李珊 栗巧玲 余旭洪

【摘要】 本文提出了等價(jià)無(wú)窮小量代換的一個(gè)重要結(jié)論以及等價(jià)無(wú)窮小與泰勒公式的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 等價(jià)無(wú)窮小量;泰勒公式;極限

【基金項(xiàng)目】 國(guó)家自然科學(xué)基金（11601331，11601332），上海高校青年教師培訓(xùn)資助計(jì)劃.

高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是變量，研究方法是無(wú)窮小分析法，也就是極限方法，掌握好極限概念與極限運(yùn)算是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要階梯.求解極限的方法有很多，但選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄖ苯雨P(guān)系到運(yùn)算過(guò)程的簡(jiǎn)便程度和運(yùn)算結(jié)果的正確性.利用等價(jià)代換求解極限是指將一些無(wú)窮小量用與其等價(jià)的無(wú)窮小量來(lái)替代，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算[1-3]，但是遇到分式中的加減項(xiàng)的時(shí)候不能隨便套用等價(jià)無(wú)窮小.

例1 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx sin3x .

錯(cuò)誤解法 ?當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x3 =0.

正確解法 ?當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x3 =lim x→0 ??1 2 x3 x3 = 1 2 .

分析 ?錯(cuò)誤在于認(rèn)為當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，則有tanx-sinx～x-x=0，即錯(cuò)誤地認(rèn)為無(wú)窮小量的代換可以任意地應(yīng)用到極限運(yùn)算中，并忽視了在等價(jià)無(wú)窮小代換中，分子、分母必須是相同無(wú)窮小量的同階形式，也就是說(shuō)如果按照錯(cuò)誤的解法進(jìn)行無(wú)窮小替換之后，分子是關(guān)于x的一階無(wú)窮小，而分母是關(guān)于x的三階無(wú)窮小，則分子與分母的比值應(yīng)該為∞，這與無(wú)窮小等價(jià)替換的定理二[1]相矛盾，定理二指出：設(shè)α～α? ～ ，β～β? ～ ，且lim β? ～? α? ～? 存在，則lim β α =lim β? ～? α? ～? .即利用等價(jià)無(wú)窮小做代換，就必須滿足替換后的極限必須是存在的.

這個(gè)題目應(yīng)用泰勒公式的計(jì)算方法為：

原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x3

=lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x3 = 1 2 .

也就是說(shuō)和差不能代換的原因是tanx-sinx= x3 2 +o（x3）.

根據(jù)上例，我們得到一個(gè)有用的定理.

定理 ?α，β，α? ～ ，β? ～ 為同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，且α，β為同階無(wú)窮小，又α～α ?～ ，β～β? ～ .

（1）當(dāng)lim β α ≠-1時(shí)，則 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ ;

（2）當(dāng)lim β α ≠1時(shí)，則 α-β γ ～ α? ～ -β? ～? γ .

證明 ?由已知lim β α =a，lim β′ β =1，則當(dāng)a≠-1時(shí)，

有l(wèi)im ?α? ～ +β? ～? γ?? α+β γ? =lim 1+ β? ～? α? 1+ β α? = lim 1+ β? ～? β · β α?? lim 1+ β α?? = 1+a 1+a =1，

即當(dāng)lim β α ≠-1時(shí)，則 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ .同理可證（2）.

由該定理我們可以看出上述例子的錯(cuò)誤在于，首先，lim -sinx tanx =-1不滿足該定理的條件，所以不能隨意利用等價(jià)無(wú)窮小量代換;其次，該定理的應(yīng)用和分母γ沒(méi)有必然的聯(lián)系.

例2 ??求 lim x→0 ?ex-1+arcsin3x 4x .

解 ?當(dāng)x→0時(shí)，ex-1～x，arcsin3x～3x，

且lim x→0 ?arcsin3x ex-1 =lim x→0 ?3x x =3≠-1，

所以，當(dāng)x→0時(shí)，ex-1+arcsin3x～x+3x=4x.

由定理2易知：原式=lim x→0 ?4x 4x =1.

通過(guò)定理2，很大程度上給極限運(yùn)算中的代數(shù)和帶來(lái)了方便.

例3 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx arctanx .

錯(cuò)誤解法 ?當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x =0.

正確解法 ?當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x =lim x→0 ??1 2 x3 x =0，

或者，原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x =lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x =0.

例3是一個(gè)經(jīng)典的反例，是很多學(xué)生在求解極限時(shí)會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，認(rèn)為答案是正確的，步驟就沒(méi)有問(wèn)題，其實(shí)卻弄巧成拙.

總之，在一般情況下，無(wú)窮小量的等價(jià)代換并不完全適合于極限的加減運(yùn)算，此時(shí)可以結(jié)合泰勒公式進(jìn)行計(jì)算.而在教學(xué)過(guò)程中，部分學(xué)生想當(dāng)然地進(jìn)行無(wú)窮小量的代換，以至于不可避免地會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2004.