陳佩寧， 張明虎

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，河北 石家莊 050081)

直角三角形內(nèi)接最大正方形(矩形)的優(yōu)化解法

陳佩寧， 張明虎

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，河北 石家莊 050081)

通過兩種不同解法的理論推證，討論了直角三角形內(nèi)接最大正方形和最大矩形的優(yōu)化方法是以直角三角形的兩條平行直角邊的中位線為切割線.論證了直角三角形內(nèi)最大正方形面積小于最大矩形面積.

直角三角形；內(nèi)接；正方形；矩形；優(yōu)化

有關(guān)直角三角形內(nèi)接最大正方形(矩形)的問題因其具有理論和實踐意義，中學(xué)和部分高校教材都有涉及.本文試圖從理論角度對這一問題進(jìn)一步探討，并給出直角三角形內(nèi)接最大正方形(矩形)的優(yōu)化方法.

1 直角三角形內(nèi)接最大正方形解法分析

例1 在一個橫截面為直角三角形的原料上，切割一個正方形工件.已知斜邊邊長為10 cm，一個銳角θ=30°.(1)求正方形的最大邊長及面積；(2)畫出切割示意圖[1].

1.1 教材解法

教材解法示意圖見圖1.

圖1 內(nèi)接最大正方形教材解法示意圖

設(shè)正方形邊長為x1，面積為S1，則

1.2 優(yōu)化解法

優(yōu)化解法示意圖見圖2.

圖2 內(nèi)接最大正方形優(yōu)化解法示意圖

設(shè)正方形邊長為x2，面積為S2，則

1.3 優(yōu)化解法的數(shù)學(xué)依據(jù)

此兩種解法均不失一般性，問題可歸納為已知直角三角形的斜邊長度和一個銳角θ(0<θ<90°)，求這個直角三角形內(nèi)接最大正方形的邊長及面積，并作出圖形.

假設(shè)AB=c，∠A=θ，求正方形DEFG的面積.

1.3.1 教材解法思路

解法示意圖見圖1.

解： 設(shè)DG=x1， 則AD=x1cotθ，DE=x1，

EB=x1tanθ.

由AD+DE+EB=AB,

即x1cotθ+x1+x1tanθ=c，

(1)

1.3.2 優(yōu)化解法思路

解法示意圖見圖2.

設(shè)所求正方形DECF邊長為x2，AD=x2cscθ,DB=x2secθ，由AD+DB=c,得x2cscθ+x2secθ=c

(2)

(3)

由公式(1)和公式(3)，可知S2>S1.

1.4 優(yōu)化解法轉(zhuǎn)化方案分析

確定一個直角三角形，可以轉(zhuǎn)化為已知這個直角三角形的一個銳角θ和θ所在的直角邊.據(jù)此，給出下文的解法，與優(yōu)化解法做進(jìn)一步比較.

例2 已知直角三角形中，∠A=θ,AC=b，求正方形CEDF的邊長及面積S正.(見圖3)

圖3 內(nèi)接最大正方形優(yōu)化解法轉(zhuǎn)化方案示意圖

解：設(shè)FC=FD=x，則AF=FDcotθ=xcotθ

由AF+FC=b，得

(4)

2 直角三角形內(nèi)接最大正方形的優(yōu)化方案

通過上述分析計算，給出優(yōu)化方案如下：

1)測定直角三角形的一個銳角θ值，測定(或計算)這個銳角θ所在的直角邊的邊長b.

3 直角三角形內(nèi)接最大矩形分析及優(yōu)化

3.1 教材解法

教材解法示意圖見圖4.

圖4 內(nèi)接最大矩形教材解法示意圖

已知∠A=θ,AB=c，求矩形DEFG的最大面積S矩.

解：設(shè)DG=x，則AD=xcotθ，EB=xtanθ，

DE=c-x(cotθ+tanθ)

(5)

S矩=DG×DE=cx-x2(cotθ+tanθ)

(6)

3.2 優(yōu)化解法

優(yōu)化解法示意圖見圖5.

圖5 內(nèi)接最大矩形優(yōu)化解法示意圖

設(shè)DF=x，AC=a,BC=b,則AD=xcscθ,

DB=AB-AD=c-xcscθ,

DE=DB·cosθ=(c-xcscθ)cosθ=

ccosθ-xcotθ

(7)

S矩=DF×DE=ccosθ·x-x2cotθ

(8)

(9)

將(9)式代入(8)式得,

(10)

總之，兩種解法均利用了求導(dǎo)判斷，所得結(jié)果是最大矩形.兩種解法結(jié)果一致，最大矩形面積是所論直角三角形面積的一半.解法二優(yōu)于解法一的理由是結(jié)果的幾何意義清晰，便于切割加工.

在直角三角形內(nèi)割取最大矩形的優(yōu)化方法，是以直角三角形的兩條平行直角邊的中位線為切割線.

4 直角三角形內(nèi)接最大正方形與矩形面積的大小關(guān)系

由(10)式得,

(11)

由(3)式得,

(12)

所以S矩≥S正.當(dāng)tanθ=1時，即θ=45°時，S矩=S正.

通過以上討論，可以得到割取直角三角形內(nèi)接最大正方形和內(nèi)接最大矩形的優(yōu)化方法，并論證了同一直角三角形內(nèi)接最大正方形面積小于最大矩形面積.

[1] 牛銘.工科應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京:中國鐵道出版社，2016：4.

Anoptimizationmethodofthelargestsquareorrectangleinarighttriangle

CHEN Pei-ning, ZHANG Ming-hu

(Department of Information Technology, Shijiazhuang University of Applied Technology, Shijiazhuang, Hebei 050081, China)

This paper discusses the optimization of the largest square or rectangle in a right triangle by two different methods, and proves the area of the largest square is less than that of the rectangle.

right triangle; inscription; square; rectangle; optimization

2017-03-24

陳佩寧(1971-)，女，河北望都人，石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師.

1009-4873(2017)06-0078-03

O241

A

吳瑞紅