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        淺談絕對值函數(shù)在高考中的幾種考查

        2018-01-05 09:57:39江蘇省宿遷市文昌高級中學王少鵬
        中學數(shù)學雜志 2017年23期
        關鍵詞:實數(shù)最值本題

        ☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

        淺談絕對值函數(shù)在高考中的幾種考查

        ☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

        近幾年,含有絕對值不等式問題的高考題經(jīng)常出現(xiàn),這些試題新穎別致,靈活多變,綜合性強,難度大,得分很低.筆者以絕對值函數(shù)??嫉膸追N題型來談談此類問題的解法.

        考查一——兩個絕對值相加的函數(shù)最值的求法

        例1求函數(shù)f(x)=|ax-b|+|cx-d|(a>0,c>0)的最小值.

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        小結:由(1),(2),(3)可知:

        也就是說,當正數(shù)a和c不相等時,求f(x)min,只需比較正數(shù)a和c的大小,哪個大,最小值點就為其所屬絕對值里面函數(shù)的零點.

        考查二——多個絕對值相加的函數(shù)最值求法

        我們熟悉函數(shù)(fx)=|x-a|+|x-b(|a<b)的性質,其解法可以用函數(shù)性質解答,也可以用絕對值求解.事實上,我們很容易想到:若是n個絕對值相加會是什么情況呢?這類問題其實有章可循,可以利用圖像特征求解最小值.進一步,再思考:當x的系數(shù)不全為1時,其最值又如何求解?下面就借助函數(shù)(fx)=作進一步的探討.

        例2若不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

        解析:不等式可化為|2x|+|x-2|+|2(x-1)|>2m,即|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|>2m恒成立.

        又函數(shù)y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值為f(1)=3,于是只需3>2m,得

        例3求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值,并求相應x的值.

        解析

        考查三——含有一個絕對值的函數(shù)最值的求法

        學生對含參帶絕對值的函數(shù)的題型都有畏懼心理,這種題型綜合性強,學生對其分類討論的思想辨別不清,對其所需要的分類討論能力還不夠.這類問題,可以充分利用絕對值不等式的性質:||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|,其中等號成立的條件滿足

        筆者通過自己的教學實踐,談談這類題型的解法.

        (1)略;

        (3)若對任意實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4]使得不等式(fx0)≥m成立,求實數(shù)m的取值范圍.

        解析:本題出現(xiàn),本質上還是二次函數(shù),我們只需換元:令則(fx)=h(t)=|at2-t+b|.

        (3)原題等價于對任意實數(shù)a,b,總存在實數(shù)t0∈[0,2]使得不等式h(t0)≥m成立.先讓a,b固定,記M(a,b)是h(t)在[0,2]上的最大值,于是只需M(a,b)≥m,?a,b∈R,而這又等價于當a,b變化時,M(a,b)min≥m.由(2)可知,,接下來,我們來求M(a,b)min.

        本題解法沒有完全從函數(shù)角度討論,而是結合絕對值不等式的性質解決.

        美國著名數(shù)學教育家波利亞曾說:“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.”在高中數(shù)學教學中,作為一線教師,應多研究解題,多角度考慮,開闊學生視野,發(fā)散學生思維,優(yōu)化學生解題方法.長期以往,我們就能收到意想不到的效果.

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