廣州市鐵一中學(510660) 高華英

知識間融合的研究 以一次函數(shù)與二元一次方程的融合為例

廣州市鐵一中學(510660) 高華英

很多人認為,現(xiàn)在小學、中學到大學里所學的數(shù)學都是幾百年前甚至幾千年前創(chuàng)造出來的,這些數(shù)學的最基本的部分,已經(jīng)相當成熟了,對于這樣的數(shù)學內(nèi)容還有優(yōu)化改革的余地嗎?但換個角度,這些進入課堂的數(shù)學是在不同的年代、不同的地方、由不同的人創(chuàng)造出來,它是否還適宜目前的教學和學習呢?從數(shù)學的發(fā)展史來看,數(shù)學教學的改革一直沒有停下來,因此,這就需要我們對數(shù)學知識進行整合,以適應時代的要求,以發(fā)揮它的最大效益.

一、研究知識融合的起因

張景中院士的《一線串通的初等數(shù)學》中指出:“在中學數(shù)學課程中,三角的內(nèi)容至關(guān)重要.三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁,是溝通初等數(shù)學和高等數(shù)學的一條通道.”此書主要是以三角函數(shù)為線研究了初中幾何中全等、相似、平行四邊形、解直角三角形和圓等的知識,如三角形全等用三角函數(shù)來研究,其中的邊角邊定理是可以證明的,而原教材是作為一個基本事實的定理,沒有進行證明的.在課程改革的背景下,初中數(shù)學的問題解決創(chuàng)新性越來越強,對學生的綜合應用知識的能力要求越來越高.從張院士的思想中得到啟發(fā),代數(shù)中函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,就猶如橋梁聯(lián)系了兩者,作為教學一線的老師,能否從學生的角度和知識的角度,對這些知識進行整合以達到最佳的學習效果呢,“新課程背景下初中數(shù)學‘模塊融合’的教學實踐研究”就是在這樣的背景下進行的,是屬于教學實踐的研究.而“模塊融合”教學實驗正是針對這一教學的熱點難點問題展開的實驗研究.

二、知識融合的方法

(一)準確理解知識間的知識結(jié)構(gòu)與要求

“模塊融合”的一般思路及路徑就是本著“保留優(yōu)點、克服缺點、遵循邏輯”的原則,按照“從函數(shù)觀點看代數(shù)問題”進行重新整合,是將新人教版初中數(shù)學教材的知識體系中,知識點間的聯(lián)系發(fā)生了改變,變的更為密切和互為作用.在知識結(jié)構(gòu)上對于代數(shù)式、方程、函數(shù)這三大模塊分成6個章節(jié),幾個學段來設計,呈現(xiàn)了一定的零碎性.學生在知識結(jié)構(gòu)的連續(xù)性上缺乏思考,對于模塊間的內(nèi)容形成了斷層,脫節(jié),對于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏深刻認識,不能很好地達成課程標準的要求,導致學生在學習過程中對模塊間內(nèi)容不能形成系統(tǒng)性,對知識的要求達成率就會降低.比如在方程與函數(shù)模塊,由原來的獨立模塊整合成嵌入式模塊融合,把函數(shù)分散到各個模塊中,在知識結(jié)構(gòu)上發(fā)生了大的變化,本次研究的核心就是降低函數(shù)難度,加強函數(shù)與方程的聯(lián)系.“函數(shù)”、“方程”、“不等式”都可以統(tǒng)一起來,這樣將這三者盡可能地進行串通和對接,猶如三個公交系統(tǒng)進行無縫對接,將會大大提升交通效率.

(二)重視概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進行有效整合——以從函數(shù)觀點看方程為例

初中數(shù)學教材內(nèi)容在模塊間存在一些實質(zhì)性聯(lián)系,這些實質(zhì)性的聯(lián)系具有隱蔽性,為了利于學生學習的連續(xù)性,挖掘模塊間內(nèi)容之間的實質(zhì)性聯(lián)系,本次研究重點關(guān)注函數(shù)與方程模塊間內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián),以一次函數(shù)和二元一次方程進行的融合為例,以往都是先學習了方程,再學習函數(shù),而此次處理是先學習一次函數(shù)再學習二元一次方程,即從函數(shù)觀點看二元一次方程,正所謂站的高看的遠.

下面有三個問題:

(1)小明的手機話費卡中存入30元,手機通話費為0.2元/min,若他的通話時間為xmin,話費卡中的余額為y元,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

(2)把10本書隨意放入兩個抽屜(每個抽屜內(nèi)都放),第一個抽屜放入x本,第二個抽屜放入y本,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

(3)籃球聯(lián)賽中,每場比賽都要分出勝負,每隊勝一場得2分.負一場得1分,某隊為了爭取較好的名次,想在全部22場比賽中得到40分,那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少?

第(1)、(2)個問題是函數(shù):y=30?0.2x和y=10?x.這里由函數(shù)問題引出二元一次方程,本質(zhì)上函數(shù)也是方程從而方程與函數(shù)統(tǒng)一起來.

第(3)個問題這兩個條件可以用等式x+y=22和2x+y=40表示.上面四個式子,它們都是含有未知數(shù)的等式——方程(equation).每個方程都含有兩個未知數(shù)(x和y),并且未知數(shù)的指數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.這也說明一次函數(shù)也可以看成二元一次方程.

從以上的融合發(fā)現(xiàn):通過一次函數(shù)引出二元一次方程的概念,讓學生體會到函數(shù)與方程之間關(guān)系密切,使學生理解認識事物的過程是由特殊(具體)到一般(抽象),又由一般(抽象)到特殊(具體),在不斷重復中得到提高,培養(yǎng)學生初步的辨證唯物主義觀點.同時方程與函數(shù)之間的聯(lián)系,體現(xiàn)數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一性.

(三)關(guān)注知識間內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)進行融合

本次研究擬將函數(shù)模塊融入到代數(shù)式、平面直角坐標系、方程、不等式這些模塊中,在物質(zhì)結(jié)構(gòu)上,函數(shù)模塊與這些模塊具有內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián),在學生學習的心理結(jié)構(gòu)上,能夠遵循學生認知水平,把函數(shù)這個較難的模塊內(nèi)容分散,融入到各個有關(guān)的模塊中,既降低了函數(shù)模塊的難度,又有效地突出函數(shù)與其他模塊之間的關(guān)聯(lián).以一次函數(shù)與二元一次方程實際問題的融合為例:

例1已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(3,5)和(?4,?9)兩點,列出關(guān)于k、b的方程組.

例21號探測氣球從海拔5米處出發(fā),以1米/分的速度上升.與此同時,2號探測氣球從海拔15米處出發(fā),以0.5米/分的速度上升.兩個氣球都上升了1小時.

(1)用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔(單位:米)關(guān)于上升時間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系;

(2)在某個時刻兩個氣球能否位于同一高度?如果能,這時氣球上升了多長時間?位于什么高度?

分析例1:此題本是函數(shù)問題,但點在函數(shù)圖像上解決問題的方法就是將點帶入函數(shù)成為方程組,這說明函數(shù)和方程密不可分.

分析例2:第(2)問,在某個時刻兩個氣球位于同一高度,就是說對于x的某個值(0≤x≤60),函數(shù)y=x+5和y=0,5x+15有相同的數(shù)值.則只需求出x和y的值,這也轉(zhuǎn)化成了求方程組的解的問題.

從以上三個例題,發(fā)現(xiàn)方程組與函數(shù)之間相互聯(lián)系,從函數(shù)的角度可以把它們統(tǒng)一起來,解決問題時,應根據(jù)具體情況靈活地把它們結(jié)合起來考慮.“實踐與綜合應用”不作為獨立的一塊內(nèi)容,而是同與其最接近的知識內(nèi)容相結(jié)合,這樣處理,使得“實踐與綜合應用”以多種形式分散編排,能以多種形式進行,化整為零,經(jīng)常化和生活化.

(四)知識間的融合重視滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是構(gòu)成數(shù)學知識的框架,是數(shù)學方法的升華.數(shù)學思想方法之間的橫向聯(lián)系是一個框架與其他框架之間產(chǎn)生關(guān)系的樞紐,所以知識的融合應重視數(shù)學思想方法的滲透,這有益于學生領(lǐng)悟知識之間的聯(lián)系,同時更容易接納新的知識.以一次函數(shù)與二元一次方程實際問題的融合為例:

例3甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠,所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)的關(guān)系如圖所示,請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:

圖1

(1)乙隊開挖到30m時,用了____h,開挖6h時甲隊比乙隊多挖了___m;

(2)請你求出:

①甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

③當x為何值時,甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等?

分析例3,此問題是函數(shù)問題,學生通過數(shù)形結(jié)合的思想意識到,第(2)問的③小問解決方法即是把兩個函數(shù)聯(lián)立方程組解決,從而此類題目均可以用同樣的思想方法進行解決.這種知識間的融合可以讓學生感受由實際問題抽象出數(shù)學問題的過程,逐步讓學生養(yǎng)成善于利用數(shù)學解決實際問題的習慣,形成“數(shù)學建模思想”.而二元一次方程、一次函數(shù)等的融合,目的就是要培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式,強化學生對數(shù)學思想方法的逐步滲透過程,幫助學生完善數(shù)學能力和思想意識.總之,融合的研究體現(xiàn)的宗旨是:播撒“尊重科學、熱愛科學、善于思考、勇于創(chuàng)新”的種子,搭建可持續(xù)發(fā)展的平臺.

三、知識融合將成為必然趨勢

(一)知識融合的優(yōu)勢

在知識間融合的研究中,對于方程和函數(shù)這兩部分知識的編排,改變了以往代數(shù)教科書“先集中講方程,后集中講函數(shù)”的做法(純直線式教材),而是按照“一次”和“二次”的數(shù)量關(guān)系(宏觀上是直線式),使方程和函數(shù)交替出現(xiàn)(微觀上是螺旋式),即按一次函數(shù)、一次方程(組)、二次函數(shù)、二次法則新探所采用的的模式是,把數(shù)學問題放在日常生活情境中去學習,這符合建構(gòu)主義學習理論,其學習路徑是:觀察、歸納、猜想、驗證,這也是數(shù)學思考的基本方式,在學習中不斷滲透類比、分類、數(shù)形結(jié)合等思想方法,從這些方面去綜合解讀課題學習,對提升學生思維的高度大有裨益.

三、結(jié)束語

在復習課中設計課題學習,要凸顯“讓學生又一次發(fā)展”的理念,讓學生在課題學習中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程,在問題探究中提生思維能力.不過如何在復習課中設計出更好的課題學習素材有待于進一步的研究,期待有更好更多的成果涌現(xiàn).