湯春燕

[摘 要]錯例是在學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生的，在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)里普遍存在。研究錯例，對教學(xué)改進具有重要的實踐價值。在分析錯例的研究價值和錯例研究的現(xiàn)實意義的基礎(chǔ)上，提出錯例研究對教學(xué)的四個改進策略，從而幫助教師讀懂學(xué)生的學(xué)，促動教師反思自己的教。

[關(guān)鍵詞]錯例；錯例研究；教學(xué)改進

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0001-03

長期以來，廣大數(shù)學(xué)教師一直用自己的方式在研究數(shù)學(xué)、研究學(xué)生，努力去追尋更為有效的教學(xué)策略。錯例研究，便是教學(xué)改進中最貼近一線教師、最接近課堂、最必要和最具實踐價值的數(shù)學(xué)教育研究方式。

學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)錯誤的樣式或例子，我們稱之為錯例，出現(xiàn)錯誤的這個題就是易錯題。同一個易錯題可能會因各種原因而出現(xiàn)多種錯例，對于出現(xiàn)錯誤頻率高，具有一定普遍性和代表性的錯例，則稱為典型錯例（本文中所指的錯例研究，就是典型錯例研究）。錯例研究，就是立足易錯題，以典型錯例為研究對象，加以全面剖析、歸因，并提出或指導(dǎo)性的，或矯正性的，或預(yù)防性的教學(xué)建議的研究。教師每天都可以開展錯例研究，因為每節(jié)課上，每次練習(xí)中，每個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)里，學(xué)生都會發(fā)生錯誤，這樣的研究對師生而言，無疑是最本原、最直接，也是最有效的。

一、錯例研究對教學(xué)改進的價值性存在

聯(lián)合國教科文組織第十九次國民教育國際會議資料中指出：“應(yīng)當(dāng)研究學(xué)生所犯錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學(xué)生數(shù)學(xué)思維規(guī)律的手段?！痹谌绱烁叨说慕逃龂H會議中提到了學(xué)生的錯誤，錯例研究的價值可見一斑。錯例既能反映學(xué)生的思維過程，又能反照出教師的教學(xué)問題。典型錯例是多位學(xué)生出現(xiàn)同種錯法，因具有普遍性所以更具有研究的價值。

1.典型錯例反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)難點

學(xué)生的學(xué)習(xí)難點往往就是學(xué)生容易出錯的地方，典型錯例反映出的就是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點。如，對于分數(shù)乘法應(yīng)用題“一本書有100頁，已經(jīng)看了這本書的[34]，看了多少頁？”學(xué)生給出的算式“100÷[34]”就屬于典型錯例。在訪談學(xué)生的過程中發(fā)現(xiàn)：分數(shù)乘除法應(yīng)用題對學(xué)生來說比較難，是因為學(xué)生受到正整數(shù)乘法的負面影響，認為“乘法一定是越乘越大，除法一定是越除越小”，這一認知誤區(qū)影響了他們對分數(shù)意義的正確理解。因此，對于這道分數(shù)乘法應(yīng)用題，學(xué)生堅定地認為“書還沒有看完，說明看的頁數(shù)肯定比100要小，所以用除法”。這個學(xué)生在初學(xué)分數(shù)乘除法時的學(xué)習(xí)難點，教師就能從典型錯例中有所了解。

2.典型錯例折射出學(xué)生的認知偏差

學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)與新知識之間產(chǎn)生矛盾是正常的，從眾多的典型錯例中可見一斑。如，對于題目“在2.46和2.47之間有（ ）個數(shù)”，很多學(xué)生填“10”。在對學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對小數(shù)稠密性的理解不充分。小數(shù)的概念起源于測量和分數(shù)的部分與全體關(guān)系，有限小數(shù)是由“十等分”分割產(chǎn)生的，而十等分活動可以無限制地繼續(xù)下去，所以任意兩個小數(shù)之間有無數(shù)個小數(shù)存在，也就是說，小數(shù)具有稠密性。學(xué)生之所以填“10”，主要原因并不是他們沒有記住定義，而是他們的建構(gòu)活動發(fā)生了偏差，也就是他們對小數(shù)稠密性的認知出現(xiàn)了偏差。

3.典型錯例映照出教師的教學(xué)缺失

錯誤不但能反映出學(xué)生的認知發(fā)展水平和行為習(xí)慣，而且能映照出教師在教學(xué)理念和教學(xué)行為上的不足。如，簡便計算的學(xué)習(xí)中，對于利用減法運算性質(zhì)“a-b-c=a-（b+c）”計算的變式題目“1603-（603-75）”，很多學(xué)生這樣做：1603-（603-75）=1603-603-75。學(xué)生會這樣做，更多地還是受減法運算性質(zhì)“a-b-c=a-（b+c）”的影響。出現(xiàn)這樣的錯例，教師應(yīng)該反思是不是教學(xué)時只關(guān)注了基本形式，而忽視了該性質(zhì)的變式練習(xí)，以至于沒有足夠重視連減的簡便計算的變式，才造成了學(xué)生計算錯誤。如果能出示變式題，并利用問題情境進行教學(xué)，學(xué)生必然能夠更好地掌握相關(guān)知識。

教師只有研究錯例，讀懂錯誤，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，把握學(xué)生的認知缺陷，才能明白自己在教學(xué)過程中的種種缺失，從而對教學(xué)做出相應(yīng)的思考和改進。這正是錯例研究對教學(xué)改進的真正價值。

二、錯例研究對教學(xué)改進的現(xiàn)實性思考

錯例折射出了教與學(xué)的問題，也就為教學(xué)改進提供了事實依據(jù)。而從哪里改進，改進什么，如何改進，也就有了其客觀的現(xiàn)實意義。英國心理學(xué)家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的?！敝挥姓J識到錯例的價值，才能更好地對其進行研究，而研究是為了改進，以改進教學(xué)來最終實現(xiàn)更有效的教學(xué)。

1.有利于讀懂教材，把握教學(xué)難點

典型錯例反映的正是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點，即教學(xué)的難點。那么，怎樣來突破教學(xué)難點，從而化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難點呢？突破難點的前提是知道難點是什么，在哪里。這就給教師提出了“讀懂教材，正確把握教學(xué)難點”的要求。

對于題目 “把一根4米長的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長（ ）米?！?，五年級的學(xué)生容易出現(xiàn)錯誤。這是由于題目中的兩個問題非常相似，又比較抽象，很多學(xué)生弄不清是求具體的數(shù)量，還是求部分與整體的關(guān)系。這恰恰就是“認識分數(shù)意義”的教學(xué)難點。要突破這難點，就要研究“分數(shù)的意義”教學(xué)在教材中的編排情況?！胺謹?shù)的意義”分別安排在三、四年級，分兩個階段來學(xué)習(xí)。對于教材的編排，教師會有兩點感受：一是感到分數(shù)意義理解的輕重失衡。教材沒有安排獨立的課時來研究用分數(shù)表示數(shù)量，所以和學(xué)生在第一學(xué)段已建立起“部分和整體的一種關(guān)系”相比，分數(shù)代表一種數(shù)的內(nèi)容過于單薄。二是不利于學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)意義時進行正遷移。教材先讓學(xué)生理解分數(shù)表示“部分和整體的一種關(guān)系”，再概括分數(shù)的意義，然后學(xué)習(xí)分數(shù)與除法的關(guān)系，最后認識分數(shù)表示一種關(guān)系的另一種意義。這樣編排于無形中割裂了分數(shù)的兩種意義，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不能發(fā)生正遷移，學(xué)生必然就會錯誤理解所學(xué)的概念。通過對教材的反復(fù)研讀，筆者用“板塊系統(tǒng)教學(xué)”的思想對“分數(shù)的意義”教學(xué)做了改進，一是重組教學(xué)內(nèi)容，均衡分數(shù)兩種意義的理解；二是指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，引出分數(shù)的兩種意義；三是拓展題目類型，強化分數(shù)的兩種意義。通過這三個策略幫助學(xué)生完整掌握分數(shù)的兩種意義，并為今后小數(shù)乘除法、分數(shù)乘除法等計算教學(xué)和相關(guān)解決問題的教學(xué)做好鋪墊。

典型錯例能促動教師反觀和審視教材，進一步思考教學(xué)的重點和難點，從這個意義上講，錯例研究其實就是對教材內(nèi)容的再度理解與把握。

2.有益于摸清學(xué)情，做到對癥下藥

差錯總是伴隨著教學(xué)產(chǎn)生，學(xué)生的許多錯誤都是由于教師不了解學(xué)生的認知基礎(chǔ)和思維特點等而造成的。教師只要順“錯例”這根藤摸到“錯誤原因”這個瓜，就能摸清學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，再依此開展教學(xué)改進。

對于題目“在一個長7分米、寬5分米的長方形紙上，要剪出邊長是2分米的正方形，最多能剪出這樣的正方形多少個？（請你畫一畫示意圖）”，學(xué)生的典型錯例是（7×5）÷（2×2）=8。在訪談中，學(xué)生的回答驚人相似：用“進一法”來解決，而對于畫示意圖的提示不屑一顧，覺得這只是一個輔助方法而已。從中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思考點在以前曾經(jīng)用什么方法解決過類似的問題，至于是否適用該題，是否符合生活實際，都不予考慮。

可見，學(xué)生只是在調(diào)用原有的解題經(jīng)驗，而沒能具體問題具體分析。這個錯例至少給了教師兩點啟示：一是數(shù)學(xué)只有在應(yīng)用中才能體現(xiàn)價值，數(shù)學(xué)教學(xué)需要跟生活情境緊密結(jié)合；二是要有意識地滲透問題解決的策略，畫示意圖是一種最常用、最便捷的解題策略。由此可知，只有走進學(xué)生的心靈，了解他們的所思所想，摸清學(xué)情，教學(xué)方可做到對癥下藥。

3.有助于反思自我，推動教師的教和學(xué)生的學(xué)

錯誤產(chǎn)生的原因是多方面的，但最主要的還是集中在教師和學(xué)生兩個方面。面對學(xué)生的差錯，就教師而言，要反思自己的教學(xué)行為；對學(xué)生來說，要學(xué)會自我診治，在與錯誤的對抗中獲得發(fā)展。

錯例研究，能讓教師養(yǎng)成一種遇到問題就去分析和思考的習(xí)慣，在日常教學(xué)中也必然會有意或無意地審視自己的教學(xué)行為，而后帶著“是否合理”的疑問去展開教學(xué)。教師教之前就會多一些深究，在深究中教材被再次研讀，教法被再次推敲，活動被再次設(shè)計，學(xué)生被更多地推到教學(xué)“中央”。改進后的教學(xué)在“再次”和“更多”中變得更加真實和有效。

錯誤被認為是可貴的教學(xué)資源，其可貴不僅在于教師可以“因錯施教”，更在于學(xué)生可以在差錯中學(xué)習(xí)。面對學(xué)生的差錯，教師要適時引導(dǎo)，并提供給學(xué)生自我診治和修正的機會，讓學(xué)生在辨析和糾正錯誤中改進學(xué)習(xí)方法。因此，教師的錯例研究，對學(xué)生而言，是給了他們思維發(fā)展的空間，讓其經(jīng)歷一個自悟自得的創(chuàng)新過程。學(xué)生自己從錯誤的認知中走出，比教師直接告訴他們正確答案更能讓他們記憶深刻。這也印證了作家莫言所說的：“人不怕犯錯誤，犯了錯誤，如果能帶著教育和反思爬起來，錯誤就會成為課堂?！?/p>

三、錯例研究對教學(xué)改進的建議性策略

錯例是有效診斷教與學(xué)的載體，錯例研究最終是為了改進教學(xué)。對于如何利用錯例有效改進數(shù)學(xué)教學(xué)，提高課前預(yù)設(shè)、課堂預(yù)防、監(jiān)控、矯正及課后補救的效率，許多教師都在默默探索，積極實踐。紹興小學(xué)數(shù)學(xué)教師在長達六年的錯例研究中，依據(jù)易錯題的知識屬性，提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。本文則從另外一個角度，提出利用錯例改進教學(xué)的策略。

1.“提前干預(yù)式”策略

“提前干預(yù)式”策略，即教師在課前已經(jīng)知道了本節(jié)課對應(yīng)的錯例，根據(jù)錯例預(yù)設(shè)相應(yīng)環(huán)節(jié)，提前刺激學(xué)生的“犯錯”主動性，讓學(xué)生在“錯誤被干預(yù)”的情境中充分體驗，構(gòu)建正確的知識系統(tǒng)。這里的“干預(yù)”，根據(jù)需要可以是“對教學(xué)現(xiàn)場的主動干預(yù)”，也可以是“對教學(xué)設(shè)計的事前干預(yù)”。下面給出一個教學(xué)現(xiàn)場中主動干預(yù)的案例。

學(xué)習(xí)“用比例解決問題”時，學(xué)生經(jīng)常會犯所設(shè)的未知數(shù)與列的方程不一致的錯誤。如，甲、乙兩地相距420千米，一輛汽車從甲地開往乙地，2小時行駛了140千米。照這樣計算，到達乙地還要多少小時？

解：設(shè)到達乙地還要x小時。[420x]=[1402] ，x=6，6-2=4（小時）。

對于這樣的錯例，教師可以在課上進行“未教先知”的“干預(yù)”：出示上題，要求學(xué)生獨立解答；隨即巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生出現(xiàn)與上題雷同的錯誤；接著，找兩位分別做對與做錯的學(xué)生把解題方法寫在黑板上，對比分析，弄清出錯原因，并提出修改方案。

如果仍然“設(shè)到達乙地還要x小時”，怎么修改方程使之正確？如果計算過程仍然是“[420x]=[1402]，x=6 ，6-2=4（小時）”，怎么改也能使之正確？通過對“設(shè)法”與“方程”兩條途徑的修改，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到只有所設(shè)的未知數(shù)與方程必須一致，才能避免自相矛盾。這樣的教學(xué)自然能收到事半功倍的效果。

2.“內(nèi)容調(diào)整式”策略

“內(nèi)容調(diào)整式”策略，即改變教材原定的順序，將錯例所生發(fā)的教學(xué)內(nèi)容提前，以此來了解學(xué)生的出錯情況。

在運用運算定律進行簡算時，學(xué)生會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，尤其是運用乘法結(jié)合律和分配律進行簡算，就有（80+4）×25=80+4×25、25×（4×8）=25×4+25×8等錯例。這時，教師可以在運用“提前干預(yù)式”策略的基礎(chǔ)上，對“乘法分配律”和“乘法交換律和結(jié)合律”兩個內(nèi)容的教學(xué)順序做調(diào)整。下表呈現(xiàn)的是四年級A、B兩個班的不同教學(xué)情況。

對A、B兩班的部分學(xué)生進行訪談，訪談的話題是“你怎樣看待乘法結(jié)合律和分配律”。從訪談中發(fā)現(xiàn)，從乘法意義的角度去理解和建構(gòu)乘法分配律，學(xué)生就能掌握乘法簡算中最核心的部分，以及A班學(xué)生對乘法分配律使計算簡便的價值認識相對B班學(xué)生更深刻。

當(dāng)然，運用該策略時，要在透徹理解教學(xué)內(nèi)容，不違背學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上進行。

3.“專項訓(xùn)練式”策略

從本質(zhì)上看，很多錯例是與學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念與意識、解決問題策略等有關(guān)?！皩ｍ椨?xùn)練式”策略，就是從運算能力、空間觀念、解決問題能力等方面入手，設(shè)計專門的數(shù)學(xué)活動，從而減少出錯，幫助學(xué)生提升基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在“解決問題”的錯例中，學(xué)生“題意不理解”“方法不靈活”“數(shù)學(xué)模型模糊”等原因造成的錯誤較多。因此，開展解決問題方面的“四?！睂ｍ椫笇?dǎo)就能收到良好的效果。