程天威, 王 爽, 楊 影

(上海大學 機電工程與自動化學院,上海 200072)

控制系統(tǒng)延遲對軸扭振的影響

程天威, 王 爽, 楊 影

(上海大學 機電工程與自動化學院,上海 200072)

控制系統(tǒng)中的軸扭振會引起系統(tǒng)控制量的振蕩,加大機械傳動裝置磨損，甚至會導致傳動軸斷裂。在工業(yè)應用中，多采用陷波濾波器抑制軸扭振，而陷波頻率的選取通常未考慮控制系統(tǒng)延遲因素?；陔姍C角速度增量、軸轉矩增量和電機電磁轉矩增量的相位圖，分析了控制系統(tǒng)延遲對軸扭振頻率的影響。仿真結果對分析結論給予了驗證。

控制系統(tǒng)；軸扭振；陷波頻率；延遲

0 引 言

目前電機傳動系統(tǒng)多為兩質量或三質量系統(tǒng)，主要包括控制器、驅動器、電動機和機械傳動裝置等。其中常用到的傳動軸、變速器和聯軸器等機械傳動裝置不是理想剛體。隨著應用工況對電機傳動系統(tǒng)動態(tài)性能的要求越來越高，系統(tǒng)頻帶逐漸增寬。當兩質量機械傳動裝置的固有諧振頻率落在系統(tǒng)帶寬內時，系統(tǒng)便會產生諧振。如果此時的固有諧振頻率信號沒有得到有效地衰減，系統(tǒng)中就會出現持續(xù)的諧振現象。長時間工作在這種諧振狀態(tài)，會導致系統(tǒng)性能惡化和零部件壽命縮短，甚至會使傳動軸斷裂[1]。

對速度指令加一個低通濾波器是一種避免軸扭振的方法，但這會降低伺服系統(tǒng)的頻響帶寬[2]。基于陷波濾波器的軸扭振抑制方法能夠衰減指定頻率的幅值而對其他頻率沒有影響[3-5]。在包含彈性機械傳動裝置的轉速電流閉環(huán)系統(tǒng)中，將陷波濾波器串入速度控制環(huán)路中，對轉速調節(jié)器輸出的電流環(huán)給定信號進行陷波處理，從而抑制電機電流的振蕩，進而達到抑制軸扭振的目的[6]。陷波濾波器的抑制效果主要取決于陷波頻率選取。如果設計的陷波頻率出現偏差，會影響軸扭振的抑制效果，嚴重時甚至不再適用[7]。

兩質量系統(tǒng)中的控制環(huán)節(jié)包括轉速調節(jié)器、電流調節(jié)器和測速環(huán)節(jié)等。通常分析的軸扭振頻率是由兩質量機械傳動裝置得出的，并沒有考慮控制環(huán)節(jié)的影響?，F代電機傳動系統(tǒng)是數字控制系統(tǒng)，其以離散時間步長方式運行。離散時由存儲數據產生的采樣-保持延遲、由執(zhí)行控制律需要時間產生的計算延遲和由位置估計速度產生的速度估計延遲，都可能會對軸扭振產生影響，其中延遲的作用可以用相位滯后量來表示[8]。

本文基于電磁轉矩增量相對于角速度增量的相位關系，開展了研究控制系統(tǒng)延遲對軸扭振的影響分析。由于電流環(huán)的采樣頻率相比于轉速環(huán)很快，所以本文著重分析由數字控制在轉速環(huán)中引入的延遲對軸扭振的影響。

1 兩質量系統(tǒng)中的軸扭振

對兩質量機械傳動裝置建模時，可將機械傳動裝置認為是一個具有機械阻尼特性的彈簧，而電機側和負載側可分別簡化為具有一定慣量的剛體，如圖1所示。

圖1 兩質量機械傳動裝置模型

其中：JM——電機側轉動慣量；

JL——負載側轉動慣量；

DS——阻尼系數；

KS——剛度系數；

Δθ——軸扭轉角；

TS——軸轉矩；

TM——電機電磁轉矩；

TL——負載轉矩；

ωM——電機角速度；

ωL——負載角速度。

由圖1可得軸轉矩方程和運動方程為

(1)

由于系統(tǒng)的阻尼系數較小，在忽略阻尼系數后，根據式(1)可得兩質量機械傳動裝置模型結構圖如圖2所示，其中TD為電機動態(tài)轉矩。

圖2 兩質量機械傳動裝置模型結構圖

即:TM-TS=TD；TD=JMSωM

(2)

由式(3)可計算出固有諧振頻率為

(4)

2 延遲對軸扭振的影響分析

將由數字控制引入的延遲等效到反饋通道上，可得延遲的傳遞函數為

(5)

其中τ為延遲時間。

式中：G(s)——延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數；

C(s)——延遲環(huán)節(jié)的輸出量；

R(s)——延遲環(huán)節(jié)的輸入量。

當延遲時間很小時，常把它展開成泰勒級數，并略去高次項：

(6)

由式(6)可得含有延遲的閉環(huán)系統(tǒng)框圖，如圖3所示。其中轉速環(huán)采用PI調節(jié)器，傳遞函數為

(7)

圖3 含有延遲的閉環(huán)系統(tǒng)框圖

由圖3可得包含延遲的從電機電磁轉矩到電機角速度的傳遞函數為

式中：KP——轉速調節(jié)器的比例系數；

KI——轉速調節(jié)器的積分系數。

用jω代替s，可得延遲的傳遞函數為

(9)

轉速調節(jié)器ASR的輸入是轉速偏差，在用小信號分析扭振時為-ΔωM。由圖3可知，此時ΔTM相對于-ΔωM的總相位滯后角為轉速調節(jié)器本身引入的相位滯后角與延遲引入的相位滯后角之和：

α=θASR+θDelay(10)

其中：轉速調節(jié)器本身引入的相位滯后角與延遲引入的相位滯后角分別為

(11)

θDelay=arctan(ωτ)(12)

分析式(11)與式(12)可知0<θASR<90°、0<θDelay<90°，進而可知0<α<180°。

為便于分析延遲對軸扭振的影響，引入延遲系數D。延遲系數D與延遲時間τ和固有諧振頻率f0的關系如下：

(13)

將式(13)代入式(12)可得

(14)

分析式(14)可知，軸扭振頻率f和固有諧振頻率f0是一個數量級的，延遲的引入使得總相位滯后角α受延遲系數D的影響很大。接下來分析總相位滯后角α對軸扭振的影響。

利用機電模擬法，將剛度系數KS等效成電感，電機側轉動慣量JM和負載側轉動慣量JL等效成電容，阻尼系數DS等效成電阻，電機角速度ωM和負載角速度ωL等效成電壓，電機電磁轉矩TM、負載轉矩TL和軸轉矩TS等效成電流源，如圖4所示。

圖4 等效電路圖

軸扭振發(fā)生后，軸轉矩的振蕩導致電機角速度振蕩，然后通過電機電勢振蕩或轉速電流閉環(huán)系統(tǒng)的控制，造成電機電流和電磁轉矩振蕩。

將式(2)改寫為增量方程，并用jω代替s，可得到兩質量機械傳動裝置的頻率特性為

(15)

通常大型設備運行時負載轉矩基本不變或變化慢，在分析軸扭振時可認為ΔTL=0。由圖4可知，在ΔTL=0的條件下，相當于負載電流源支路開路，再用jω代替s，可得

(16)

在軸扭振發(fā)生時，兩質量機械傳動裝置處于諧振狀態(tài)，此時電機角速度增量ΔωM、電機電磁轉矩增量ΔTM和軸轉矩增量ΔTS，都是以諧振頻率進行振蕩的正弦波。由式(16)可知，ΔωM的幅值與ΔTS的幅值成比例，相位超前90°，而由式(15)可知，ΔTM的幅值與ΔTS的幅值成比例，所以ΔTM的幅值與ΔωM的幅值也成比例。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)延遲和轉速調節(jié)器本身會引入一定的相位滯后角，使ΔTM相位滯后于-ΔωM相位。

為了便于分析，這里將ΔTM進行分解，可得

(17)

把式(17)代入式(15)中，化簡可得

(18)

由式(18)可知兩質量機械傳動裝置的諧振頻率為

(19)

由式(19)可知系數λM.1使兩質量機械傳動裝置的諧振頻率fres偏離固有諧振頻率f0，有以下3種情況：

(1) 若系數λM.1>0，則fres>f0。

(2) 若系數λM.1=0，則fres=f0。

(3) 若系數λM.1<0，則fres

由式(15)和式(16)可得ΔTM、ΔωM和ΔTS間的相位圖，如圖5所示。由圖5中ΔTM.2與ΔωM相位關系可知有以下3種情況：

圖5 相位圖

(1) 當ΔTM.2與ΔωM方向相反時，ΔωM的振蕩幅度會被ΔTM.2衰減，系統(tǒng)呈現衰減振蕩。

(2) 當ΔTM.2與ΔωM方向相同時，ΔωM的振蕩幅度會被ΔTM.2增強，系統(tǒng)呈現發(fā)散振蕩。

(3) 當ΔTM.2等于零時，ΔωM的振蕩幅度不會被ΔTM.2影響，系統(tǒng)呈現等幅振蕩。

由0<α<180°可知ΔTM位于第3象限或第2象限。由圖5可得當ΔTM位于第3象限，有λM.1>0和λM.2>0。由系數λM.1>0可知fres>f0。由式(17)可知ΔTM.2的值取決于λM.2，當系數λM.2>0時，ΔTM.2與ΔωM方向相反，系統(tǒng)引入阻尼，ΔωM呈現衰減振蕩。此時α角越小，阻尼越強，對系統(tǒng)振蕩幅度衰減得越厲害。

3 仿真分析

仿真分析選用的參數如下：電機側慣量為1.03 kg·cm2；負載側慣量為0.011 kg·m2；剛度系數為349.06 N·m/rad；阻尼系數為0；負載轉矩為0，速度指令為階躍信號，在0.01 s給定300 rad/s。

由式(3)可得兩質量機械傳動裝置Bode圖，如圖6所示。其中抗諧振頻率和固有諧振頻率分別為28.4 Hz和294 Hz。通過式(4)計算出的固有諧振頻率也為294 Hz，與圖6的結果一致。

圖6 兩質量機械傳動裝置Bode圖

下面分別對延遲系數D取不同的值，得到式(8)的Bode圖，如圖7所示。

圖7 延遲Bode圖

為了便于分析延遲對軸扭振的影響，將圖7中的數據制成表，如表1所示。

表1 延遲與軸扭振的關系

從表1可知延遲的引入使得軸扭振頻率偏移固有諧振頻率的幅度很明顯。此時不可忽略延遲對軸扭振的影響。

圖8 未引入延遲仿真結果

為進一步分析延遲對軸扭振的影響，給出電機電磁轉矩、軸轉矩和電機角速度的仿真結果，如圖8和圖9所示。其中圖8為未引入延遲時的情況，圖9為引入不同的延遲系數時的情況。

圖9 引入延遲仿真結果

在轉速上升階段由于轉速調節(jié)器飽和，電機電磁轉矩為恒定值，即電機電磁轉矩增量為零，可得λM.1=0和λM.2=0，所以此時軸轉矩應以固有諧振頻率進行等幅振蕩。由圖8可知，在轉速上升階段軸轉矩的確呈現等幅振蕩，且對其進行FFT分析得到的結果為294 Hz，與理論分析一致。

圖8中轉速達到給定值時，轉速環(huán)會退飽和，電機電磁轉矩會產生波動，此時電機電磁轉矩增量不等于零，系統(tǒng)會引入阻尼，導致振蕩呈現衰減形式。圖9中轉速上升階段的退飽和因為延遲的引入而會有段滯后。

分析延遲對軸扭振的影響時，對圖9中D=2時轉速穩(wěn)定階段的軸轉矩進行FFT分析，得到的結果為312 Hz。

由圖5分析可知，ΔTM的位置可由ΔTM滯后-ΔωM的角度推得。通過計算可得，當D=0.5時，滯后角約等于75.3°；當D=2時，滯后角約等于85.7°。

當D=0.5和D=2時，ΔTM都位于圖5中的第3象限，所以有系數λM.1>0和λM.2>0。由式(19)可知，因為系數λM.1>0，所以此時軸扭振頻率比固有諧振頻率大，而由系數λM.2>0可知此時系統(tǒng)引入阻尼，對振蕩的幅值起衰減作用，振蕩呈現衰減形式。

由于D=0.5時的α角比D=2時來得小，所以在D=2時振蕩更加劇烈。結合圖9的結果可驗證上述分析。

4 結 語

本文通過兩質量機械傳動裝置的軸轉矩方程和運動方程得到系統(tǒng)結構圖和等值電路圖，進一步分析得到電機角速度增量、軸轉矩增量和電機電磁轉矩增量的相位圖，然后從電機電磁轉矩增量相對于電機角速度增量相位滯后的角度分析控制系統(tǒng)延遲對軸扭振的影響。最后利用仿真軟件MATLAB進行Bode圖分析及仿真驗證。理論分析和仿真結果表明延遲會使軸扭振的頻率產生偏移并且會對振蕩的幅值產生影響。

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InfluenceofControlSystemDelayonShaftTorsionalVibration

CHENGTianwei,WANGShuang,YANGYing

(College of Mechatronics Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

The shaft torsional vibration of control system would cause the oscillation of system control quantity, which would increase mechanical transmission gear wears, and even led to the shaft fracture. The shaft torsional vibration could usually be suppressed by using notch filter on industrial application, but the selection of notch frequency was not considering the factor of control system delay. The influence of control system delay on shaft torsional vibration was analyzed by using the phase diagram of angular velocity increment, shaft torque increment and motor torque increment. Simulation results validated the analytical conclusions.

controlsystem;shafttorsionalvibration;notchfrequency;delay

程天威(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為電力電子與電力傳動。

王 爽(1977—)，男，博士，研究方向為電力電子與電機驅動控制。

TM 301.2

A

1673-6540(2017)12- 0025- 05

2016 -12 -13