徐向清

實(shí)數(shù)的初來乍到，讓同學(xué)們不免感覺有點(diǎn)陌生，為了幫助同學(xué)們理清有關(guān)實(shí)數(shù)的概念，現(xiàn)整理了大家學(xué)習(xí)時應(yīng)注意的幾個問題.

一、注意理解實(shí)數(shù)的概念

由于實(shí)際問題的需要，我們引進(jìn)了“無理數(shù)”，即無限不循環(huán)小數(shù).無理數(shù)應(yīng)滿足3個條件：①是小數(shù)；②是無限小數(shù)；③是不循環(huán)小數(shù).

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)這個大家庭里有有理數(shù)和無理數(shù)兩大成員.有理數(shù)和無理數(shù)是兩類完全不同的數(shù).一個實(shí)數(shù)如果是有理數(shù)，那么它一定不是無理數(shù)，反之，如果一個數(shù)是無理數(shù)，那么它一定不是有理數(shù).

由此，有理數(shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù).另外，所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成分母為1的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

二、注意無理數(shù)的幾種常見表現(xiàn)形式

無理數(shù)一般有下列幾種常見的表現(xiàn)形式：

第一類：“π”型，如2π、3π-1、[π2]；第二類：“根號”型，如[2]、-[33]；第三類：“小數(shù)”型，如0.1201210012120001212…、

-3.36377377737777….

此外，以后我們還會接觸另一類無理數(shù)，即銳角三角函數(shù)型.

三、注意實(shí)數(shù)的分類

實(shí)數(shù)的分類可從兩個角度去思考，即：①按定義來分類；②按正、負(fù)數(shù)來分類.具體如下表：

[實(shí)數(shù)][實(shí)數(shù)]

由此可見，0在實(shí)數(shù)里也扮演著重要角色.我們通常把正實(shí)數(shù)和0合稱為非負(fù)數(shù)，把負(fù)實(shí)數(shù)和0合稱為非正數(shù).

四、注意實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，就是說所有的實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示；反之，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，如果不是有理數(shù)，那就是無理數(shù).

在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.實(shí)數(shù)a的絕對值在數(shù)軸上表示就是這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

利用數(shù)軸可以比較任意兩個負(fù)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小.

另外，任何兩個實(shí)數(shù)之間有無窮多個有理數(shù)和無窮多個無理數(shù).

五、注意實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣也有許多重要的性質(zhì).具體地講可從以下幾方面去思考：

1.相反數(shù).

實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，0的相反數(shù)是0，具體地，若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0；反之，若a+b=0，則a與b互為相反數(shù).

2.絕對值.

一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0.實(shí)數(shù)a的絕對值可以表示為：[a]=[a（a≥0），-a（a<0）.]即實(shí)數(shù)a的絕對值一定是一個非負(fù)數(shù)，即[a]≥0，并且若[x]=a（a≥0），則x=±a.

3.倒數(shù).

乘積為1的兩個實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab=1；反之，若ab=1，則a與b互為倒數(shù).這里應(yīng)特別注意：0沒有倒數(shù).

4.實(shí)數(shù)大小的比較.

任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)中絕對值大的反而小.利用數(shù)軸也可以比較兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

5.實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)教育局教研室）