☉江蘇省宿遷市文昌高級(jí)中學(xué) 王少鵬

淺談絕對(duì)值函數(shù)在高考中的幾種考查

☉江蘇省宿遷市文昌高級(jí)中學(xué) 王少鵬

近幾年，含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的高考題經(jīng)常出現(xiàn)，這些試題新穎別致，靈活多變，綜合性強(qiáng)，難度大，得分很低.筆者以絕對(duì)值函數(shù)常考的幾種題型來(lái)談?wù)劥祟悊?wèn)題的解法.

考查一——兩個(gè)絕對(duì)值相加的函數(shù)最值的求法

例1求函數(shù)f（x）=|ax-b|+|cx-d|（a＞0，c＞0）的最小值.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

小結(jié)：由（1），（2），（3）可知：

也就是說(shuō)，當(dāng)正數(shù)a和c不相等時(shí)，求f（x）min，只需比較正數(shù)a和c的大小，哪個(gè)大，最小值點(diǎn)就為其所屬絕對(duì)值里面函數(shù)的零點(diǎn).

考查二——多個(gè)絕對(duì)值相加的函數(shù)最值求法

我們熟悉函數(shù)（fx）=|x-a|+|x-b（|a＜b）的性質(zhì)，其解法可以用函數(shù)性質(zhì)解答，也可以用絕對(duì)值求解.事實(shí)上，我們很容易想到：若是n個(gè)絕對(duì)值相加會(huì)是什么情況呢？這類問(wèn)題其實(shí)有章可循，可以利用圖像特征求解最小值.進(jìn)一步，再思考：當(dāng)x的系數(shù)不全為1時(shí)，其最值又如何求解？下面就借助函數(shù)（fx）=作進(jìn)一步的探討.

例2若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：不等式可化為|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立.

又函數(shù)y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值為f（1）=3，于是只需3＞2m，得

例3求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相應(yīng)x的值.

解析

考查三——含有一個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)最值的求法

學(xué)生對(duì)含參帶絕對(duì)值的函數(shù)的題型都有畏懼心理，這種題型綜合性強(qiáng)，學(xué)生對(duì)其分類討論的思想辨別不清，對(duì)其所需要的分類討論能力還不夠.這類問(wèn)題，可以充分利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|，其中等號(hào)成立的條件滿足

筆者通過(guò)自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勥@類題型的解法.

（1）略；

（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈［0，4］使得不等式（fx0）≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：本題出現(xiàn)，本質(zhì)上還是二次函數(shù)，我們只需換元：令則（fx）=h（t）=|at2-t+b|.

（3）原題等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)t0∈［0，2］使得不等式h（t0）≥m成立.先讓a，b固定，記M（a，b）是h（t）在［0，2］上的最大值，于是只需M（a，b）≥m，?a，b∈R，而這又等價(jià)于當(dāng)a，b變化時(shí)，M（a，b）min≥m.由（2）可知，，接下來(lái)，我們來(lái)求M（a，b）min.

本題解法沒(méi)有完全從函數(shù)角度討論，而是結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)解決.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為一線教師，應(yīng)多研究解題，多角度考慮，開(kāi)闊學(xué)生視野，發(fā)散學(xué)生思維，優(yōu)化學(xué)生解題方法.長(zhǎng)期以往，我們就能收到意想不到的效果.