余中華

平時(shí)有同學(xué)會(huì)問(wèn)：“不用平方根表和計(jì)算器，可不可以求出一個(gè)數(shù)的平方根呢？”我們先一起來(lái)研究一下，怎樣求[1156]？這里1156是四位數(shù)，所以它的算術(shù)平方根的整數(shù)部分是兩位數(shù)，且易觀察出其中的十位數(shù)是3.于是問(wèn)題的關(guān)鍵在于：怎樣求出它的個(gè)位數(shù)a（設(shè)其個(gè)位數(shù)為a）.為此，我們從a所滿足的關(guān)系式來(lái)進(jìn)行分析.

根據(jù)兩數(shù)和的平方公式，可以得到：

1156=（30+a）2

即1156=302+2×30a+a2，

所以1156-302=2×30a+a2，

即256=（3×20+a）a.

這就是說(shuō)，a是這樣的一個(gè)正整數(shù)，它與“3×20”的和，再乘它本身，等于256.

為了便于求得a，可用下面的豎式來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

根號(hào)上面的數(shù)3是平方根的十位數(shù).將256試除以“20×3”，得4.由于4與“20×3”的和為64，64與4的積等于256，4就是所求的個(gè)位數(shù)a.豎式中的余數(shù)是0，表示開(kāi)方正好開(kāi)盡.于是得到1156=342，或[1156]=34.

上述求平方根的方法，稱為筆算開(kāi)平方法，用這個(gè)方法可以求出任何正數(shù)的算術(shù)平方根或其平方根的近似值，它的計(jì)算步驟如下：

1.將被開(kāi)方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號(hào)分開(kāi)（如豎式中的11'56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數(shù)；

2.根據(jù)左邊第一段里的數(shù)，求得平方根的最高位上的數(shù)（如豎式中的3）；

3.用第一段的數(shù)減去最高位上數(shù)的平方，在它們的差的右邊寫(xiě)上第二段數(shù)組成第一個(gè)余數(shù)（豎式中的256）；

4.把求得的最高位數(shù)乘20去試除第一個(gè)余數(shù)，所得的最大整數(shù)作為試商（如“3×20”除256，所得的最大整數(shù)是4，即試商是4）；

5.用商的最高位數(shù)的20倍加上這個(gè)試商再乘以試商.如果所得的積小于或等于余數(shù)，試商就是平方根的第二位數(shù)；如果所得的積大于余數(shù)，就把試商減小再試[如豎式中（20×3+4）×4=256，說(shuō)明試商4就是平方根的第二位數(shù)]；

6.用同樣的方法，繼續(xù)求平方根的其他各位上的數(shù).

按照上面步驟求[85264]，可得到下面的豎式.

于是得到[85264]=292.

如遇開(kāi)不盡的情況，可根據(jù)所要求的精確度求出它的近似值.例如求[12.5]的近似值（精確到0.01），可列出下面的豎式，并根據(jù)這個(gè)豎式得到[12.5]≈3.54.

筆算開(kāi)平方運(yùn)算較繁，在實(shí)際中直接應(yīng)用較少，但用這個(gè)方法可求出一個(gè)正數(shù)的平方根的具有任意精確度的近似值.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就燦爛輝煌，早在公元前1世紀(jì)問(wèn)世的我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里，就在世界數(shù)學(xué)史上第一次介紹了上述筆算開(kāi)平方法.據(jù)史料記載，國(guó)外直到公元5世紀(jì)才有對(duì)于開(kāi)平方法的介紹.

（作者單位：江蘇省海安縣墩頭鎮(zhèn)仇湖初級(jí)中學(xué)）endprint