■河南省南陽市第一中學 王喜朝

概率統計知識結構與拓展

■河南省南陽市第一中學 王喜朝

編者的話：基本知識和基本技能是高中數學的核心,同學們一定要高度重視。本期特約河南省南陽市第一中學王喜朝等幾位老師為同學們解讀相關知識。河南省南陽市第一中學是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學們通過閱讀,能從中感悟知識的結構與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

一、知識結構框架

二、結構分析

在大量的不確定數據中隱藏著確定性的規(guī)律,這便是概率統計的核心內容,人們發(fā)現并利用這些規(guī)律為生產實踐活動服務則是概率統計的核心價值,概率統計從誕生之日起便帶有很強的應用性。統計數據需要進行隨機抽樣,進而計算這些數據的數字特征,并根據莖葉圖與頻率分布直方圖用樣本去估計總體。數據顯示,有些變量之間存在著相關關系,人們用列聯表計算變量的相關程度,用最小二乘法找到了具有線性相關關系的兩個變量的回歸直線方程。人們還發(fā)現了一些有用的概率模型,掌握了一些隨機變量的分布列及數字特征。

三、實例分析

1.計數背景下的概率。

例1 某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任意4位申請人中:

(Ⅰ)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率;

(Ⅱ)申請的房源所在片區(qū)的個數ξ的分布列與期望。

分析：這是等可能性事件的概率計算問題,屬古典概型。

解：(Ⅰ)所有可能的申請方式有34種,恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有種,所以恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為

(Ⅱ)ξ的所有可能值為1,2,3。

表1

小結：(1)計算古典概型的基本事件數量時要確保彼此是等可能的;(2)求分布列時應先弄清變量的所有可能取值,還要注意到概率之和為1。

2.概率模型的直接考查。

例2 根據以往統計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立。

(Ⅰ)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率;

(Ⅱ)X表示該地的1 0 0位車主中,甲、乙兩種保險都不購買的車主數,求X的期望。

分析：計算較復雜事件的概率常用方法有:(1)將其分成若干互斥事件的和;(2)正難則反,先計算其對立事件的概率。而認準概率模型則往往一擊中的,簡化計算。

解：記A表示事件“該地的1位車主購買甲種保險”;B表示事件“該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險”;C表示事件“該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”;D表示事件“該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買”。

(Ⅰ)P(A)=0.5,P(B)=0.3。因為C=A+B,所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8。

小結：二項分布與超幾何分布的區(qū)別在于,前者是獨立重復實驗,強調事件每次發(fā)生的概率不變,而后者則是對有限產品的次品抽查檢驗,是一種典型的古典概型。

3.線性回歸分析。

例3 一臺機器可以按各種不同的轉速運轉,其生產的物件有一些會有問題,每小時生產有問題物件的多寡,隨機器轉速而變化,表2中的數據是幾次試驗的結果。那么,當轉速為1 0 r/s時,是否可以預知每小時生產有問題物件數呢?若實際生產中所允許的每小時最大有問題物件數為1 0,那么機器的轉速不得超過多少?

表2

分析：判斷兩個變量是否線性相關,在高中階段主要靠畫散點圖觀察。

解：用x表示機器轉速,y表示每小時生產有問題物件數,那么4個樣本數據為(8,5)、(1 2,8)、(1 4,9)、(1 6,1 1),畫出散點圖(圖略)觀察可知這四個點大致分布在一條直線上,可以認為這兩個變量具有線性相關關系,于是回歸直線的斜率0.7 2 86,a==,所以所求的回歸直線方程為y=0.7 2 86x-0.8 5 75。

x=1 0時,y≈6.4,即當轉速為1 0r/s時,可以預知每小時生產有問題物件數大約為6.4件;根據公式y=0.7 2 86x-0.8 5 75,要使y≤1 0,則需要0.7 2 86x-0.8 5 75≤1 0,解得x≤1 4.9 0 19,即機器的轉速不能超過1 4.9 0 19r/s。

4.獨立性檢驗。

例4 在對人們的休閑方式的一次調查中,共調查了1 2 4人,其中女性7 0人,男性5 4人。女性中有4 3人主要的休閑方式是看電視,另外2 7人主要的休閑方式是運動;男性中有2 1人主要的休閑方式是看電視,另外3 3人主要的休閑方式是運動。

(1)根據數據建立一個2×2列聯表;

(2)判斷性別與休閑方式是否有關系。

參考公式及臨界值表(表3)如下:

表3

分析：獨立性檢驗是用調查數據來確定甲、乙兩個事物是否相關的一種方法,解題關鍵是要整理出4個數據,即“甲且乙”,“甲且非乙”,“非甲且乙”,“非甲且非乙”。

解：(1)如表4所示的2×2列聯表。

表4

因為k≥5.0 2 4,所以有理由認為假設“休閑方式與性別無關”是不合理的,即有9 7.5%的把握認為“休閑方式與性別有關”。

小結：獨立性檢驗只能得出甲、乙是否相關,以及有多大把握認為其相關,但得不出甲發(fā)生時乙發(fā)生的概率。

(責任編輯 劉鐘華)