田立敏++司志本

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是解決日常生活中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，一定要注意理論聯(lián)系實(shí)際，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文將通過(guò)對(duì)三個(gè)相關(guān)問(wèn)題的討論，來(lái)說(shuō)明“理論聯(lián)系實(shí)際”的重要性.

問(wèn)題1在1—150這150個(gè)整數(shù)中：

（1）是3的倍數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？

（2）是5的倍數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？

（3）既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？

（4）是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？

分析前三個(gè)小問(wèn)題都比較簡(jiǎn)單.通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就可以知道：在1—150這150個(gè)整數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)有50個(gè)；是5的倍數(shù)的數(shù)有30個(gè)；既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，也就是15的倍數(shù)，有10個(gè).

那么“是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)”的數(shù)有幾個(gè)呢？是50+30=80個(gè)嗎？顯然不是！我們把“是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)”這個(gè)條件分拆一下，它包括三類(lèi)數(shù)：是3的倍數(shù)但不是5的倍數(shù)的數(shù)；是5的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的數(shù)；既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù).因?yàn)榧仁?的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)有10個(gè)，所以，是3的倍數(shù)但不是5的倍數(shù)的數(shù)有50-10=40個(gè)；是5的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的數(shù)有30-10=20個(gè).所以，是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)的數(shù)有40+20+10=70個(gè).

問(wèn)題2在1—150這150個(gè)整數(shù)中，既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？

分析從問(wèn)題的敘述來(lái)看，問(wèn)題2比問(wèn)題1中的（3）只多一個(gè)“不”字.我們可以這樣來(lái)討論問(wèn)題2：

因?yàn)樵谠?—150這150個(gè)整數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)有50個(gè)，所以，不是3的倍數(shù)的數(shù)就有150-50=100個(gè)，在不是3的倍數(shù)的這100個(gè)數(shù)中，是5的倍數(shù)的數(shù)有20個(gè)（注意不是30個(gè)，因?yàn)橛?0個(gè)15的倍數(shù)已經(jīng)包括在3的倍數(shù)當(dāng)中），所以，既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有100-20=80個(gè).

問(wèn)題2也可以這樣來(lái)分析：它與問(wèn)題1的（4）是向?qū)α⒌?即在這150個(gè)整數(shù)中，除了“是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)”以外，就是“既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)”，而是3的倍數(shù)或是5的倍數(shù)的數(shù)有70個(gè)，所以，既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)就有150-70=80個(gè).

問(wèn)題3150盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開(kāi)關(guān)控制，按順序編號(hào)為1，2，3，…，150.將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，再將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數(shù)為幾盞？

問(wèn)題3是2011年第九屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”解題技能大賽中的一道試題.這道題與前面的問(wèn)題1和問(wèn)題2屬于同一個(gè)類(lèi)型的問(wèn)題.我們先看下面的兩種分析方法：

分析1與前面問(wèn)題1中的（4）進(jìn)行比較，不難知道，將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，共拉滅了50盞燈；再將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，共拉30下.因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的燈被拉了兩次，所以，在拉5的倍數(shù)的燈的拉線時(shí)，只拉滅了20盞燈.由此可知，兩次一共拉滅了70盞燈.所以，問(wèn)題3的答案是150-70=80（盞）.

分析2與前面的問(wèn)題2進(jìn)行比較，沒(méi)有拉到拉線的燈的盞數(shù)，就是問(wèn)題2中既不是3的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)，所以，拉完兩次拉線后仍然亮著的燈有150-70=80（盞）.

讀者朋友，你認(rèn)同前面這兩種分析方法嗎？如果你對(duì)這兩種分析方法持懷疑態(tài)度的話(huà)，那么請(qǐng)你注意這樣兩個(gè)事實(shí)：第一，上面的兩種分析方法得出的結(jié)果是一致的，都是80盞；第二，2011年第九屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”解題技能大賽組委會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案也是80盞.你還懷疑這兩種分析結(jié)果的正確性嗎？

實(shí)際上，你應(yīng)該堅(jiān)持你的懷疑態(tài)度！因?yàn)樯厦娴膬煞N分析方法所得出的結(jié)果是錯(cuò)誤的！當(dāng)然，2011年第九屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”解題技能大賽組委會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案也是錯(cuò)誤的！

現(xiàn)在我們來(lái)看下面的分析3.

分析3我們還是與前面問(wèn)題1中的（4）進(jìn)行比較.將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，共拉滅了50盞燈，這一點(diǎn)是沒(méi)有問(wèn)題的；但是，在將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下時(shí)，一共拉30下.在這30下中，有20下拉滅了20盞燈（編號(hào)是5的倍數(shù)，但不是3的倍數(shù)的燈），另外10下把第一次已經(jīng)拉滅的10盞燈（編號(hào)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的燈）又拉亮了.這樣一來(lái)，兩次一共拉滅了（50-10）+20=60盞燈.所以，拉完兩次拉線開(kāi)關(guān)以后，仍然亮著的燈有150-60=90盞.

如果你對(duì)上面的分析3還不太清楚的話(huà)，那么你可以把燈的數(shù)量減少.例如，只考慮15盞燈的情況，結(jié)果就會(huì)一目了然.

就問(wèn)題3本身來(lái)講，并不是一道難題.但是，這樣一道并不困難的問(wèn)題，為什么那么多人，包括大學(xué)數(shù)學(xué)系的高材生，當(dāng)然也包括2011年第九屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”解題技能大賽命題專(zhuān)家都做錯(cuò)了呢？其主要原因就是沒(méi)有把理論知識(shí)與生活實(shí)際結(jié)合起來(lái).所以我們說(shuō)，在解決與生活實(shí)際關(guān)系比較密切的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一定要注意理論聯(lián)系實(shí)際，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

作者簡(jiǎn)介司志本（1959—），男，河北興隆人，教授.主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作.曾被授予河北省優(yōu)秀教師、獲國(guó)家曾憲梓教育基金會(huì)教師獎(jiǎng)；發(fā)表論文160余篇，主編或參編了9部數(shù)學(xué)及相關(guān)書(shū)籍.

《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（初中）2017年總目錄endprint