劉 釗，劉 博，許春聰，韓 鵬

（解放軍75837部隊(duì)，廣東 廣州 510000）

簡化的型號性能指標(biāo)規(guī)范化處理方法

劉 釗，劉 博，許春聰，韓 鵬

（解放軍75837部隊(duì)，廣東 廣州 510000）

裝備能力量化分析，通?；谘b備的型號性能參數(shù)和裝備實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)AHP層次分析法來進(jìn)行。型號性能指標(biāo)的規(guī)范化處理是進(jìn)行量化分析的基礎(chǔ)，規(guī)范化處理函數(shù)一般采用線性遞增函數(shù)和正弦函數(shù)。線性遞增函數(shù)實(shí)現(xiàn)簡單，量化精度較低。基于正弦函數(shù)有較高的量化精度，運(yùn)算復(fù)雜，數(shù)據(jù)點(diǎn)利用不夠充分，不利于軟件實(shí)現(xiàn)，本文提出一種基于分段線性插值的方法對型號性能指標(biāo)進(jìn)行規(guī)范化，并給出了誤差分析公式，能夠保證較高的量化精度、實(shí)現(xiàn)簡單，能夠充分利用數(shù)據(jù)點(diǎn)，適合工程實(shí)現(xiàn)。

裝備能力；型號性能；規(guī)范化函數(shù)；分段線性插值

裝備能力量化分析的基礎(chǔ)是型號性能指標(biāo)的規(guī)范化處理，型號性能指標(biāo)的規(guī)范化處理為作戰(zhàn)能力量化分析提供了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。文獻(xiàn)[1]提出基于2點(diǎn)，即最大效用點(diǎn)、最小效用點(diǎn)確定規(guī)范化函數(shù)的方法，并給出以線性函數(shù)、正弦函數(shù)為基礎(chǔ)的規(guī)范化函數(shù)。線性函數(shù)實(shí)現(xiàn)簡單、量化精度較低；正弦函數(shù)可以保證較高的量化精度，但是運(yùn)算復(fù)雜，僅利用到2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]給出的量化方法是基于比值得到量化結(jié)果，具有較強(qiáng)的可實(shí)現(xiàn)性，但是不能準(zhǔn)確地反映性能指標(biāo)與效能指數(shù)之間的變化規(guī)律。本文基于線性插值的思想方法，提出以分段線性函數(shù)逼近實(shí)際規(guī)范化函數(shù)方法求得規(guī)范化函數(shù)，可以降低運(yùn)算復(fù)雜度，充分利用所有已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，保證了較高的量化精度。

圖1 sin（x）函數(shù)分段線性插值

1 基于分段線性插值的函數(shù)逼近

分段線性插值就是基于已知函數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過折線連接來近似地逼近實(shí)際函數(shù)。對于未知函數(shù)f（x），已知x1＜x2＜x3＜…＜xn和對應(yīng)函數(shù)f（xi）的值，其中，1≤i≤n，則可以基于線性插值的方法近似求出f（x）的解析表達(dá)式。當(dāng)已知函數(shù)f（x）表達(dá)式時(shí)，則可以抽取函數(shù)f（x）若干樣本點(diǎn)，基于線性插值的方法對f（x）進(jìn)行分段線性近似。

以實(shí)際函數(shù)y＝sin（x）為例，當(dāng)函數(shù)值的取樣點(diǎn)數(shù)N分別為2，3，4，5時(shí)，得到線性插值近似結(jié)果，如圖1所示。由圖1可知，當(dāng)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，可以通過分段線性插值的方法近似求解實(shí)際函數(shù)的解析表達(dá)式。

2 規(guī)范化函數(shù)的構(gòu)造

以“效益型”指標(biāo)去量綱化為例，假定已知規(guī)范化函數(shù)部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)。以2種最典型情況進(jìn)行討論：①已知最大、最小效用點(diǎn)；②已知最大效用點(diǎn)、最小效用點(diǎn)、n個(gè)額定效用點(diǎn)。記n個(gè)已知額定效用點(diǎn)為xi，假設(shè)：x1＜x2＜…＜xn，則有0＝f（mincij）≤f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）≤f（maxcij）＝1，其中，最大效用點(diǎn)maxcij、最小效用點(diǎn)mincij可能未知。此時(shí)，根據(jù)分段線性插值方法進(jìn)行處理，構(gòu)造公式如下：

令L1（x）＝0，求得方程解為x0，求得最小效用點(diǎn)的估計(jì)值 mincij≈x0；令Ln－1（x）＝1，求得方程解為xn＋1，求得最大效用點(diǎn)的估計(jì)值maxcij≈xn＋1.

求得f（x）近似解析表達(dá)式為：

當(dāng)已知最大、最小效用點(diǎn)時(shí)，記最大效用點(diǎn)為maxcij、最小效用點(diǎn)為 mincij，則有f（maxcij）＝1，f（mincij）＝0.根據(jù)文獻(xiàn)[1]，結(jié)合不同變化規(guī)律，分別采用直線遞增型、“S”型遞增型、上凸遞增型、下凸遞增型4類函數(shù)。那么，對于mincij≤cij≤maxcij，f（x）的近似求法如下：

將區(qū)間[mincij，maxcij]分成N－1等份，其中，N為插值點(diǎn)數(shù)，則xi＝mincij＋（i－1）h，其中，h表示步長，1≤i≤N.抽取N個(gè)點(diǎn)[xi，f（xi）]作為插值點(diǎn)，依據(jù)公式（1）、公式（2），得到f（x）的近似表達(dá)式。

3 仿真分析

3.1 已知最大、最小效用點(diǎn)及規(guī)范化函數(shù)

以“效益型”指標(biāo)，已知規(guī)范化函數(shù)為“S”型增長函數(shù)為例，已知最大效用點(diǎn)maxcij＝100，最小效用點(diǎn)mincij＝50，分別對樣本點(diǎn)數(shù)N＝5、N＝6、N＝7進(jìn)行分段線性插值，仿真結(jié)果[4]如圖2所示。

由圖2分析可知，取樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)越多，越接近實(shí)際函數(shù)。當(dāng)N＝6時(shí)，能夠較好地近似“S”增長型函數(shù)。

圖2 “S”型增長函數(shù)的分段線性插值近似

3.2 規(guī)范化函數(shù)未知，已知若干額定效用點(diǎn)

已知某指標(biāo)為“效益型”指標(biāo)，規(guī)范化函數(shù)未知。已知maxcij＝100、mincij＝50，f（60）＝0.5、f（80）＝0.85、f（90）＝0.95，插值結(jié)果如圖3所示。

圖3 已知最大、最小效用點(diǎn)和3個(gè)額定效用點(diǎn)的插值

3.3 近似誤差分析

3.3.1 規(guī)范化函數(shù)解析表達(dá)式已知[3]

假定規(guī)范化函數(shù)在區(qū)間[mincij，maxcij]存在二階導(dǎo)數(shù)，分段線性插值可以看成是分段一階拉格朗日插值[3]，記插值區(qū)間為[xi，xi＋1]，i＝0，1，2…，n－1.根據(jù)余項(xiàng)定理，有：

3.3.2 規(guī)范化函數(shù)解析表達(dá)式未知

假設(shè)已知n＋1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，記為xi，其中，i＝0，1，2…，n，則共分為n段進(jìn)行線性插值，表達(dá)式記為Li（x），其中，i＝1，2…，n，根據(jù)數(shù)值分析相關(guān)理論得到每一分段誤差估計(jì)公式：

化簡后，用ki表示每段線性插值函數(shù)的斜率，得到：

根據(jù)公式（4），可得示例的“S”型遞增函數(shù)在插值點(diǎn)數(shù)N＝5，6，7時(shí)，誤差上界分別為0.077 1，0.049 3，0.034 3.

根據(jù)公式（6），可估計(jì)示例中未知函數(shù)的近似誤差上界為0.025.

4 結(jié)論

本文基于分段線性插值的方法，提出了一種通過分段線性近似的方法來逼近實(shí)際規(guī)范化函數(shù)的方法。該方法可以在已知規(guī)范化函數(shù)的情況下，對函數(shù)進(jìn)行近似簡化，降低運(yùn)算復(fù)雜度。在規(guī)范化函數(shù)未知的情況下，基于已知數(shù)據(jù)點(diǎn)對規(guī)范化函數(shù)進(jìn)行近似估計(jì)，并根據(jù)數(shù)值分析相關(guān)理論進(jìn)行了誤差分析，分析得出：該方法能夠用于已知規(guī)范化函數(shù)的逼近和未知規(guī)范化函數(shù)的近似，具有運(yùn)算復(fù)雜度低、實(shí)現(xiàn)簡單、精度高的特點(diǎn)，適合軟件和硬件的實(shí)現(xiàn)。

［1］羅小明.非對稱作戰(zhàn)數(shù)學(xué)建模與仿真分析［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2011.

［2］張迪，郭齊勝.基于型號性能指標(biāo)的武器裝備體系作戰(zhàn)能力評估方法［J］.火力與指揮控制，2015，5（40）.

［3］顏慶津.數(shù)值分析［M］.第三版.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

［4］任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)［M］.北京：高等教育出版社，2007.

E922

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.02.062

2095－6835（2018）02－0062－02

劉釗（1981—），男，研究方向?yàn)樾畔⒎?wù)。劉博（1988—），男，研究方向?yàn)樾畔⒎?wù)。

劉曉芳〕