☉江蘇省南京市第一中學(xué) 李毓涵
例談離心率的基本題型及求解策略
☉江蘇省南京市第一中學(xué) 李毓涵
求橢圓與雙曲線離心率問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn),構(gòu)造不等式或等式是核心問(wèn)題,而求離心率的取值范圍是解析幾何中的一類(lèi)典型問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程中往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),方法也多種多樣.本文通過(guò)幾例,給出求解這類(lèi)問(wèn)題的幾種思維策略.
例1 已知F(-c,0),F(xiàn)(c,0)為橢圓(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且則此橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_______.
策略一(數(shù)形結(jié)合):設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由,得又因?yàn)镻在橢圓上,得聯(lián)立
策略二(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P坐標(biāo)):設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由,得.將代入橢圓方程由
策略三(三角代換):P在橢圓上,于是可設(shè)P的坐標(biāo)為(a c o s θ,b s i n θ),代入得由
策略四(運(yùn)用焦半徑):設(shè)∠F1P F2=α,由焦半徑公式得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,由余弦定理得得從而解出由
策略五(運(yùn)用均值不等式):由余弦定理得cosα=c2,代入上式得.由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a,根據(jù)均值不等式得a2≤3c2.又因?yàn)閨PF1||PF2|≤a2-c2,即c2≤a2-c2,2c2≤a2,
例2設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,如果橢圓上存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=90°,求離心率e的取值范圍.
策略一(利用曲線中x的范圍):設(shè)P(x,y),又知F(1-c,0),F(xiàn)(2c,0),則
由∠F1PF2=90°,得,即(x+c,y)·(x-c,y)=0,得x2+y2=c2.
上述解法其實(shí)是將點(diǎn)P的軌跡方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)后,利用橢圓中橫坐標(biāo)的取值范圍,建立起a、b、c的不等式,進(jìn)而求出離心率e的取值范圍.
策略二(利用二次方程根的判別式):設(shè)r2,由橢圓定義知.又知,得所以r1,r2是方程2b2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因此得e=,所以
利用橢圓定義和勾股定理,得到焦半徑r1,r2是關(guān)于方程x2-2ax+2b2=0的兩個(gè)實(shí)根后,再利用一元二次方程根的判別式,建立起a、b的不等式,是本解法的關(guān)鍵.判別式法是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常采用的方法.
策略三(利用三角函數(shù)有界性):記由正弦定理知,即
上述解法中先利用橢圓定義和正弦定理,將離心率轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式,再利用三角恒等變形和三角函數(shù)的有界性,求得離心率e的取值范圍,考查的知識(shí)點(diǎn)較為全面.
策略四(利用焦半徑公式):設(shè)y),由焦半徑公式得r1=a+ex,r2=a+ex.由勾股定理得得又P點(diǎn)在橢圓上,且x≠±a,所以
策略五(利用基本不等式):設(shè)由橢圓定義,有r1+r2=2a,而r1+r2=2a,平方后得
又∠F1PF2=90°知所以于是所以又0<e<1,所以
上述解法利用基本不等式建立起a、c的不等關(guān)系,使本題的解法變得更加簡(jiǎn)捷.基本不等式法在求圓錐曲線的取值范圍中經(jīng)常會(huì)用到,同學(xué)們要加以重視.
策略六(利用圖形的幾何特性):由∠F1PF2=90°知,點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心,|F1F2|=2c為直徑的圓上.
又點(diǎn)P在橢圓上,因此該圓與橢圓有公共點(diǎn),故有c≥b,所以c2≥b2,即c2≥a2-c2,2c2≥a2,所以
本解法巧妙借助圖形的幾何特性,利用數(shù)形結(jié)合,迅速找出了b、c的不等關(guān)系,進(jìn)而求出離心率e的取值范圍.
通過(guò)兩例常見(jiàn)解題策略的闡述,提示我們?cè)谇蠼鈭A錐曲線離心離的取值范圍時(shí),關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐曲線的定義、性質(zhì)以及圖形的幾何特征,充分挖掘題中隱含條件,建立起關(guān)于a、b、c的不等式關(guān)系,進(jìn)而求出離心離的取值范圍.
例3橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且過(guò)F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1.若|PQ|=λ|PF1|,且,試確定橢圓離心率的取值范圍.
分析:本題原解計(jì)算量很大,而且用到利用導(dǎo)數(shù)求范圍,學(xué)生很難算對(duì),下面可以通過(guò)整體換元求范圍,關(guān)鍵還是如何構(gòu)造不等式求橢圓離心率的取值范圍.
解:時(shí)單調(diào)遞減,所以,,聯(lián)立得將代入,得,解得得