安君芳

【摘要】 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤一直是數(shù)學(xué)教師比較關(guān)注的問題.其實(shí)，我們（學(xué)生和教師）每一個(gè)人都會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中犯不同程度的錯(cuò)誤，因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤是非常自然的現(xiàn)象，如何利用錯(cuò)誤來培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，是我們教師應(yīng)該關(guān)注的.

【關(guān)鍵詞】 錯(cuò)誤;發(fā)展;能力

英國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)長施瓦茨伯格，在1984年會(huì)上的長致辭中曾提出這樣的觀點(diǎn)：錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)教學(xué)中和正確答案一樣重要，有時(shí)錯(cuò)誤更為重要，因?yàn)樗梢詭椭鷶?shù)學(xué)發(fā)展;錯(cuò)誤幫助我們了解數(shù)學(xué)的來龍去脈;并可以作為診斷的工具，讓我們能了解學(xué)生心里可能的想法，錯(cuò)誤并非漫無目的地 發(fā)生，而是有其理由.數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的地位和價(jià)值由此可見一斑.

一、點(diǎn)評(píng)錯(cuò)誤，提高學(xué)生分析能力

例1 ??已知關(guān)于x的一元二次方程（1-a2）x2+4x+4=0.求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

解 ?根據(jù)題意，得b2-4ac=16-16（1-a2）=16a2.

∵16a2≥0，∴b2-4ac≥0，

即方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例2 ??已知關(guān)于x的一元二次方程a2x2+3ax-4=0.求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)誤解法

解：根據(jù)題意，得b2-4ac=9a2+16a2=25a2.

∵25a2≥0，∴b2-4ac≥0，

即方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

正確解法

解：根據(jù)題意，得b2-4ac=9a2+16a2=25a2.

∵一元二次方程，∴a2≠0，即a≠0，

∴25a2>0，即b2-4ac>0，

∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

思考：這兩道題看似相似，但很多學(xué)生容易出現(xiàn)例2錯(cuò)誤的解答過程，而且不知問題出在哪？所以在講解時(shí)，我讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)，學(xué)生通過對(duì)例1、例2進(jìn)行辨析，學(xué)生可以加深對(duì)一元二次方程a≠0的理解.通過分析其他同學(xué)錯(cuò)誤的原因，理解并掌握考查的知識(shí)點(diǎn)，糾正自己的錯(cuò)誤，從而總結(jié)出此類問題的解題方法和技巧.

二、變式易錯(cuò)題，提高學(xué)生思維發(fā)散性

變式教學(xué)使一題多用，給學(xué)生以新鮮感，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲.在教學(xué)過程中，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，教師通過創(chuàng)設(shè)合理的、有挑戰(zhàn)性的變式訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.對(duì)于每一個(gè)變式，通過在師生、學(xué)生之間的相互討論，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散.

例3 ??已知關(guān)于x的方程x2-（k+3）x+3k=0.求證：無論k取何實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根.

解 ?根據(jù)題意，得

b2-4ac=k2+6k+9-12k=（k-3）2.

∵（k-3）2≥0，∴b2-4ac≥0，

即方程總有實(shí)數(shù)根.

變式 ?已知關(guān)于x的方程（k-1）x2+2kx+2=0.求證：無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

錯(cuò)誤解法

解：根據(jù)題意，得

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4.

∵（2k-2）2+4>0，∴b2-4ac>0，

即無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

正確解法

解：當(dāng)k=1時(shí)，原方程可化為2x+2=0，解得：x=-1，此時(shí)該方程有實(shí)根;

當(dāng)k≠1時(shí)，方程是一元二次方程，有：

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4.

∵（2k-2）2+4>0，∴b2-4ac>0，

即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.

思考：這道變式題，很多學(xué)生容易陷入例2的解法，沒有意識(shí)到例2的方程指的是一元二次方程，而變式題的方程可能是一元一次方程，也有可能是一元二次方程;由思維的不嚴(yán)謹(jǐn)所產(chǎn)生的錯(cuò)誤在學(xué)生中非常常見.比如，需要分類討論的題目往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問題.而分類討論思想也是初中數(shù)學(xué)常見的，體現(xiàn)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的數(shù)學(xué)思想方法，要求學(xué)生掌握和應(yīng)用.分類討論是根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分別對(duì)各種情況予以考查，這也是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，其主要原因是對(duì)所討論變量的取值范圍分類不明確.分類討論思想是在解決問題出現(xiàn)不確定性時(shí)的有效方法;同時(shí)還可以培養(yǎng)我們的洞察能力和全面思考問題的能力.因此，通過選擇典型問題進(jìn)行變式訓(xùn)練，力爭覆蓋此類問題的各種類型，有利于學(xué)生構(gòu)建合理、完整的新知識(shí).

例4 ??已知一次函數(shù)y=（m-1）x+m+3經(jīng)過第一二四象限，則m的取值范圍 .

解 ?根據(jù)題意，得 m-1<0， m+3>0， ?解得-3<m<1.

變式 ?已知一次函數(shù)y=（m-1）x+m+3不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍 .

錯(cuò)誤解法

解：根據(jù)題意，得 m-1<0， m+3>0， ?解得-3<m<1.

正確解法

解：根據(jù)題意，得 m-1<0， m+3≥0， ?解得-3≤m<1.

思考：一次函數(shù)不經(jīng)過第三象限，有些學(xué)生容易錯(cuò)誤理解成就是經(jīng)過第一二四象限，在解題時(shí)，學(xué)生對(duì)已經(jīng)接受的知識(shí)、解題方法等內(nèi)容，往往在心中有比較深刻的印象，常常思維定式，先對(duì)問題進(jìn)行模式辨認(rèn)，當(dāng)在解決相似的新問題時(shí)，具有試圖把新的問題納入已建立的模式中加以解決，如此就造成了“先入為主”的思維惰性.這些固然對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)是很好的經(jīng)驗(yàn)，但也會(huì)限制學(xué)生對(duì)問題做出更加深入細(xì)致的探討，從而產(chǎn)生思維定式.

總之，萬事開頭難，在建立錯(cuò)題資源的初期是一個(gè)非常痛苦的階段，一定要長期持久的投入，貴在堅(jiān)持，因?yàn)殄e(cuò)題資源重要的是平時(shí)的積累與反思.錯(cuò)題資源能改變學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的態(tài)度，對(duì)待錯(cuò)題的態(tài)度是減少做錯(cuò)的關(guān)鍵，可以說一本萬利.