李慶壽

將一個(gè)非退化的二次曲線的焦點(diǎn)數(shù)統(tǒng)一為4個(gè)——除圓的四個(gè)焦點(diǎn)收縮為中心一點(diǎn)外，其他情況均不重合，也不消失，它們兩實(shí)兩虛，可在有窮遠(yuǎn)，也可在無窮遠(yuǎn).理由如下：

1.在添加無窮遠(yuǎn)元素的拓廣歐式平面上，實(shí)焦點(diǎn)位于實(shí)軸（橢圓的長軸，拋物線的對稱軸）上，虛焦點(diǎn)位于虛軸（橢圓的短軸，拋物線無窮遠(yuǎn)直線）上.在實(shí)軸上取坐標(biāo)原點(diǎn)為各曲線的共用頂點(diǎn)之一，共用實(shí)軸為x軸，頂點(diǎn)切線為y軸，則各曲線可有統(tǒng)一方程：

（1-e2）x2+y2-2px=0

（p：共同的焦參數(shù)，e：離心率，還有半實(shí)軸a=p|1-e2|，半虛軸b=p|1-e2|，離心率c=ep|1-e2|均為可變參數(shù).）

因拋物線的實(shí)焦點(diǎn)“介于”流動的橢圓、雙曲線焦點(diǎn)之間，當(dāng)其中各一（坐標(biāo)：（±（a+c），0，1））趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，拋物線的實(shí)焦點(diǎn)之一的坐標(biāo)就是（1，0，0）.（a，c均趨于無窮大.）又因無窮遠(yuǎn)直線“介于”流動的橢圓短軸、雙曲線的虛軸之間，當(dāng)它們的虛焦點(diǎn)（坐標(biāo)：（a，±ic，1））隨虛軸趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，無窮遠(yuǎn)直線上拋物線的虛焦點(diǎn)坐標(biāo)就是（1，±i，0）.（a，c均趨于無窮）

2.下面三圖分別是橢圓、拋物線、雙曲線的焦點(diǎn)F，F(xiàn)′（實(shí)），G，G′（虛）生成圖：（I，J是圓環(huán)點(diǎn)）

比較三圖，可以看出當(dāng)無窮遠(yuǎn)直線（IJ）從與曲線相離（圖1）變?yōu)橄嘟唬▓D3），中間經(jīng)過相切（圖2）時(shí)，直線（IJ）與（GG′）交換位置.因此，I和G（在切線IF上）、J和G′（在切線JF上）、C∞與C（在對稱軸FF′上）亦經(jīng)過重合而交換位置.所以，F(xiàn)，F(xiàn)′，G，G′四個(gè)焦點(diǎn)中的任一均未消失——在拋物線的無窮遠(yuǎn)直線上有三個(gè)焦點(diǎn)：C∞（實(shí)）、I、J（虛）.

3.設(shè)二次曲線的線式方程為

S≡∑i，jbijuiuj=0（i，j=1，2，3，bij=bji，|S|=|bij|≠0），

圓環(huán)點(diǎn)I，J的方程是：S′≡u21+u22=0.

則|S+λS′|=0表示曲線束：S+λS′=0，（1）

退化成由四焦點(diǎn)為兩組對頂?shù)乃木€形.

當(dāng)b33=0（拋物線），方程：

|S+λS′|=b11+λb12b13b21b22+λb23b31b320=0，（2）

有解：λ1=∞，λ2=|bij|b213+b223.

代入（1），分別得到

u21+u22=0，（3）

（b22u2+b22u2）{[2b22b22+（b22-b22）b22]u2+[2b22b22-（b22-b22）b22]u2+2（b222+b222）u2}=0.（4）

由（3）解得：G，G′=I，J.

由（4）解得：F′=C∞和F（圖2）.

【參考文獻(xiàn)】

[1]梅向明，劉增賢，王匯淳，王智秋.高等幾何：第2版[M].北京：高等教育出版社，2010：155-157.