☉山東省商河縣第一中學(xué) 王 剛

向量數(shù)量積在高考中的幾點(diǎn)運(yùn)用

☉山東省商河縣第一中學(xué) 王 剛

解法二：不妨設(shè)此圓的圓心為O，

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是聯(lián)系幾何與代數(shù)的重要紐帶，它作為一種數(shù)學(xué)工具有著廣泛的應(yīng)用，在高考命題中一直備受青睞.利用向量的幾何意義，屢屢成為填空或選擇的壓軸題，使得很多考生只能對平面向量問題產(chǎn)生了望洋興嘆的想法.筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勏蛄繑?shù)量積在解題教學(xué)中的應(yīng)用.

一、向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用

利用向量數(shù)量積及運(yùn)算律解決幾何問題一般分為三步：一是用向量表示幾何關(guān)系；二是進(jìn)行向量運(yùn)算；三是還原為幾何結(jié)論.

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，但不平行，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，NM的延長線與BA，CD的延長線分別于點(diǎn)P，Q，求證：∠APM=∠DQM.

圖1

證明兩角相等，可以通過兩角的某一三角函數(shù)值相等來證明，但是要注意兩角要在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間上.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，

充分利用幾何中的量化關(guān)系來解決該問題，當(dāng)然要注意兩角要在同一單調(diào)區(qū)間上才能正確求解.

二、向量數(shù)量積在最值問題中的運(yùn)用

與向量有關(guān)的最值問題常常需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，特別是二次函數(shù)與三角函數(shù)，即尋找變量，借助于向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)再利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

例2過半徑為2的圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為________.

圖2

解法一：如圖2所示，不妨設(shè)此圓的圓心為O，∠APO=θ，為此可設(shè)則求的最小值.

解法三：不妨設(shè)此圓的圓心為O，∠APO=θ，，此時(shí)令，則x＞0，即，所以

圖3

解法四：建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)∠AOP=α，則 A（2cosα，2sinα），B（2cosα，得：

三、向量數(shù)量積解決非向量題

向量作為一種解題工具，應(yīng)用極為廣泛，一直是高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的重點(diǎn)考查內(nèi)容.向量知識(shí)融數(shù)形于一體，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了更為廣闊的思維空間.

1.求代數(shù)式的最值

例3 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是_______.

解：因?yàn)閨2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）-（6-x-3y|=|3x+4y-8|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-8|=-（3x+4y）+8.構(gòu)造平面向量α=（3，4），β=（x，y），則因?yàn)棣痢う?|α·||β·|cos＜α，β＞≤|α·||β|，當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào)，所以則-（3x+4y）≥-5，即|3x+4y-8|≥3，當(dāng)且僅當(dāng)且x2+y2=1，即時(shí)，等號(hào)成立，所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3.

通過構(gòu)造向量的方法，簡化了運(yùn)算，容易理解掌握.

例5已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_______.

解：因?yàn)閨2x+y-4|+|6-x-3y|≥（|2x+y-4）-（6-x-3y|=|3x+4y-10|，x2+y2≤1，所以|3x+4y-10|=-（3x+4y）+10.構(gòu)造平面向量α=（3，4），β=（x，y），則≤1，α·β=3x+4y.因?yàn)?|α·||β|≤α·β=|α·||β·|cos〈α，β〉，當(dāng)且僅當(dāng)α與β反向時(shí)取等號(hào)，所以即|3x+4y-10|≤15，當(dāng)且僅當(dāng)＜0且x2+y2=1，即時(shí)等號(hào)成立，所以|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15.

2.利用取等號(hào)求值

例6若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=6，a2+4b2+9c2=12，則abc的值是_______.

解：構(gòu)造空間向量α=（a，2b，3c），β=（1，1，1），則|α|=因?yàn)棣痢ぎ?dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).又因?yàn)閍+2b+3c=6，所以

3.證明不等式

例7已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為a.

（1）求a的值；

（2）若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足且p+q+r=a，求證：p2+q2+r2≥3.

解 ：（1）因?yàn)椋╢x）=|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3，所以（fx）的最小值為a，故a的值是3.

（2）證明：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)p，q，r滿足p+q+r=3，構(gòu)造空間向量α=（p，q，r），β=（1，1，1），則α·β=p+q+r=3.因?yàn)棣痢う?|α·||β·|cos〈α，β〉≤|α·||β|，當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向時(shí)取等號(hào)，所以3≤%p2+q2+r2·%3，即，即p2+q2+r2≥3，當(dāng)且僅當(dāng)0，即p=q=r=1時(shí)取等號(hào).因此，命題得證.

向量的教學(xué)如果僅止于課本，則無益于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，對數(shù)學(xué)問題的解決則沒有深度和廣度.如果能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯l(fā)式教學(xué)，可培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.通過向量數(shù)量積的計(jì)算公式進(jìn)行多方面的應(yīng)用，既開闊了視野，又為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做了鋪墊，可謂一舉多得.