王棟

摘 要 在大學(xué)物理中，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)部分的內(nèi)容，幾乎全部物理概念、物理規(guī)律及推導(dǎo)過(guò)程都可以與質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類(lèi)比。文章從運(yùn)動(dòng)的描述、動(dòng)力學(xué)方程、做功及動(dòng)能、沖量矩及角動(dòng)量四個(gè)方面展開(kāi)類(lèi)比。教師通過(guò)類(lèi)比把知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，可以使學(xué)生快速而牢固地掌握這部分內(nèi)容。

關(guān)鍵詞 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 直線運(yùn)動(dòng) 類(lèi)比

中圖分類(lèi)號(hào)：O311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在大學(xué)物理課程中，剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)部分是一個(gè)難點(diǎn)，有些概念是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中從未提及的，又比較抽象，老師講起來(lái)比較困難，學(xué)生學(xué)起來(lái)也比較困難。即使記住公式，也不知道該怎么代。實(shí)際上，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體力學(xué)的基礎(chǔ)，也是最簡(jiǎn)單的部分，只要掌握一定的方法，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。在物理學(xué)中，不論是科學(xué)研究過(guò)程，還是教學(xué)過(guò)程，有一個(gè)方法必須重視，那就是類(lèi)比法。物理教學(xué)中的類(lèi)比法隨處可見(jiàn)，在幫助學(xué)生理解物理概念和規(guī)律方面非常值得推薦。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)就有很多可以類(lèi)比的地方。本文從以下四個(gè)方面進(jìn)行類(lèi)比。

1運(yùn)動(dòng)的描述

質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)是一維的，只在一條直線上運(yùn)動(dòng)，因此其位置只用一個(gè)坐標(biāo)就可以確定。建立一條坐標(biāo)軸x軸，用坐標(biāo)x描述質(zhì)點(diǎn)的位置，速度和加速度也可用標(biāo)量v和a表示。從x到v再到a，是求導(dǎo)的關(guān)系，而反過(guò)來(lái)，就是積分的關(guān)系。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，雖然各質(zhì)點(diǎn)均做圓周運(yùn)動(dòng)，但整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)也是“一維”的，這是因?yàn)檗D(zhuǎn)軸是固定的。類(lèi)似地，其位置用角坐標(biāo) 描述，角坐標(biāo)的變化快慢用角速度 描述，角速度的變化快慢用角加速度 描述。從 到 再到 ，是求導(dǎo)的關(guān)系，而反過(guò)來(lái)，就是積分的關(guān)系。

關(guān)于方向，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是用轉(zhuǎn)軸的指向來(lái)描述的。因?yàn)檗D(zhuǎn)軸固定，所以方向只有兩個(gè)。先選定一個(gè)正方向，正如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的坐標(biāo)軸一樣。約定：從轉(zhuǎn)軸正方向看過(guò)去，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，即 取正值；順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)， 取負(fù)值。也可以用右手螺旋法則，右手四指繞向剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，拇指的指向若沿轉(zhuǎn)軸正方向，則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎?，反之為?fù)。雖然轉(zhuǎn)動(dòng)的方向判定比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，但依然可以找到對(duì)應(yīng)關(guān)系。剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)沿坐標(biāo)軸正方向運(yùn)動(dòng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)則對(duì)應(yīng)于質(zhì)點(diǎn)沿坐標(biāo)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。

2動(dòng)力學(xué)方程

在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，即運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向均不發(fā)生變化；若所受合外力不為零，質(zhì)點(diǎn)將獲得一個(gè)加速度，使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。因此，力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，力與加速度之間滿足，這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，人們熟知的牛頓第二定律。

在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力不再是改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因了，與力相對(duì)應(yīng)的，是力矩。與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類(lèi)似，若剛體所受的合外力矩為零，則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不發(fā)生變化；若所受合外力矩不為零，剛體將獲得一個(gè)角加速度，使其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。因此，力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因。力矩與角加速度之間滿足M=I ，這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。當(dāng)然，這里需要注意，M、I、 都必須是對(duì)于同一固定轉(zhuǎn)軸而言的。I為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是一個(gè)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量，正如質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的質(zhì)量一樣。

3功與動(dòng)能

在質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)中，力對(duì)空間的積分稱為做功，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：W=Fdx；而在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩對(duì)空間的積分稱為做功，只是空間量用角度描述：：W=Md 。在兩種運(yùn)動(dòng)中做功都等于動(dòng)能的增量，這就是動(dòng)能定理。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能等于慣性質(zhì)量乘以速度平方除以2：Emv2，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能也是非常類(lèi)似的，只要把慣性質(zhì)量換成描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，把速度換成角速度就可以了，表示為：Ek= I2。

4角動(dòng)量與沖量矩

在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，有兩個(gè)非常重要的物理量：沖量和動(dòng)量。力對(duì)時(shí)間的積分稱為沖量，慣性質(zhì)量和速度的乘積稱為動(dòng)量，用p表示：p=mv。一段時(shí)間內(nèi)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。該定理可以從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程-牛頓第二定律推導(dǎo)而來(lái)：

F= Fdt=dp Fdt=dp=p2p1。

類(lèi)似地，在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，也有兩個(gè)對(duì)應(yīng)于沖量和動(dòng)量的物理量：沖量矩和動(dòng)量矩，動(dòng)量矩常稱為角動(dòng)量。力矩對(duì)時(shí)間的積分稱為沖量矩，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積稱為角動(dòng)量，通常用L表示：L=I 。一段時(shí)間內(nèi)，作用于剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量，這稱為剛體的角動(dòng)量定理。同樣，這個(gè)定理也可以從剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程-轉(zhuǎn)動(dòng)定律推導(dǎo)而來(lái)：M= Mdt=dL Mdt=dL=L2L1 。

沖量矩和角動(dòng)量是兩個(gè)全新的物理量，也比較抽象，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)比較困難。但這兩個(gè)量又非常重要，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，特別是在量子力學(xué)中，角動(dòng)量會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)。因此必須讓學(xué)生理解透徹，與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的類(lèi)比可以幫助學(xué)生快速理解角動(dòng)量。

以上四個(gè)方面囊括了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的大部分內(nèi)容。通過(guò)類(lèi)比可以看出，雖然剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)是完全不同的兩種運(yùn)動(dòng)，但研究方法卻非常類(lèi)似，幾乎每一個(gè)物理量、定理及推導(dǎo)方法都能夠?qū)?yīng)。對(duì)兩種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類(lèi)比教學(xué)，不僅能夠使學(xué)生快速而牢固地掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的知識(shí)，而且可以領(lǐng)略物理學(xué)中理論結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美。

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