陳 軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

利用火焰彎曲理論預(yù)測復(fù)合推進(jìn)劑侵蝕函數(shù)的方法與應(yīng)用

陳 軍

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

固體火箭推進(jìn)劑的侵蝕函數(shù)目前還沒有方便而有效的手段(無論理論方法還是實(shí)驗(yàn)手段)來獲取,火焰彎曲理論能較好地揭示固體復(fù)合推進(jìn)劑侵蝕燃燒現(xiàn)象,以此為基礎(chǔ),建立了火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程,進(jìn)一步求解得到隨燃?xì)饬魉僮兓那治g函數(shù)。通過實(shí)例驗(yàn)證,該獲取侵蝕函數(shù)的方法及獲取的侵蝕函數(shù)具有較高的預(yù)示精度,滿足工程計(jì)算要求,對(duì)于研究固體推進(jìn)劑的侵蝕燃燒理論、獲取固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)侵蝕函數(shù),以及提高固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道預(yù)示精度,均具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義,該方法僅適用于AP復(fù)合推進(jìn)劑。

內(nèi)彈道;固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī);固體推進(jìn)劑;侵蝕函數(shù);侵蝕燃燒

內(nèi)彈道是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的重要性能,人們從不同角度研究它,試圖提高其預(yù)示精度,如提高維度(零維到一維,甚至多維)[1]、加入兩相模型[2-3]等。而固體推進(jìn)劑的侵蝕燃燒是影響固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)彈道性能的重要因素,同時(shí)也是燃燒學(xué)的重要研究方向。但是,侵蝕函數(shù)的準(zhǔn)確獲取是很困難的,一方面是侵蝕燃燒現(xiàn)象的研究還很有爭論,另一方面還缺少方便而有效的實(shí)驗(yàn)手段來測量。本文以文獻(xiàn)[4]中提出的用于預(yù)示AP復(fù)合推進(jìn)劑侵蝕燃速的火焰彎曲理論為基礎(chǔ),發(fā)展了一種能夠預(yù)測固體(AP復(fù)合推進(jìn)劑)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)侵蝕函數(shù)的理論方法。

1 利用火焰彎曲理論預(yù)測固體火箭推進(jìn)劑侵蝕函數(shù)的理論模型

根據(jù)火焰彎曲理論,AP復(fù)合推進(jìn)劑的燃速可表示為[5]

(1)

(2)

由侵蝕函數(shù)的定義[6],可得侵蝕函數(shù)ε為

(3)

根據(jù)火焰彎曲理論,火焰彎曲角θ可表示為[5]

(4)

式中:v為平行于推進(jìn)劑裝藥燃燒表面的燃?xì)饬魉?vi為推進(jìn)劑燃燒時(shí)的質(zhì)量加入速度。

式(3)表明,從火焰彎曲理論導(dǎo)出的侵蝕函數(shù)主要考慮的影響因素為燃?xì)饬魉賤,同時(shí)還考慮了壓強(qiáng)p、推進(jìn)劑性質(zhì)等因素的影響。

2 火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程

由推進(jìn)劑燃燒理論可知,推進(jìn)劑燃燒時(shí)的質(zhì)量加入速度vi為[7]

(5)

式中:ρp為推進(jìn)劑裝藥密度;ρ為燃?xì)饷芏?RT0為推進(jìn)劑的火藥力;a和n分別為推進(jìn)劑的燃速系數(shù)與燃速壓強(qiáng)指數(shù)。

將式(4)代入侵蝕函數(shù)表達(dá)式(3)中,整理可得:

將式(5)代入上式,可得關(guān)于侵蝕函數(shù)ε的方程為

[(K3p2)2-1]m2ε6+[2(1+K2)m-m2b2-2m(K3p2)2]ε4+
[(K3p2)2+2(1+K2)mb2-(1+K2)2]ε2-
(1+K2)2b2=0

(6)

如果視ε2為待求變量,則方程(6)為一元三次方程。由于該方程是從火焰彎曲理論推導(dǎo)得出的,可以稱之為火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程。該方程中系數(shù)b2包含了燃?xì)饬魉賤,因此,求解該方程可以得到不同流速v下的侵蝕大小,即可以得到ε-v的變化關(guān)系。

3 火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式的求解

在求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程(6)之前,需要先擬合得出所研究固體火箭推進(jìn)劑無侵蝕燃速式(2)中的系數(shù)K1,K2和K3。

以某中口徑固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)復(fù)合推進(jìn)劑為例,其無侵蝕燃速為

(7)

擬合分析得到相應(yīng)系數(shù)為K1=0.811 4,K2=26.550 3和K3=0.125 1。因此,得到所研究固體火箭推進(jìn)劑對(duì)應(yīng)的火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式為

(8)

式(8)中壓強(qiáng)p的單位為MPa。

表1 各觀測點(diǎn)擬合殘差

圖1 燃速擬合曲線比較

4 火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程的求解

求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程(6)的目的是為了得到侵蝕函數(shù)ε-v的變化關(guān)系。求解該方程可以直接利用MATLAB求解一元三次方程的函數(shù)roots()。

取不同流速v(0～300 m/s),得到不同流速對(duì)應(yīng)的侵蝕大小,結(jié)果參見表2。最后通過擬合得到ε-v的變化關(guān)系,如圖2所示,即:

ε=0.986 4+0.001 2v

(9)

表2 預(yù)測得到固體火箭推進(jìn)劑侵蝕與燃?xì)饬魉俚膶?duì)應(yīng)關(guān)系

圖2 預(yù)測得到某固體火箭推進(jìn)劑侵蝕與燃?xì)饬魉俚臄M合曲線

5 預(yù)測侵蝕函數(shù)的分析處理

通過求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程(6)可以預(yù)測得到固體火箭推進(jìn)劑的侵蝕函數(shù),即式(9)。為檢驗(yàn)預(yù)測得到的侵蝕函數(shù)是否正確,可以與現(xiàn)有的侵蝕函數(shù)進(jìn)行比較分析。

該固體火箭推進(jìn)劑的侵蝕函數(shù)為

(10)

為方便比較,對(duì)上式進(jìn)行線性擬合,可得該固體火箭推進(jìn)劑侵蝕函數(shù)的擬合曲線為

ε=0.956 6+0.001 4v

(11)

比較式(9)和式(11),最大誤差為3.12%(v=0時(shí)),最小誤差為2.2%(v=300 m/s時(shí)),小于一般工程上的誤差要求,因此,該預(yù)測侵蝕函數(shù)是可以應(yīng)用工程計(jì)算的。

在應(yīng)用之前,還需解決臨界侵蝕流速的問題。從原侵蝕函數(shù)式(10)可知,該火箭推進(jìn)劑的臨界侵蝕流速vth=75 m/s,而火焰彎曲理論預(yù)測的侵蝕函數(shù)式(9)還沒有這一數(shù)值形式。為此,還需要預(yù)先確定一個(gè)臨界侵蝕流速vth(可參考相近火箭推進(jìn)劑確定,這里取vth=75 m/s)。假設(shè)侵蝕函數(shù)式(9)可表示為

(12)

式中:ε′即為變換后形式上如式(10)的侵蝕函數(shù),α為待求系數(shù)。采用曲線積分面積相等的原理進(jìn)行變換,就可以得到待求系數(shù)α,即使得:

式中:ε為預(yù)測侵蝕函數(shù),如式(9)所示。將式(9)和式(12)代入,則可得:

積分上式,可得待求系數(shù)α=0.001 97。因此,利用火焰彎曲理論預(yù)測的侵蝕函數(shù)為

(13)

預(yù)測的侵蝕函數(shù)與原侵蝕函數(shù)式(10)相比,最大誤差為2.7%(v=300 m/s時(shí)),而當(dāng)v<300 m/s時(shí),誤差逐漸減小。

6 利用火焰彎曲理論預(yù)測侵蝕函數(shù)的應(yīng)用分析

上述過程可以完全確定一個(gè)固體火箭推進(jìn)劑的侵蝕函數(shù)。該方法是否具有通用性,下面再以某小口徑固體復(fù)合推進(jìn)劑火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為例來說明。

首先,擬合出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式中的系數(shù)K1,K2和K3,得到對(duì)應(yīng)的火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式為

(14)

式中:壓強(qiáng)p的單位為MPa。

其次,求解火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程(6),得到侵蝕函數(shù)ε-v的變化關(guān)系為

ε=0.986 6+0.001 1v

(15)

最后,通過變形得到利用火焰彎曲理論預(yù)測的侵蝕函數(shù)(臨界侵蝕流速vth=90 m/s是參考前面中口徑火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)值,經(jīng)過尺寸效應(yīng)修正得到的)為

(16)

該侵蝕函數(shù)應(yīng)用于內(nèi)彈道計(jì)算的結(jié)果如圖3所示,圖中t為工作時(shí)間。

圖3 利用預(yù)測侵蝕函數(shù)計(jì)算的某固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作壓強(qiáng)曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

表3 利用預(yù)測侵蝕函數(shù)計(jì)算的某固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作壓強(qiáng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

7 結(jié)論

通過2種固體復(fù)合推進(jìn)劑火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用,說明利用火焰彎曲理論預(yù)測固體火箭推進(jìn)劑侵蝕函數(shù)的方法是可行的。該方法的主要過程包括3步:

①已知待研究固體火箭復(fù)合推進(jìn)劑的基本燃速,擬合出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式的系數(shù)K1、K2和K3,即首先確定出火焰彎曲理論無侵蝕燃速公式;

②建立火焰彎曲理論侵蝕函數(shù)方程并求解該方程(本質(zhì)上為一元三次方程),得到侵蝕函數(shù)ε-v的變化關(guān)系;

③確定臨界侵蝕流速,采用曲線積分面積相等的原理對(duì)方程進(jìn)行變形得到標(biāo)準(zhǔn)形式的侵蝕函數(shù)。

在建立該方法過程中,有幾點(diǎn)需要說明:

①火焰彎曲理論定義火焰彎曲角θ時(shí)利用了固體推進(jìn)劑垂直加入速度vi的概念。在利用該方法確定侵蝕函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)垂直加入速度vi的數(shù)值太小,即火焰彎曲角θ過小,夸大了侵蝕程度。為此,引入垂直加入速度vi的修正系數(shù)αi。該方法結(jié)合某中口徑固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)據(jù)給出αi=40,具有良好的通用性。

②該方法沒有給出臨界侵蝕流速vth的確定方法,雖然通過火焰彎曲角可以分析出vth的大小,但得出的數(shù)值偏小,不具有實(shí)用意義。該方法參考已知某中口徑固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)直接給出vth=75 m/s。

③對(duì)于不同尺寸的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī),采用侵蝕函數(shù)的尺寸效應(yīng)原理[1],對(duì)上述修正系數(shù)αi和臨界侵蝕流速vth進(jìn)行尺寸效應(yīng)修正,即(vi)b=(Da/Db)0.2(vi)a,(vth)b=(Da/Db)0.2(vth)a。其中尺寸效應(yīng)采用的尺寸D為發(fā)動(dòng)機(jī)外徑;下標(biāo)a,b表示2種不同尺寸的發(fā)動(dòng)機(jī)。

該方法存在如下不足,需要進(jìn)一步研究:

①只適用于AP復(fù)合推進(jìn)劑,這是因?yàn)榛鹧鎻澢碚撝贿m用于AP復(fù)合推進(jìn)劑。

②該方法只得出了ε-v的侵蝕函數(shù),能滿足固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)一維內(nèi)彈道計(jì)算分析的需要。其他因素如壓強(qiáng)、推進(jìn)劑性質(zhì)等還需要深入研究。

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WU Xiao-song,CHEN Jun,WANG Dong.Gas dynamics of solid rocket motors[M].Beijing:Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press,2016:132-134.(in Chinese)

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WEN Xin-yan.Matlab R2016a from entry to mastery[M].Beijing:Tsinghua University Press,2017.(in Chinese)

ApproachandApplicationofPredictingErosiveRatioofCompositePropellantBasedonFlameBendingTheory

CHEN Jun

(School of Mechanical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

There is no convenient and effective means(both theory and experimental means)to obtain erosive ratio(erosive function)of solid rocket propellant.The Flame Bending Theory(FBT)can better reveal the burning erosion phenomenon of solid propellant.On this basis,the FBT erosive ratio equation was established,and further the erosive function varying with the combustion gas flow was obtained from the equation.Through the examples,the method of obtaining erosive function and the obtained erosive function have very high prediction precision and meet the requirements of engineering calculations.The method has important practical application significance to research erosion combustion theory for solid rocket propellant,acquire erosive function of solid rocket motor,and improve the prediction accuracy of internal ballistics of solid rocket motor.This method is only suitable for AP composite propellants.

internal ballistics;solid rocket engine;solid propellant;erosive ratio;erosion combustion

V435

A

1004-499X(2017)04-0081-05

2017-07-21

陳軍(1969- ),男,副教授,博士,研究方向?yàn)樾滦屯七M(jìn)技術(shù)研究。E-mail:cjsky123@njust.edu.cn。