喬 浩,李曾浩,李新國(guó),孫 鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710072)

飛行器可達(dá)性問題的統(tǒng)一求解方法研究

喬 浩,李曾浩,李新國(guó),孫 鵬

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710072)

針對(duì)飛行器的可達(dá)性問題,研究了可達(dá)域與可返回窗口2個(gè)子問題。前者著眼于飛行器在現(xiàn)有條件下對(duì)地面目標(biāo)的覆蓋范圍,后者則更關(guān)注于飛行器在返回過程中的空間上界。對(duì)描述飛行器可達(dá)性問題的2種方法進(jìn)行深入研究,提出一種統(tǒng)一框架下的飛行器可達(dá)性數(shù)值求解方法。通過研究與可達(dá)域相對(duì)應(yīng)的終端優(yōu)化問題以及與可返回窗口相對(duì)應(yīng)的初值優(yōu)化問題,形成了一套完整的求解流程。仿真結(jié)果表明,利用所提求解方法能夠快速獲得飛行器完整的可達(dá)性信息,為飛行器的總體設(shè)計(jì)、任務(wù)規(guī)劃等提供設(shè)計(jì)參考。

可達(dá)性;可返回窗口;逆向優(yōu)化;再入返回

飛行器的可達(dá)性是描述飛行器對(duì)于指定目標(biāo)到達(dá)能力的重要手段?，F(xiàn)有研究主要包括始于飛行器現(xiàn)有飛行狀態(tài)的可達(dá)域問題,以及始于指定目標(biāo)的可返回窗口問題?？蛇_(dá)域問題已有較多研究,而可返回窗口問題的研究較少。可達(dá)域的求解方法主要分為優(yōu)化方法以及沿最大約束邊界飛行方法2種,前者又細(xì)分為直接優(yōu)化方法和間接優(yōu)化方法。

文獻(xiàn)[1]詳細(xì)介紹了可達(dá)域的間接優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[2]在此基礎(chǔ)上將攻角由程序攻角改為4段參數(shù)化攻角,由路徑約束決定分段點(diǎn),對(duì)不同方向上的最大航程進(jìn)行優(yōu)化,從而獲得可達(dá)域輪廓。間接法在求解過程中一般以準(zhǔn)平衡滑翔條件等假設(shè)為基礎(chǔ),與實(shí)際動(dòng)力學(xué)模型差距較大,因此僅適用于前期的理論分析,對(duì)于高精度求解并不適用。

直接法是一種直接將最優(yōu)控制問題離散為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解的優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[3]采用偽譜法對(duì)滑翔式再入飛行器最大航程問題進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[4～5]以此為依據(jù)采用加權(quán)的經(jīng)緯度信息進(jìn)行可達(dá)域描述,分別求解了亞軌道飛行器與多脈沖導(dǎo)彈的可達(dá)域問題。直接法求解可達(dá)域的缺陷在于求解速度較慢,而可達(dá)域的出發(fā)點(diǎn)在于飛行器的當(dāng)前狀態(tài),無法滿足在線計(jì)算要求。

文獻(xiàn)[6]介紹了一種依據(jù)再入走廊沿最大約束邊界飛行的可達(dá)域快速計(jì)算方法。文獻(xiàn)[7]在此基礎(chǔ)上引入傾側(cè)角反向策略,并對(duì)阻力加速度曲線插值方式進(jìn)行了改進(jìn)。由于該類方法中攻角與傾側(cè)角相對(duì)固定,可達(dá)域生成速度較快,但由于引入了較多假設(shè)以及經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì),所生成的可達(dá)域并不能完全反映真實(shí)情況。

相較于可達(dá)域,可返回窗口的研究較少。文獻(xiàn)[8]在分析X-38的返回問題時(shí)首次提出再入界面窗口概念,在求解過程中利用直接多重打把法進(jìn)行最大縱程優(yōu)化。文獻(xiàn)[9]將再入界面窗口進(jìn)一步擴(kuò)展為再入走廊,通過集合的方法詳細(xì)給出了可達(dá)域、再入窗口界面、三維來路走廊與去路走廊的數(shù)學(xué)描述方法。由于整個(gè)描述過程中引入的來路映射函數(shù)與去路映射函數(shù)在非線性問題中并不存在,無法以一一對(duì)應(yīng)的形式完成天、地狀態(tài)之間的映射,因此無法在實(shí)際中應(yīng)用。

本文在總結(jié)前人對(duì)可達(dá)域及可返回窗口研究的基礎(chǔ)上,分析二者之間的異同,提出與現(xiàn)有優(yōu)化問題不同的一類初值優(yōu)化問題。之后分析了利用偽譜法進(jìn)行雙向優(yōu)化的可能性,并給出基于該方法的飛行器可達(dá)性問題統(tǒng)一數(shù)值求解框架,使可返回窗口問題的解算可以脫離在線計(jì)算的要求,實(shí)現(xiàn)地面的獨(dú)立規(guī)劃。通過一系列仿真校驗(yàn),研究了飛行器可達(dá)性問題中可達(dá)域、可返回窗口這2個(gè)子問題在空間上的相通性。

1 再入問題描述

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

再入問題的研究對(duì)象一般具有較高的飛行速度,整個(gè)再入過程持續(xù)時(shí)間較短,可忽略地球自轉(zhuǎn)帶來的影響。假設(shè)地球?yàn)榉切D(zhuǎn)均質(zhì)圓球,描述飛行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變量包括地心距r、經(jīng)度φ、緯度θ、速度v,以及航跡傾角γ與航向角ψ。其中航跡傾角以當(dāng)?shù)厮矫鏋閰⒖?速度矢量在上為正;航向角以正北方向?yàn)?°參考,速度矢量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。飛行器無動(dòng)力再入三自由運(yùn)動(dòng)方程[10]為

(1)

升力加速度aL和阻力加速度aD大小分別為

(2)

式中:ρ為大氣密度;S為飛行器參考面積;m為飛行器質(zhì)量;σ為傾側(cè)角;g為當(dāng)?shù)匾铀俣?CL,CD分別為升、阻力系數(shù),與攻角α有關(guān)。

1.2 飛行約束

(3)

式中:k為與材料相關(guān)的常數(shù);g0為海平面處的引力加速度。

路徑約束主要考慮禁飛區(qū)、落點(diǎn)位置等的約束。本文在研究中不考慮禁飛區(qū)約束,僅對(duì)終端速度vf、高度rf加以限制。

控制量取α與σ,其約束為

α∈[αmin,αmax],σ∈[σmin,σmax]

(4)

2 可達(dá)性問題求解原理

可達(dá)域與可返回窗口是立足于不同出發(fā)點(diǎn)的2種可達(dá)性描述方法。前者是從飛行器當(dāng)前狀態(tài)出發(fā),研究飛行器能夠到達(dá)的地面范圍;后者是從地面的角度出發(fā),探討飛行器從何處飛來能夠符合進(jìn)場(chǎng)條件并安全著陸。

無論是直接法還是間接法,可達(dá)域本質(zhì)上是一種按照時(shí)間過渡、多條邊界軌跡的快速規(guī)劃,并由軌跡末端在地面的投影范圍確定出實(shí)時(shí)能夠到達(dá)的區(qū)域。

相對(duì)地,可返回窗口的求解本質(zhì)上是一種與時(shí)間過渡方向相反的軌跡求解,即飛行器的終端位置已知,需要求解其可返回來路在空間的分布區(qū)間。如采用間接法或沿最大約束邊界飛行方法,求解方向?qū)⑴c時(shí)間過渡方向矛盾。

本文在求解過程中采用間接法中較為常用的偽譜法。分析表明,該方法與時(shí)間過渡方向無關(guān),是一種全局離散求解的方法。定義初始條件已知,求解終端可達(dá)域的問題為終端優(yōu)化問題;而終端已知,求解初始可返回窗口的問題為初值優(yōu)化問題。

偽譜法在求解過程中,首先將時(shí)域問題轉(zhuǎn)換到[-1,1]區(qū)間,之后以N階Legendre多項(xiàng)式的根作為離散點(diǎn)對(duì)狀態(tài)量、控制量進(jìn)行離散,離散后狀態(tài)變量的微分值在相應(yīng)離散點(diǎn)上與原微分方程組在一定精度上相匹配,從而將微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束。結(jié)合狀態(tài)約束、控制約束以及邊界條件構(gòu)成非線性規(guī)劃問題。由于非線性規(guī)劃問題與時(shí)間過渡方向無關(guān),只與離散后的各種約束有關(guān),因此偽譜法在理論上可用于初值優(yōu)化。

由拉格朗日積分可得終端狀態(tài)X(τf)與初始狀態(tài)X(τ0)關(guān)系如下:

(5)

(6)

而對(duì)于初值優(yōu)化問題,此時(shí)相當(dāng)于對(duì)初始狀態(tài)有約束,初始端的狀態(tài)約束可表示為

(7)

其表達(dá)形式與式(6)一致,可知在離散方式上初始與終端狀態(tài)的數(shù)值約束形式相統(tǒng)一,偽譜法本身具有求解初值優(yōu)化的能力。

3 基于偽譜法的可達(dá)性問題求解框架

可達(dá)域問題一般可以描述為不同縱程條件下的橫程最大問題,可達(dá)域邊界點(diǎn)的最大橫程可由緯度描述:

J=min{cosθf}

(8)

式中:θf為終端緯度?？蛇_(dá)域描述方法如圖1所示。

同理,可返回窗口問題可以描述為從終端位置出發(fā),求解不同縱程情況下橫程最大問題。飛行器再入返回時(shí)初始位置一般在終端位置的一側(cè),并有一最小距離。采用文獻(xiàn)[5]中的坐標(biāo)系描述方法,規(guī)定飛行器初始位置在終端位置西側(cè),并令終端經(jīng)、緯度都為0,此時(shí)優(yōu)化目標(biāo)為

J=min{cosθ0}

(9)

式中:θ0為初始緯度?？煞祷卮翱诿枋龇椒ㄈ鐖D2所示。

可達(dá)域與可返回窗口的統(tǒng)一求解框架如圖3所示。

4 仿真校驗(yàn)

本文采用文獻(xiàn)[10]所給出的飛行器參數(shù)進(jìn)行仿真校驗(yàn),分別求取可達(dá)域及可返回窗口。

可達(dá)域問題與再入過程相對(duì)應(yīng),其初始點(diǎn)固定,終端點(diǎn)不定。終端約束:hf=24.38 km,vf=762 m/s,γf=-5°;初始條件:h0=79.25 km,經(jīng)、緯度均為0°,v0=7 802.88 m/s,γ0=-1°。

可返回窗口問題與之相反,其終端點(diǎn)固定,初始點(diǎn)位置不定,因此初始點(diǎn)的待優(yōu)化信息為初始經(jīng)緯度。初始條件:h0=79.25 km,v0=7 802.88 m/s,γ0=-1°。為保證可返回窗口位于終端位置的左側(cè),規(guī)定初始最大經(jīng)度為-20°;終端條件:hf=24.38 km,vf=762 m/s,γf=-5°,ψf=90°,對(duì)應(yīng)經(jīng)、緯度均為0°?？蛇_(dá)域、可返回窗口的三維邊界軌跡包絡(luò)分別如圖4、圖5所示。

對(duì)于飛行器而言,處于可達(dá)域或可返回窗口內(nèi)的軌跡是可行的。可達(dá)域與可返回窗口的邊界軌跡在空間形成一個(gè)區(qū)域, 對(duì)于確定型號(hào)飛行器及相對(duì)固定的初始高度、速度,飛行器的可達(dá)域及可返回窗口具有唯一性。航向角對(duì)比如圖6所示。

可見,航向角的過渡過程呈相反趨勢(shì),即:可達(dá)域問題中,航向角由90°逐漸向增大、減小過渡;可返回窗口問題中,飛行器由不同初始航向角最終過渡至90°,即指向著陸場(chǎng)。其余狀態(tài)量及攻角、傾側(cè)角對(duì)比如圖7～圖11所示。

圖7～圖11中,除航向過渡相反外,各變量呈一定的一致性。其原因可歸結(jié)為:2種描述方式均是由飛行器在空間的最大飛行邊界定義,而同一飛行器的邊界軌跡反映了飛行器各個(gè)方向的最大機(jī)動(dòng)能力,在初始高度、速度(即初始能量)確定的條件下,其在空間中的機(jī)動(dòng)能力隨之確定,因此飛行軌跡在空間中具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而攻角與傾側(cè)角演變的對(duì)應(yīng)性更進(jìn)一步反映了對(duì)于初始能量確定的問題,初值優(yōu)化與終端優(yōu)化具有統(tǒng)一性。由于最大航程問題在初始優(yōu)化與終端優(yōu)化中具有典型對(duì)應(yīng)關(guān)系,以此為算例對(duì)可達(dá)性問題的統(tǒng)一解法進(jìn)行驗(yàn)證,如圖12所示?？蛇_(dá)域問題初始經(jīng)、緯度均為0,可返回窗口問題終端經(jīng)、緯度均為0。

可知,二者軌跡形態(tài)相似,飛行器基本沿縱向飛行。所對(duì)應(yīng)的攻角及傾側(cè)角指令如圖13所示。

圖13中攻角與傾側(cè)角的變化趨于一致,攻角后期基本處于最大升阻比附近;傾側(cè)角基本處于0°附近,僅有10-5量級(jí)的微小波動(dòng)。二者的對(duì)應(yīng)性說明,可達(dá)域與可返回窗口這2個(gè)不同出發(fā)點(diǎn)的問題具有良好的空間對(duì)應(yīng)性,采用本文所提出的統(tǒng)一求解方法,可以方便地獲得飛行器完整的可達(dá)性描述。

5 結(jié)束語

本文在分析可達(dá)域與可返回窗口問題關(guān)系的基礎(chǔ)上,提出了可達(dá)性問題統(tǒng)一求解方法,研究表明:

①偽譜法在離散尋優(yōu)過程中,終端約束與初始約束表示形式一致,反映到算法中即初值優(yōu)化問題與終端優(yōu)化問題均可利用該方法進(jìn)行尋優(yōu)。

②對(duì)于初始能量固定的飛行器,其在空間中的最大機(jī)動(dòng)能力是一定的。而飛行器的機(jī)動(dòng)能力反映了空間中的邊界飛行軌跡,當(dāng)初始位置及航向固定時(shí)為可達(dá)域問題,不定時(shí)為可返回窗口問題。

③數(shù)值優(yōu)化方法求解可達(dá)域問題分為問題離散與非線性規(guī)劃兩部分,前者區(qū)分了不同的數(shù)值優(yōu)化算法。當(dāng)采用對(duì)尋優(yōu)方向不敏感的非線性規(guī)劃算法時(shí),相應(yīng)的優(yōu)化方法亦可用于初值優(yōu)化問題。

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AUnifiedNumericalMethodforAircraftAccessibilityProblems

QIAO Hao,LI Zeng-hao,LI Xin-guo,SUN Peng

(Shanxi Aerospace Flight Vehicle Design Key Laboratory,College of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

Aiming at the reachability problem of vehicle,two sub-problems of footprint and entry interface were studied.The former focused on the coverage of ground targets under the existing conditions,while the latter focused on determining the upper bound during the return process.The methods for describing the reachability problem of aircraft were studied,and a united numerical method for aircraft accessibility was presented.By studying the terminal optimization problem and the initial optimization problem,a complete solution process was formed.Simulation results show that by the proposed method,a complete reachability information for aircraft can be obtained,which provides reference for designing and mission planning of the aircraft.

accessibility;entry interface window;reverse optimization;reentry

V448.2

A

1004-499X(2017)04-0009-06

2017-05-04

喬浩(1989- ),男,博士研究生,研究方向高超聲速導(dǎo)彈彈道設(shè)計(jì),制導(dǎo)與控制。E-mail:1030483026@qq.com。