程佳欣，李宜丹

參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)的魯棒性能分析

程佳欣，李宜丹

針對(duì)參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)，結(jié)合Schur補(bǔ)引理和線性矩陣不等式研究離散系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，得到參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的性能指標(biāo)滿足的條件，并證明了該方法的合理性.

離散系統(tǒng)；魯棒穩(wěn)定；二次穩(wěn)定；二次D-穩(wěn)定；Schur補(bǔ)引理

在控制問題的實(shí)際應(yīng)用過程中，為了優(yōu)化控制效果，對(duì)于控制系統(tǒng)的要求不僅要有較好的穩(wěn)定性能，還要有較好的動(dòng)態(tài)性能，例如盡可能小地調(diào)節(jié)力度等［1-4］.通過將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在復(fù)平面上的特定區(qū)域中可以達(dá)到這些過渡過程動(dòng)態(tài)性能的要求［5-7］.為此，結(jié)合閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能來考慮，文章針對(duì)參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)，利用圓盤的特性，結(jié)合連續(xù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析，來研究離散系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析，得到參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的性能指標(biāo)滿足一定條件的具體證明過程［8-12］.

1 問題描述

考慮由以下狀態(tài)方程描述的離散系統(tǒng).

其中，x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，Δ∈Ri×j是一個(gè)反映模型參數(shù)不確定性的位置矩陣，并假定其滿足ΔTΔ≤I，A、H和E是具有適當(dāng)維數(shù)的未知矩陣，x0=x(0)是系統(tǒng)的初始條件.

其中，Q=QT＞0.

考慮復(fù)平面上中心在-α+j0，半徑為r的圓盤D(α,r)，圓盤D(α,r)總是位于系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域中.因此，對(duì)該離散系統(tǒng)有-1＜-α+r＜1.

定義1［1］對(duì)給定的圓盤D(α,r)和系統(tǒng)（1），如果存在正定矩陣P，使得對(duì)所有滿足ΔTΔ≤I的不確定矩陣Δ，滿足

則系統(tǒng)（1）稱為是二次D-穩(wěn)定的.

定義2［1］對(duì)給定的圓盤D( )α,r，系統(tǒng)（1）和性能指標(biāo)（2），如果對(duì)所有滿足ΔTΔ≤I的Δ，對(duì)稱正定P滿足則矩陣P稱為是系統(tǒng)（1）的一個(gè)二次D-性能矩陣.

以下定理揭示了二次D-性能矩陣的作用和性質(zhì).

2 主要成果

定理1 若不確定系統(tǒng)（1）存在一個(gè)二次D-性能矩陣P，則該系統(tǒng)是二次D-穩(wěn)定的.且系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足

1.6 統(tǒng)計(jì)學(xué)分析 采用SPSS 17.0統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)量數(shù)據(jù)采用表示，計(jì)數(shù)資料比較采用χ2檢驗(yàn)，計(jì)量資料采用t-檢驗(yàn)。分析各組數(shù)據(jù)與臨床妊娠率的關(guān)系，各項(xiàng)精液參數(shù)指標(biāo)采用多因素Logistics回歸分析，P<0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

反之，如果系統(tǒng)（1）是二次D-穩(wěn)定的，則系統(tǒng)必存在一個(gè)二次D-性能矩陣.

證明 假定矩陣P是系統(tǒng)（1）的一個(gè)二次D-性能矩陣，則從定義1和定義2即可得到系統(tǒng)（1）是二次D-穩(wěn)定的.根據(jù)定義2和矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，對(duì)所有允許的不確定性使得

成立.從而，對(duì)所有允許的不確定性有

成立，即

故系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的.

定義V(x)=xTPx，則沿系統(tǒng)（1）的任意軌跡對(duì)V(x)進(jìn)行差分有

因此有

對(duì)上式從k=0到k=∞求和，并利用系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性，得到

由此可以得到系統(tǒng)性能的上界（3）.

反之，若系統(tǒng)（1）是一個(gè)二次D-穩(wěn)定的，則根據(jù)定義1，存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，使得對(duì)所有允許的不確定矩陣Δ，矩陣不等式

成立.對(duì)固定的矩陣Q＞0，一定存在一個(gè)足夠大的常數(shù)ρ，使得對(duì)所有允許的不確定矩陣Δ，以下的矩陣不等式成立.

定義?=ρP，則矩陣P?是正定的，且根據(jù)定義2，該矩陣就是系統(tǒng)（1）的一個(gè)二次D-性能矩陣.假設(shè)成立.

注意（3）式給出的性能上界依賴于初始狀態(tài)x0，為避免上界對(duì)個(gè)別初始狀態(tài)的依賴，選擇用確定性方法，即假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)是未知的，但在集合中，U是一個(gè)給定的矩陣.

定理2 對(duì)給定的圓盤D( )α,r，系統(tǒng)（1）存在一個(gè)二次D-性能矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε＞0和一個(gè)對(duì)稱正定矩陣V，使得下面的線性矩陣不等式成立.

證明 根據(jù)定義2，系統(tǒng)（1）存在一個(gè)二次D-性能矩陣P，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有允許的不確定性，矩陣不等式（4）成立.容易驗(yàn)證矩陣不等式（4）等價(jià)于

該不等式可以重新寫成

不等式（6）對(duì)滿足ΔTΔ≤I的所有不確定矩陣Δ成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε＞0，使得

成立，即

對(duì)上式分別左乘和右乘矩陣

得到

記V=εP-1，應(yīng)用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，可得上式等價(jià)于矩陣不等式（5）.

從證明可以知道，如果，是線性矩陣不等式（5）的一個(gè)可行解，則P=-1是系統(tǒng)（1）的一個(gè)二次D-性能矩陣.因此，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)性能上界為

其中λmax(.)表示矩陣(.)的最大特征值.

3 結(jié)論

本文在連續(xù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，討論離散系統(tǒng)的魯棒性能分析，由系統(tǒng)的二次穩(wěn)定得出系統(tǒng)的二次D-穩(wěn)定，結(jié)合線性矩陣不等式和離散系統(tǒng)的特性，得到系統(tǒng)是二次D-穩(wěn)定的性能指標(biāo)，給出了系統(tǒng)存在一個(gè)二次D-性能矩陣條件的具體證明過程.

TP13

A

1008-7974（2018）01-0032-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2018.02.009

2017-08-30

程佳欣，女，吉林扶余人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生（吉林 長春 130000）.

［1］俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

［2］褚健，俞立，蘇宏業(yè).魯棒控制理論及應(yīng)用［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2000.

［3］俞立，王萬良，褚健.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋穩(wěn)定化控制器設(shè)計(jì)［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1998，24（2）：225-229.

［4］楊冬梅，張慶靈，姚波.廣義系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［5］俞立.線性系統(tǒng)的魯棒D穩(wěn)定性分析［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2001，27（6）：860-862.

［6］俞立.具有閉環(huán)區(qū)域極點(diǎn)約束的魯棒協(xié)方差輸出反饋控制器設(shè)計(jì)［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2002，28（5）：260-264.

［7］俞立，陳國定，楊馬英.不確定系統(tǒng)魯棒輸出反饋區(qū)域急電配置［J］.控制理論與應(yīng)用，2002，19（2）：244-246.

［8］蘇西偉.不確定廣義時(shí)滯系統(tǒng)的論鎮(zhèn)定與控制研究［D］.沈陽：東北大學(xué)，2011.

［9］葉菲.時(shí)滯奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［D］.杭州：杭州電子科技大學(xué)，2013.

［10］彭高豐.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及魯棒可靠控制［D］.長沙：湖南師范大學(xué)，2009.

［11］高金鳳.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定與鎮(zhèn)定研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2008.

［12］海泉.線性奇異系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及控制研究［D］.呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2011.

陳衍峰）