張圣博

摘 要 所謂彩票是由幾個(gè)固定的數(shù)字組成的數(shù)碼或者是符號(hào)，在若干個(gè)給定的數(shù)碼或者是符號(hào)中買到與中獎(jiǎng)的數(shù)碼完全相同或者是部分相同的情況下，就會(huì)得到相應(yīng)的獎(jiǎng)項(xiàng)。而排列組合是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。那彩票與排列組合之間有什么樣的關(guān)系呢？本文介紹了排列組合的定義、發(fā)展歷程和基本計(jì)數(shù)原理，并通過列舉不同種類彩票的中獎(jiǎng)情況分析了排列組合知識(shí)與彩票間的聯(lián)系，以此來激發(fā)人們對(duì)排列組合的興趣與認(rèn)知，也能夠讓人們?cè)谫徺I彩票時(shí)更理智。

關(guān)鍵詞 彩票 排列組合

中圖分類號(hào)：F224.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1排列組合

1.1排列組合的定義

排列組合是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。排列指的是從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素，然后進(jìn)行排序的一個(gè)過程。它的計(jì)算公式是：A=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）=n！/（n-m）！，表示的意思是從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)。組合指的是從給定個(gè)數(shù)的元素中中取出制定個(gè)數(shù)的元素而并不進(jìn)行排序的一個(gè)過程。它的計(jì)算公式是：C=A/m！=n！/m！（n-m）！，表示的意思是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。

1.2排列組合的發(fā)展歷程

盡管數(shù)數(shù)是源于結(jié)繩計(jì)數(shù)的遠(yuǎn)古時(shí)代，但當(dāng)時(shí)的社會(huì)發(fā)展水平還處于最初的階段，對(duì)于數(shù)數(shù)并不沒有什么技巧。隨著人們對(duì)于數(shù)的了解和研究，與數(shù)相關(guān)的各種數(shù)學(xué)分支，如數(shù)論和代數(shù)等的形成與發(fā)展，人們認(rèn)識(shí)到數(shù)的多樣性，也逐步產(chǎn)生了數(shù)數(shù)的一些技巧，數(shù)與形之間也密切地聯(lián)系起來。這些都有利以研究數(shù)的技巧為主的近代組合學(xué)的形成與發(fā)展。

11世紀(jì)和12世紀(jì)間，賈憲發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)，而楊輝將它記錄在自己的《續(xù)古抉奇法》中，也就是我們通常所說的楊輝三角。13世紀(jì)波斯的哲學(xué)家曾經(jīng)講過這類三角。17世紀(jì)中期，布萊士·帕斯卡和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)許多與概率論有關(guān)的經(jīng)典組合學(xué)的一些結(jié)果。18世紀(jì)，組合學(xué)開始作為一門學(xué)科來發(fā)展。19世紀(jì)，高斯提出高斯系數(shù)，對(duì)于經(jīng)典組合學(xué)的影響是非常重大的。同時(shí)，喬治·布爾發(fā)現(xiàn)布爾代數(shù)的分支，成為組合學(xué)中序理論的基石。20世紀(jì)初期，龐加萊與多面體的問題相聯(lián)系，從而組合學(xué)的概念與方法得到發(fā)展。20世紀(jì)中后期組合學(xué)發(fā)展迅速。一方面，組合結(jié)構(gòu)被闡明和被稱為組合最優(yōu)化的一個(gè)組合學(xué)分支產(chǎn)生。另一方面，隨著電子和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，組合學(xué)出現(xiàn)很多新的研究課題，比如組合計(jì)算幾何。

根據(jù)組合學(xué)的研究與發(fā)展現(xiàn)狀，它可以分為：經(jīng)典組合學(xué)、組合設(shè)計(jì)、組合序、圖與超圖和組合多面行與最優(yōu)化。

組合學(xué)幾乎涉及到數(shù)學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域。因此，研究組合學(xué)中的排列組合有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1.3排列組合的基本計(jì)數(shù)原理

1.3.1加法原理和分類計(jì)數(shù)法

加法原理：完成一件事有n種方法，在第一類方法中有m1種，在第二類中有m2，...，在n中方法中有mn種，因此，完成這件事共有A=m1+m2+…+mn種方法。

分類的要求：每一類中每個(gè)方法都是獨(dú)立存在的；兩類不同辦法中的具體方法都是不重復(fù)的；完成這件事的任何一個(gè)方法都屬于某一類。

1.3.2乘法原理和分步計(jì)數(shù)法

乘法原理：完成一件事需要n種步驟，第一步有m1種方法，第二步有m2，...，第n步有mn種，完成這件事需要A=m1xm2x…xmn種方法。

分步要求：連續(xù)完成n步才能完成這個(gè)事；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中采取的方法不同則完成此事的方法也不同。

2彩票中的排列組合問題

隨著中國(guó)體育和福利事業(yè)的發(fā)展，廣大消費(fèi)者對(duì)于彩票的熱情度越來越高。他們都想通過碰“運(yùn)氣”來獲得豐厚的獎(jiǎng)金。然而，大多數(shù)購買者只知道一味地去購買彩票，卻忽略了彩票中的數(shù)學(xué)問題。所謂彩票是由幾個(gè)固定的數(shù)字組成的數(shù)碼或者是符號(hào)。在若干個(gè)給定的數(shù)碼或者是符號(hào)中買到與中獎(jiǎng)的數(shù)碼完全相同或者是部分相同的情況下，就會(huì)得到相應(yīng)的獎(jiǎng)項(xiàng)。彩票，不管是規(guī)定順序還是不規(guī)定順序都是從若干個(gè)數(shù)碼或者是符號(hào)中選出幾個(gè)數(shù)碼或符號(hào)，這就是我們組合數(shù)學(xué)中的排列組合問題。接下來我們就討論下彩票中的排列組合問題。

2.1傳統(tǒng)型彩票

傳統(tǒng)型彩票采用的是10選6+1的形式，也就是說先從6組0到9號(hào)球中搖出6個(gè)最基本的號(hào)碼，每一組搖出一個(gè)基本號(hào)碼。然后從0到4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，即中獎(jiǎng)號(hào)碼。彩民要從0到9這10個(gè)號(hào)碼中任意選擇6個(gè)可以重復(fù)的基本號(hào)碼，再從0都4中選擇一個(gè)特別號(hào)碼，就可以構(gòu)成一注。以單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符合的個(gè)數(shù)和順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來確定中獎(jiǎng)的等級(jí)。

傳統(tǒng)型彩票的中獎(jiǎng)規(guī)則實(shí)質(zhì)上就是排列組合問題。那么各級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率是怎么樣的呢？

假設(shè)Pi（i=1、2、...、）是各級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率。

P1=1/5x106=2x10-7

P2=4/5x106=8x10-7

P3=2A19/106=1.8x10-5

P4=2A19A110+A19A19/106=2.61x10-4

P5=2A19A110+2A19A19A19/106=3.42x10-3

P6=2A19A110A110A110+3A19A19A110A110-（3A19A19+2A19）/106=4.1995x10-2

2.2電腦彩票

2.2.1樂透型彩票

樂透型彩票有很多形式，比如33選7、36選6+1等。33選7指的是先從0到33個(gè)號(hào)碼球中逐一搖出7個(gè)基本號(hào)碼，在從剩余的26個(gè)號(hào)碼球中搖出特別號(hào)碼。彩民要從0到33個(gè)數(shù)碼中任選不可重復(fù)的7組成一注，根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符合的個(gè)數(shù)來判斷中獎(jiǎng)的等級(jí)，與號(hào)碼順序無關(guān)。樂透型彩票不考慮順序的問題，因此是單純的組合問題，我們只需要運(yùn)用組合的計(jì)算公式便可以求解出各等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率。endprint

2.2.2電腦福彩

電腦福彩的投注方法是從36個(gè)號(hào)碼中選擇7個(gè)作為一注，每注是2元。

首先，我們來討論下，一張電腦彩票中特等獎(jiǎng)的機(jī)率是多少。通過規(guī)則我們可以知道要想獲得特等獎(jiǎng)就必須從36個(gè)號(hào)碼中選出與中獎(jiǎng)數(shù)字相同的7個(gè)號(hào)碼，因?yàn)椴挥?jì)算順序，所以屬于組合問題，通過計(jì)算公式C736=36x35x34x33x32x31x30/ 1x2x3x4x5x6x7=8347680，可以看出從36個(gè)號(hào)碼中選出7個(gè)總共有八百多萬種選法，也就是說一張彩票中獎(jiǎng)的機(jī)率是1/8347680，幾乎為0。如何提高中獎(jiǎng)的機(jī)率呢？有人說多買就能增加中獎(jiǎng)機(jī)率。但只要買的少于8347680張，就不能保證百分之百中獎(jiǎng)。

其次，我們來討論下在只考慮特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金（5000000）的情況下，將36個(gè)號(hào)碼至少減少到多少就可以采用全包的方式來保證中獎(jiǎng)的機(jī)率。假設(shè)36個(gè)號(hào)碼減少到m，則從m中選擇7個(gè)的情況就有C7m，全包的話只需要2>C7m，所以只需要2>C7m<5000000即可。經(jīng)過計(jì)算得知，C731=2629576>2500000，C730=2035800<2500000，只有將36個(gè)號(hào)碼減少到30個(gè)或以下，而且獲獎(jiǎng)金額不變的情況下就可以采用全包的形式。但這種情況是非常少見的，彩民在購買彩票前一定要好好閱讀中獎(jiǎng)規(guī)則，避免上當(dāng)。

最后，我們來討論下如果保持36個(gè)號(hào)碼不變，減少要選出的7個(gè)號(hào)碼的數(shù)量的情況。減少可選號(hào)碼的數(shù)量就能減少出現(xiàn)不同情況的種類。假設(shè)a、b和d都是自然數(shù)，而且a

C=A/m！=n！/m?。╪-m）！=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）/1x2x3x…xm，我們可以看出m增大，分式中的分母和分子都在增大，所以整個(gè)分?jǐn)?shù)的值并不是最大。只有分子相乘的數(shù)大于分母時(shí)，整個(gè)分?jǐn)?shù)的值才是較大的，即n-m+1>m，也就是m

3總結(jié)

生活中處處充滿著數(shù)學(xué)的影子。通過分析傳統(tǒng)型彩票和電腦彩票這兩種類型中的不同情況，我們可以發(fā)現(xiàn)，彩票中蘊(yùn)含著豐富的排列組合問題。所以，我們?cè)谫徺I彩票時(shí)不僅僅是要想著憑借著“運(yùn)氣”來獲取獎(jiǎng)金，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用排列組合的概念和方法來分析彩票中的各種問題。只有這樣，我們才能理智地面對(duì)彩票，也加深對(duì)排列組合知識(shí)的認(rèn)知，提升對(duì)其的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

[1] 郭飛.排列組合在生活中的應(yīng)用[J].新課程：教研版，2011（05）.

[2] 羅榮枝.彩票中的排列組合問題探析[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2011（15）.