龔艷冰，戴靚靚，劉高峰

（河海大學(xué) 企業(yè)管理學(xué)院，江蘇 常州 213022）

0 引言

在預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)與決策等領(lǐng)域，回歸分析方法是一個(gè)重要且常用的研究方法，但是傳統(tǒng)回歸往往依賴于精確的統(tǒng)計(jì)數(shù)值及二值邏輯。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，部分或者全部的觀測(cè)數(shù)據(jù)常常是不精確或者用語(yǔ)言值描述的數(shù)據(jù)，使得經(jīng)典線性回歸模型受到限制。人們常常使用自然語(yǔ)言值表示定性概念，例如大概、溫度不高、相當(dāng)小等，恰恰是人們賴以識(shí)別分析乃至決策的重要依據(jù)。現(xiàn)實(shí)世界中不確定性主要包括隨機(jī)性和模糊性，當(dāng)觀測(cè)變量的不確定性不是由概率分布給出的，而是由隸屬函數(shù)確定的，相應(yīng)的回歸模型稱為模糊線性回歸模型。模糊線性回歸模型由日本學(xué)者Tanaka等人[1]首次提出的，主要用于反映自變量和因變量的模糊關(guān)系。經(jīng)典回歸模型把真實(shí)數(shù)據(jù)和估計(jì)值之間的偏差認(rèn)為是觀測(cè)誤差，而模糊回歸模型將這種誤差視為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)自身的模糊性，并把數(shù)據(jù)和其估計(jì)值之間的偏差視為系統(tǒng)參數(shù)的模糊性，從而由參數(shù)模糊化來(lái)解決這一問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)模糊回歸模型的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了大量研究[2-7]，并在系統(tǒng)預(yù)測(cè)、評(píng)估和決策等方面進(jìn)行了大量應(yīng)用研究[8-10]。

隨機(jī)性和模糊性是不確定性問(wèn)題中的兩個(gè)基本特征，經(jīng)典的線性回歸模型和模糊回歸模型分別對(duì)這兩種不確定性進(jìn)行了研究，但是兩種之間的關(guān)聯(lián)性研究一直沒有引起人們足夠的重視，即同時(shí)考慮隨機(jī)性和模糊性。為了處理定性概念中廣泛存在的隨機(jī)性和模糊性，李德毅等[11]首次提出云模型，利用二階的高斯分布方法，來(lái)反映定性概念的隨機(jī)性，同時(shí)又通過(guò)計(jì)算求得反映定性概念的模糊性。本文在云模型理論的基礎(chǔ)上，考慮不確定性回歸中模糊性和隨機(jī)性的關(guān)聯(lián)性，將傳統(tǒng)的線性回歸模型進(jìn)行拓展和推廣，提出正態(tài)云線性回歸模型并對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。最后給出一個(gè)人員績(jī)效評(píng)估的應(yīng)用實(shí)例，說(shuō)明模型的有效性。

1 云模型基本理論

云模型反映了隨機(jī)性和模糊性之間的關(guān)聯(lián)，借助高斯概率密度分布函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造二階或者高階的云發(fā)生器形成偏離高斯分布的云滴群，用概率的方法去研究模糊性[11]。經(jīng)過(guò)幾年的發(fā)展和完善，目前云模型已成功應(yīng)用于智能控制、數(shù)據(jù)挖掘、預(yù)測(cè)和評(píng)估等領(lǐng)域[12-14]。云模型是用語(yǔ)言值表示的某個(gè)定性概念與其定量表示之間的不確定性轉(zhuǎn)換模型，它把模糊性與隨機(jī)性這二者完全集成在一起構(gòu)成定性和定量相互間的映射。

定義1：設(shè)A是論域U上的定性概念，若定量值x∈U，且x是定性概念A(yù)的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，若滿足：x～N（Ex，En′2），其中，N（En，He2）且對(duì)A的確定度滿足：

則稱在論域U上的分布成為正態(tài)云模型。

正態(tài)云模型具有普適性[15]，是基本的云模型。正態(tài)分布大量社會(huì)和自然科學(xué)中定性知識(shí)的云的期望曲線都近似服從正態(tài)或半正態(tài)分布。正態(tài)云的數(shù)字特征反映了定性概念和定量特性，用期望Ex（Expected Value）、熵En（Entropy）、超熵He（Hyper Entropy）三個(gè)數(shù)值來(lái)表征。由統(tǒng)計(jì)學(xué)3En規(guī)則可知，當(dāng)0＜He＜En/3時(shí)，99.7%的云滴落在外包絡(luò)曲線[11]：

和內(nèi)包絡(luò)曲線：

圖1 正態(tài)云和包絡(luò)曲線

之間的區(qū)域內(nèi)，如圖1所示。對(duì)于任意給定的確定度μ=α（0＜α＜1），正態(tài)云A與包絡(luò)曲線相交得到二個(gè)區(qū)間分別為：定義2：假設(shè)在同一論域U中，存在n個(gè)正態(tài)云模型Ai=（Exi,Eni,Hei）和系數(shù)ki∈R，則合成云As=（Exs,Ens,Hes）可以定義如下：

定義3：假設(shè)兩個(gè)正態(tài)云A和B，對(duì)于給定的確定度μ=α（0＜α＜1），則正態(tài)云A和B之間的包絡(luò)距離定義為：

特別的，取α=k/m（k=1,…,m）可得正態(tài)云A和B之間的離散化包絡(luò)距離為：

容易驗(yàn)證，式（6）和式（7）具有非負(fù)性、對(duì)稱性且滿足三角不等式，因此，D（A，B）是距離測(cè)度。包絡(luò)距離的基本思想是兩個(gè)定性概念相似，只需要它們的包絡(luò)相似，允許包絡(luò)內(nèi)部存在小的差異，這種差異反映了概念的模糊性和隨機(jī)性，這也符合人們的思維認(rèn)識(shí)。

2 正態(tài)云線性回歸模型及其參數(shù)估計(jì)

2.1 正態(tài)云線性回歸模型

考慮自變量和因變量都具有模糊隨機(jī)性質(zhì)的線性回歸模型，即：

其中，xi= （1,x1i,x2i,…,xpi）表示正態(tài)云自變量向量，yi表示正態(tài)云因變量，aj,j=0,1,2,…,p為回歸系數(shù)估計(jì)值。為方便起見，可令正態(tài)云xji=（Exji,Enji,Heji）（j=0,1,2,…,p;i=1,2,…,n），則式（8）的正態(tài)云數(shù)據(jù)回歸模型可改寫成：

由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，p個(gè)相互獨(dú)立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量xji（j=1,2,…p;i=1,2,…,n）滿足xji～N（Exji，則其線性組合a0+a1x1i+a2x2i+…+apxpi仍然是一個(gè)正態(tài)分布，即因變量 y（xi）滿足其中因此，正態(tài)云線性回歸模型（9）的因變量y（xi）也是一個(gè)正態(tài)云。

特別的，如果對(duì)正態(tài)云自變量xji=（Exji,Enji,Heji）中所有的i,j有Heji=0，則模型（9）就退化為正態(tài)模糊線性回歸模型，如果對(duì)所有的i,j有Enji=Heji=0，則模型（9）就退化為傳統(tǒng)的線性回歸模型，因此，云模型是經(jīng)典線性回歸模型和模糊線性回歸模型的一般形式。

由合成云的定義（5）可得正態(tài)云線性回歸模型y（xi）的合成云模型為：對(duì)于給定的確定度μ=α（0＜α＜1），由圖1可知正態(tài)云變量是直線μ=α上的兩個(gè)線段上的不確定性變量，只需要保證不超出包絡(luò)曲線的范圍。因此，在給定確定度α下，只需要保證回歸模型的包絡(luò)曲線相等，即模型（9）可以轉(zhuǎn)化為四個(gè)傳統(tǒng)回歸模型：

2.2 模型的參數(shù)估計(jì)

結(jié)合正態(tài)云離散包絡(luò)距離的定義（7），可將正態(tài)云因變量估計(jì)值與觀測(cè)值間的均方誤差表示為：

將式（12）代入式（7）可得均方誤差為：

根據(jù)最小二乘法令：

和

通過(guò)求解上述線性方程組（14）和（15）可得到正態(tài)云線性回歸模型（9）的回歸系數(shù)的估計(jì)值，我們稱這種基于離散距離的最小二乘參數(shù)估計(jì)方法為云最小二乘方法（CLS）。

為了有效評(píng)估正態(tài)云線性回歸模型的性能，需要對(duì)模型的誤差進(jìn)行估計(jì)。傳統(tǒng)的回歸分析是針對(duì)觀測(cè)值與擬合值的距離進(jìn)行比較，利用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的差距來(lái)評(píng)價(jià)擬合結(jié)果，而正態(tài)云擬合則關(guān)心的是實(shí)際的云滴與估計(jì)的云滴的差距，因此無(wú)法用衡量傳統(tǒng)回歸分析擬合效果的方法加以分析。為此，本文將擬合值與實(shí)際值之間的離散距離差E=作為誤差估計(jì)的檢驗(yàn)依據(jù)，當(dāng)回歸方程擬合出來(lái)的正態(tài)云模型具有較小的E值，即包絡(luò)曲線越接近則內(nèi)部的云滴之間的差距就越小，說(shuō)明該模型應(yīng)該是不錯(cuò)的模型。為方便起見，可以考慮合成云ysi與實(shí)際值yi之間的離散距離差作為誤差估計(jì)的檢驗(yàn)依據(jù)。

3 正態(tài)云回歸方法應(yīng)用

為了說(shuō)明本文方法的可行性，以Chen等[2]給出的人員績(jī)效評(píng)估的例子進(jìn)行實(shí)證研究。人員績(jī)效評(píng)估是企業(yè)人力資源管理中一項(xiàng)重要的功能，顯然，由于人員績(jī)效評(píng)估的主觀性，通常采用語(yǔ)言值來(lái)描述評(píng)估值，語(yǔ)言值是一個(gè)模糊性和隨機(jī)性共存的不確定因素，科學(xué)合理的評(píng)估結(jié)果將影響到人力資源管理功能的整體表現(xiàn)。根據(jù)人力資源管理的相關(guān)理論，考慮工作績(jī)效（因變量y）的四個(gè)主要影響因素（自變量）包括[2]：工作能力（x1）、抗壓性（x2）、拖延頻率（x3）和溝通和協(xié)調(diào)能力（x4），樣本容量為30。顯然這四個(gè)因素?cái)?shù)據(jù)本身同時(shí)具有模糊性和隨機(jī)性，假定影響因素評(píng)估論域均為[0，100]。首先按照正態(tài)云數(shù)據(jù)生成方法，即：

將30個(gè)模糊樣本生成正態(tài)云數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 績(jī)效評(píng)估自變量和因變量正態(tài)云樣本

應(yīng)用Matlab軟件，將上述數(shù)據(jù)代入線性方程組（14）和（15）可得下列線性方程組：

120a0+80400 a1+81200 a2+73280 a3+61720 a4=63640

80400 a0+5754424.4 a1+5442693 a2+4854687.7 a3+4067925.8 a4=4591220

81200 a0+5442693 a1+5.746256.8 a2+5.142517.4 a3+4.250704.6 a4=425566.5

73280 a0+4854687.7a1+5142517.4 a2+4.991726.3 a3+3716504.2 a4=3738481.6

61720 a0+4067925.91a1+4250704.6 a2+3716504.2 a3+3766932.8 a4=3277507.7

求解上述線性方程組，可得回歸系數(shù)：

a0=-0.1290，a1=0.9237，a2=-0.1289，a3=-0.1120，a4=0.1305

則正態(tài)云線性回歸方程為：

y（xi）=-0.1290（1,0,0）+0.9237（Ex1i,En1i,He1i）-0.1289（Ex2i,En2i,He2i）-0.1120（Ex3i,En3i,He3i）+0.1305（Ex3i,En3i,He3i）

從上述回歸模型看到工作能力（x1）對(duì)員工工作績(jī)效的影響是最大的，溝通和協(xié)調(diào)能力（x4）對(duì)員工工作績(jī)效也存在正面影響，弱抗壓性（x2）和拖延頻率（x3）這兩個(gè)變量對(duì)工作績(jī)效產(chǎn)生負(fù)面影響但影響力度不大，這與實(shí)際情況是相一致的。為方便起見，本文以合成云（ys）表示正態(tài)云線性回歸的擬合值，圖2給出了樣本x1=（x11,x12,x13,x14）的正態(tài)云線性回歸擬合示意圖。

圖2 正態(tài)云線性回歸擬合示意圖

選取確定度α=0.1,0.2,…,1，計(jì)算合成云ysi與實(shí)際值yi之間的離散包絡(luò)距離差并將其作為誤差估計(jì)的檢驗(yàn)依據(jù)，結(jié)果如表2所示。結(jié)果表明，本文的正態(tài)云線性回歸模型是可行的，而且與傳統(tǒng)線性回歸模型和模糊線性回歸模型比較誤差也相對(duì)較小，最主要的是正態(tài)云線性回歸模型的適應(yīng)性更強(qiáng)，是更加一般和靈活的線性回歸模型。

表2 正態(tài)云擬合效果與距離誤差測(cè)度表

4 結(jié)論

云模型方法指出，客觀上人們?cè)诓淮_定性思維中，也許并不存在一個(gè)確定又精確的隸屬度或者隸屬函數(shù)。因此，模糊線性回歸模型雖然在處理不確定性回歸分析中較傳統(tǒng)回歸模型取得了較好的效果，但是確定而又精確的隸屬度方法容易把人們對(duì)模糊現(xiàn)象的處理強(qiáng)行納入精確數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，扼殺了事物的高階模糊本質(zhì)[11]。為此，本文將云模型方法應(yīng)用于不確定問(wèn)題的線性回歸分析領(lǐng)域，提出正態(tài)云線性回歸模型，并基于最小二乘的思想給出最小二乘包絡(luò)距離方法對(duì)正態(tài)云回歸模型的系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。正態(tài)云線性回歸模型的優(yōu)點(diǎn)包括：①是傳統(tǒng)回歸模型和模糊回歸模型的推廣；②將數(shù)據(jù)和其估計(jì)值之間的偏差視為系統(tǒng)參數(shù)的模糊性和隨機(jī)性關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的結(jié)果；③通過(guò)正態(tài)云的三個(gè)數(shù)字特征可以反映回歸模型的不確定性程度，更加符合自然語(yǔ)言值的內(nèi)涵。

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