劉朋朋

【摘 要】對(duì)于車載組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)，當(dāng)姿態(tài)誤差角較大或車輛機(jī)動(dòng)性強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測(cè)方程皆為非線性，為了提高導(dǎo)航定位精度，需要利用非線性濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。本文從原理上闡述了四種常見(jiàn)的非線性濾波算法，并研究了各算法的性能差異。

【關(guān)鍵詞】濾波算法；擴(kuò)展卡爾曼濾波；無(wú)跡卡爾曼濾波；容積卡爾曼濾波；粒子濾波；估計(jì)精度；實(shí)時(shí)性

中圖分類號(hào)：U666.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）26-0138-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.061

Research on Performances of the Regular Filtering Algorithms for Nonlinear State Estimation

LIU Peng-peng1，2

（1.Sergeant School of Rocket Force，Qingzhou，Shandong，262500，China；

2.National Key Lab.of Armament Launch Theory & Technology，Rocket Force University of Engineering，

Xian，Shanxi，710025，China）

【Abstract】As for the vehicle integrated navigation and positioning system，when the attitude error angles are large or the vehicle maneuvers quickly， the systems state equation and measurement equation are nonlinear；so nonlinear filtering algorithms should be used according in order to improve the accuracy of navigation and positioning.Four regular nonlinear filtering algorithms are stated in this paper，and their different performance is studied.

【Key words】Filtering algorithm；Extended Kalman filter；Unscented Kalman filter；Cubature Kalman filter；Particle filter； Estimation accuracy；Real-time performance

車載組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)通常是以捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)為主系統(tǒng)，組合其他定位系統(tǒng)，通過(guò)濾波算法將各傳感器測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合后，對(duì)載車的實(shí)時(shí)狀態(tài)或狀態(tài)誤差進(jìn)行估計(jì)，取得高于單獨(dú)使用一種系統(tǒng)的導(dǎo)航定位精度，具有非常高的容錯(cuò)性和可靠性。

當(dāng)姿態(tài)誤差角較大時(shí)，車載組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)系統(tǒng)方程和量測(cè)方程均呈現(xiàn)非線性，此時(shí)采用卡爾曼濾波，定位的精度將會(huì)大大降低。為了提高車載組合導(dǎo)航系統(tǒng)的精度，卡爾曼濾波器在線性高斯卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上向著非線性非高斯濾波的方向發(fā)展，如擴(kuò)展卡爾曼濾波、無(wú)跡卡爾曼濾波、粒子濾波、容積卡爾曼濾波等。本文從原理上分析了以上四種常見(jiàn)的非線性濾波算法在組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)中的應(yīng)用，為組合導(dǎo)航定位中的算法應(yīng)用提供參考。

當(dāng)失準(zhǔn)角較大或載車機(jī)動(dòng)時(shí)，組合導(dǎo)航系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，此時(shí)利用線性卡爾曼濾波器，會(huì)導(dǎo)致精度不高，甚至濾波發(fā)散，因此，需利用非線性濾波器進(jìn)行濾波，從而實(shí)現(xiàn)組合導(dǎo)航定位處理。下面對(duì)當(dāng)前幾種常用的非線性濾波器從原理上進(jìn)行闡述和研究。

1 非線性狀態(tài)空間模型

本文研究的對(duì)象為非線性離散時(shí)間下的狀態(tài)空間模型，其狀態(tài)方程與量測(cè)方程表達(dá)式分別為：

其中，Xk表示目標(biāo)在k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量，Zk為k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的量測(cè)值。f和h分別是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和量測(cè)方程，二者均為非線性函數(shù)。g和j為適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。系統(tǒng)噪聲wk是均值為零，方差為Qk的高斯白噪聲序列。量測(cè)噪聲vk與系統(tǒng)狀態(tài)噪聲相互獨(dú)立，是均值為零，方差為Rk的高斯白噪聲。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）

20世紀(jì)60年代提出的擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）屬于次優(yōu)濾波器，它是將非線性系統(tǒng)模型一階或二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，使非線性函數(shù)線性化，從而利用卡爾曼濾波的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行濾波。

EKF的缺點(diǎn)是僅僅利用了非線性函數(shù)泰勒展開(kāi)式的一階或一、二階偏導(dǎo)數(shù)部分進(jìn)行近似，精度最多只能達(dá)到二階精度，并且算法需要計(jì)算雅可比矩陣，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為多維時(shí)計(jì)算量比較大；另外在強(qiáng)非線性和非高斯環(huán)境下跟蹤性能較差，甚至出現(xiàn)濾波發(fā)散。

3 無(wú)跡卡爾曼濾波（UKF）

無(wú)跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman filter，UKF）是基于“對(duì)概率密度分布近似要比對(duì)非線性函數(shù)近似要容易實(shí)現(xiàn)”的思想提出的，它也是基于線性卡爾曼濾波的基本框架，采用UT（Unscented Transformation）變換取代局部線性化，通過(guò)具有不同權(quán)值的2n+1個(gè)確定性Sigma采樣點(diǎn)，經(jīng)非線性函數(shù)傳播來(lái)逼近高斯?fàn)顟B(tài)分布的均值和方差，采樣點(diǎn)經(jīng)過(guò)非線性系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換后捕獲的后驗(yàn)均值和方差能夠精確到非線性系統(tǒng)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的三階項(xiàng)，因此UKF精度能達(dá)到三階精度，高于EKF的二階精度，而計(jì)算量卻與EKF相當(dāng)，但它不（下轉(zhuǎn)第147頁(yè)）（上接第138頁(yè)）用計(jì)算雅可比矩陣，UKF仍假設(shè)系統(tǒng)噪聲服從高斯分布，但不要求系統(tǒng)是近似線性的。

4 粒子濾波（PF）

粒子濾波（Particle Filtering，PF）算法，基于蒙特卡羅（Monte Carlo，MC）和遞推貝葉斯估計(jì)，利用狀態(tài)空間中一系列加權(quán)隨機(jī)樣本集來(lái)近似系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，以樣本均值來(lái)代替積分運(yùn)算，然后根據(jù)觀測(cè)量不斷地調(diào)整粒子的權(quán)重和位置，并通過(guò)調(diào)整后驗(yàn)粒子的信息，修正最初的先驗(yàn)條件分布，從而獲得狀態(tài)最小方差的估計(jì)過(guò)程。該算法是一種近似最優(yōu)濾波，理論上可適用于任何能用狀態(tài)空間模型表示的非線性非高斯系統(tǒng)，該方法不受線性化誤差和高斯噪聲假定的限制，可以處理強(qiáng)非線性、非高斯噪聲系統(tǒng)模型的濾波。但粒子權(quán)重的方差增大會(huì)引起嚴(yán)重的粒子退化問(wèn)題。隨著PF算法迭代次數(shù)的增加，PF中的粒子只有一個(gè)或幾個(gè)保持較大的權(quán)值，而大多數(shù)粒子的權(quán)值退化到幾乎為0，造成粒子退化問(wèn)題。

5 容積卡爾曼濾波（CKF）

為了克服UKF在高維系統(tǒng)中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定以及精度降低等問(wèn)題，加拿大學(xué)者Arasaratnam等基于spherical-radial cubature準(zhǔn)則和球面-徑向積分原理，提出了容積卡爾曼濾波[9-11]（Cubature Kalman filter，CKF），應(yīng)用于高維非線性系統(tǒng)，具有較好的穩(wěn)定性和精度。CKF基于高斯濾波框架，采用cubature規(guī)則近似非線性函數(shù)傳遞的后驗(yàn)均值和方差，與UKF相比，CKF的理論推導(dǎo)更為嚴(yán)密，CKF的采樣點(diǎn)比UKF采樣點(diǎn)少一個(gè)，通過(guò)2n個(gè)同等權(quán)值且都大于零的Cubature點(diǎn)經(jīng)非線性系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換后產(chǎn)生新的點(diǎn)來(lái)給出下一時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)，同樣無(wú)需對(duì)非線性模型線性化，CKF濾波器的方差陣能夠保持正定，使CKF對(duì)高維系統(tǒng)具有更好的估計(jì)性能。

總結(jié)四種非線性濾波算法的適用范圍，如表1所示，它們都可應(yīng)用于線性高斯條件，PF算法應(yīng)用范圍最廣，還可應(yīng)用于非線性條件和非高斯噪聲下，CKF和UKF可應(yīng)用于非線性高斯條件，而EKF只能適用于弱非線性條件下。

本文從原理上對(duì)四種常見(jiàn)的非線性濾波算法進(jìn)行了研究，為車載組合導(dǎo)航算法的選取提供了一定參考價(jià)值。四種濾波算法都采用其標(biāo)準(zhǔn)形式，當(dāng)噪聲未知或發(fā)生時(shí)變情況下，濾波會(huì)出現(xiàn)逐漸發(fā)散的趨勢(shì)，所以應(yīng)該對(duì)非線性濾波器的適應(yīng)能力進(jìn)行提高，下一步研究方向是將自適應(yīng)算法或強(qiáng)跟蹤算法與非線性濾波進(jìn)行結(jié)合。