(diǎn)的不等式題型,經(jīng)常會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手。通過(guò)歸納與總結(jié)發(fā)現(xiàn),解答不等式問(wèn)題不僅要準(zhǔn)確理解題意,更要?dú)w納題型,總結(jié)解題方法,最后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答,這樣就可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

一、求解不等式

分析：這是一道含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次不等式,可先利用絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào),然后求解。

點(diǎn)評(píng):本題是含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的求解問(wèn)題,掌握了正確去絕對(duì)值符號(hào)的方法后,問(wèn)題即可迎刃而解。

二、求證不等式

1.利用含絕對(duì)值符號(hào)不等式的性質(zhì)求解。

點(diǎn)評(píng):含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的性質(zhì)較多,本題是其中一個(gè)題型,需熟練掌握。

2.利用重要不等式的性質(zhì)求解。

3.利用柯西不等式的性質(zhì)求解。

分析：二維形式的柯西不等式“當(dāng)a,b,c,d均為正實(shí)數(shù)時(shí),有(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2”。本題可利用柯西不等式的性質(zhì)求解。

三、求解最大值或最小值

例5 若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值。

分析：利用柯西不等式的性質(zhì)求解。

點(diǎn)評(píng):本題是利用柯西不等式的性質(zhì)求解最小值或最大值的題型。還有些題需要求三角函數(shù)的極值,可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)和柯西不等式進(jìn)行求解。例如,求函數(shù)y=3 s i nx+2 2+2 c o s 2x的最大值。有些題為帶根號(hào)的函數(shù),也可以利用柯西不等式求解,例如,求函數(shù)f x()=2x+1+2-x的最大值。

分析：利用柯西不等式求出左邊的取值范圍,然后再求解x的取值范圍。

解：因?yàn)?(a+b+2c)2≤(1 +1+2)·(a2+b2+c2)=4,所以a+b+2c≤2,又對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c恒成立,故(a+b+2c)max=2,解得

四、求解不等式的綜合題

點(diǎn)評(píng):本題其實(shí)是求極值和求解不等式的綜合題,可以先求極值,再求未知數(shù)。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)

編后語(yǔ)：在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,你一定會(huì)遇到許多問(wèn)題,也需要解決這些問(wèn)題,而在解決問(wèn)題的過(guò)程中,如果能深入一些、細(xì)致一些,就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),把你的發(fā)現(xiàn)寫(xiě)出來(lái)就是一篇論文。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),同時(shí)也希望同學(xué)們把論文寄給我們。電子信箱:x u e x i f a x i a n@1 2 6.c o m。