李軍亮，滕克難，夏菲

1.海軍航空工程學(xué)院 科研部，煙臺(tái) 264001 2.中國(guó)人民解放軍92635部隊(duì)，青島 266041 3.國(guó)網(wǎng)遼陽(yáng)供電公司信息通信分公司，遼陽(yáng) 111000

一種復(fù)雜可修系統(tǒng)的可用度計(jì)算方法

李軍亮1, 2,*，滕克難1，夏菲3

1.海軍航空工程學(xué)院 科研部，煙臺(tái) 264001 2.中國(guó)人民解放軍92635部隊(duì)，青島 266041 3.國(guó)網(wǎng)遼陽(yáng)供電公司信息通信分公司，遼陽(yáng) 111000

論文采用分-立的思想構(gòu)建了一種復(fù)雜可修系統(tǒng)的可用度計(jì)算方法，即采用先分解后綜合的方法來(lái)構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型。分解主要是指分析系統(tǒng)包含的子系統(tǒng)和部件之間的故障行為特性，包括部件故障時(shí)間分布函數(shù)、故障傳播路徑、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容，采用通用發(fā)生函數(shù)(UGF)建立了多部件系統(tǒng)的0-1狀態(tài)可靠性評(píng)估模型，并對(duì)系統(tǒng)的可靠度進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上將系統(tǒng)看作一個(gè)整體，通過(guò)更新過(guò)程理論建立故障時(shí)間和維修時(shí)間服從一般分布的系統(tǒng)可用度方程，給出并證明了系統(tǒng)可用度求解的一般方法。通過(guò)算例分析表明，論文設(shè)計(jì)方法嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，具有較強(qiáng)的可用性和通用性，在可靠性工程領(lǐng)域有很強(qiáng)的推廣價(jià)值。

可修系統(tǒng)；可靠性；可用性；通用發(fā)生函數(shù)；拉氏變換

軍用飛機(jī)是一種復(fù)雜的可修系統(tǒng)，計(jì)算其可用性時(shí)，既要準(zhǔn)確分析飛機(jī)的可靠性，又要分析保障系統(tǒng)的維修性。目前常用的可用度建模方法有：隨機(jī)過(guò)程理論、計(jì)算機(jī)仿真、通用發(fā)生函數(shù)(Universal Generating Function，UGF)以及三者之間的綜合方法[1-22]。隨機(jī)過(guò)程理論主要通過(guò)建立系統(tǒng)的馬爾科夫方程、更新方程等方法來(lái)構(gòu)建精確的系統(tǒng)可用度模型[4-5]，但是難以用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)可用性評(píng)估；計(jì)算機(jī)仿真方法主要有蒙特卡洛仿真[6-7]、離散事件調(diào)度[8-9]等，該類(lèi)方法主要通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件對(duì)部件和系統(tǒng)故障行為的多次模擬來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可用度評(píng)估，可以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)涮匦裕菦](méi)有精確的數(shù)學(xué)模型，而且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大算法運(yùn)行時(shí)間增長(zhǎng)；UGF是拉氏變換和母函數(shù)理論在可靠性領(lǐng)域的推廣，在計(jì)算多狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性和可用度方面有較好的應(yīng)用[11-21]，該方法既可以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)涮匦?，又可以在?jì)算過(guò)程中通過(guò)對(duì)邏輯算子的同類(lèi)項(xiàng)合并等操作提高運(yùn)算效率，易于編程實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)的UGF在可用度的度量中主要通過(guò)算子δ(u(z),w)來(lái)實(shí)現(xiàn)，u(z)為系統(tǒng)實(shí)際性能狀態(tài)，w為系統(tǒng)要求達(dá)到的性能閾值，比如“最小速度”或者“最小流量”等[11-14]，未考慮系統(tǒng)的維修特性；在計(jì)算系統(tǒng)可靠性時(shí)沒(méi)有考慮系統(tǒng)的故障傳播特性。文獻(xiàn)[20]研究了部件維修策略對(duì)系統(tǒng)可用度的影響；文獻(xiàn)[21]研究了工作共享組內(nèi)部存在故障傳播和覆蓋時(shí)，不同結(jié)構(gòu)形式對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響。論文基于分立思想，采用UGF構(gòu)建考慮故障傳播特性的系統(tǒng)可靠性模型，確定系統(tǒng)故障時(shí)間分布函數(shù)及特征參數(shù)，然后確定系統(tǒng)的維修時(shí)間分布函數(shù)及特征參數(shù)，采用更新過(guò)程理論建立系統(tǒng)可用度方程，并且通過(guò)拉氏變換和逆變換對(duì)系統(tǒng)的可用度求解，進(jìn)而準(zhǔn)確分析系統(tǒng)的可用度。

1 基本假設(shè)和研究思路

1.1 基本假設(shè)

軍用飛機(jī)是一種復(fù)雜的可修系統(tǒng)，其自身由多個(gè)子系統(tǒng)和部件組成，子系統(tǒng)和部件的失效存在相互影響。在計(jì)算其可靠性時(shí)，需要考慮部件、子系統(tǒng)、系統(tǒng)三者內(nèi)部和之間的故障行為。

在研究過(guò)程中進(jìn)行以下假設(shè)：① 發(fā)現(xiàn)故障則立即修理，不存在維修延時(shí)；② 系統(tǒng)或者部件維修時(shí)，采用完全維修策略，即修復(fù)如新[23]。

1.2 研究思路

基于以上假設(shè)，論文采用分-立的思想構(gòu)建復(fù)雜可修系統(tǒng)的可用度計(jì)算方法，即采用先分解后綜合的方法來(lái)構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型。第2節(jié)采用UGF構(gòu)建系統(tǒng)的可靠性評(píng)估模型，第3節(jié)采用更新過(guò)程理論構(gòu)建系統(tǒng)的可用度模型，第4節(jié)完整地描述系統(tǒng)可用度計(jì)算的通用方法步驟，第5節(jié)通過(guò)案例分析來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性和正確性。

2 系統(tǒng)可靠性評(píng)估模型

2.1 UGF理論簡(jiǎn)介

UGF是現(xiàn)代離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要方法，它能以某種統(tǒng)一的程序方式處理求數(shù)列的表達(dá)式、求遞推關(guān)系、求數(shù)列均值和方差等問(wèn)題。Gregory和Anatoly等在可靠性理論應(yīng)用和發(fā)展了該方法，使之成為多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析和建模的新工具[11-15]。

記單部件的離散狀態(tài)變量為x，具有K種可能的狀態(tài)，不同的狀態(tài)記為xk,對(duì)應(yīng)的概率記為qk,則部件的u函數(shù)[12]為

(1)

對(duì)于多部件系統(tǒng)，第j個(gè)部件的u函數(shù)可表示為

(2)

式中:xjk為部件的性能狀態(tài);qjk為對(duì)應(yīng)的概率。

部件之間的u函數(shù)可通過(guò)結(jié)構(gòu)算子計(jì)算，不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)算子定義如式(3)和式(4)[12]，兩部件并聯(lián)系統(tǒng)為

(3)

兩部件串聯(lián)系統(tǒng)為

(4)

系統(tǒng)的u函數(shù)，通過(guò)部件和子系統(tǒng)的u函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算得到，但傳統(tǒng)的基于UGF的系統(tǒng)可靠性建模方法并未考慮系統(tǒng)的故障傳播特性，基于此本文考慮存在故障傳播的結(jié)構(gòu)算子的設(shè)計(jì)。

2.2 部件之間存在故障傳播時(shí)的u算子

(5)

式中：Mmax為部件i最大狀態(tài)數(shù)量。

(6)

當(dāng)Gj=gjc時(shí)部件的概率為

(7)

(8)

(9)

那么部件i和部件j的u函數(shù)可表示為

(10)

(11)

2.3 部件對(duì)部件組存在故障傳播時(shí)的u算子定義

(12)

(13)

式中：

pnc1pjh1,pnc2pjh2,…,pncMpjhM。

2.4 系統(tǒng)可靠性評(píng)估

系統(tǒng)的u(z)可以通過(guò)子系統(tǒng)和部件的復(fù)合運(yùn)算得到，并且利用u(z)函數(shù)的特性，對(duì)u(z)在z=1處求一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)，可求得系統(tǒng)的可靠性u(píng)函數(shù)G(t)的數(shù)學(xué)期望和方差[18-19]分別為

(14)

σ2(G(t))=u″+u′-(u′)2

(15)

即可得到系統(tǒng)的平均可靠度和方差。

3 基于更新過(guò)程的系統(tǒng)可用度模型

假設(shè)系統(tǒng)故障時(shí)間X服從一般概率分布F(t)，修理時(shí)間Y服從一般概率分布M(t)，系統(tǒng)在修復(fù)后，其工作壽命服從分布如新部件一樣，并且X和Y相互獨(dú)立，令Zα=Xα+Yα為第α個(gè)周期內(nèi)的裝備壽命和更新時(shí)間(α=1,2,…)，則Zα,α=1,2,…是一個(gè)服從獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，可構(gòu)成一個(gè)更新過(guò)程，根據(jù)文獻(xiàn)[24]可得系統(tǒng)的可用度方程為

A(t)=1-F(t)+Q(t)×A(t)

(16)

式中：Q(t)=P(X+Y≤t)，對(duì)式(16)進(jìn)行Laplace變換可得

(17)

對(duì)于式(16)，只需確定系統(tǒng)的故障時(shí)間分布函數(shù)F(t)和修理時(shí)間分布函數(shù)M(t)，從而求得F(s)和M(s)，再對(duì)式(17)進(jìn)行反Laplace變換即可得到系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度方程A(t)為

A(t)=Lz-1A(s)

(18)

為了說(shuō)明系統(tǒng)可用度函數(shù)A(t)存在，需證明2個(gè)問(wèn)題，即A(t)的Laplace變換和逆變換的存在。

3.1 A(t)的Laplace變換存在

證明：假設(shè)裝備的周期為T(mén)，Tα為第α個(gè)檢查周期，則滿(mǎn)足:

(19)

且假設(shè)在同一周期內(nèi)至多有一次修理過(guò)程。則在周期Tα內(nèi)，系統(tǒng)的可用度函數(shù)可分為以下4種情況討論：

1) 當(dāng)Xα≥Tα?xí)r

A(t)=R(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(20)

2) 當(dāng)Yα≥Tα?xí)r

A(t)=M(t)Tα-1≤t≤Tα+1

(21)

3) 當(dāng)Xα+Yα≤Tα?xí)r

(22)

4) 當(dāng)Xα+Yα>Tα?xí)r

(23)

式中：R(t)為可靠性函數(shù)。

由于F(t)和修理時(shí)間分布函數(shù)M(t)均為連續(xù)函數(shù)1)，則在以上4種情況下，則A(t)滿(mǎn)足在周期Tα內(nèi)分段連續(xù)，另外Tα滿(mǎn)足式(21)時(shí)可任意劃分，所以A(t)滿(mǎn)足在t≥0的任一區(qū)間上分段連續(xù)。

由可用度定義可知A(t)≤1，當(dāng)t→+∞時(shí)，存在正常數(shù)M>1，使得A(t)≤M，存在c≥0，使得A(t)≤M≤Mec t,0≤t≤+∞。

根據(jù)以上分析可知，滿(mǎn)足Laplace變換存在附錄中定理②，所以A(s)存在。

3.2 A(t)的逆Laplace變換存在

根據(jù)3.1節(jié)的證明，顯而易見(jiàn)A(t)滿(mǎn)足Dirichlet條件。

證明：

因?yàn)?/p>

符合Laplace逆變化存在附錄中定理③，故A(t)的逆Laplace也存在。

4 復(fù)雜可修系統(tǒng)可用度計(jì)算方法

根據(jù)第2節(jié)和第3節(jié)的分析，設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)可用度的計(jì)算方法如圖1所示，圖中，λi為部件故障率，λs為系統(tǒng)故障率，其基本步驟設(shè)計(jì)如下：

步驟1根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)繪制其可靠性框圖。

步驟2分析部件、子系統(tǒng)和系統(tǒng)故障行為，分析部件失效對(duì)其他部件、子系統(tǒng)和系統(tǒng)的影響。

步驟3構(gòu)建每個(gè)部件的uj(z)函數(shù)。

步驟4根據(jù)步驟2和3構(gòu)建系統(tǒng)的us(z)函數(shù)。

步驟5求解系統(tǒng)的可靠度，計(jì)算系統(tǒng)的平均可靠度。

步驟6基于更新過(guò)程理論構(gòu)建系統(tǒng)的可用度方程A(t)。

步驟7確定系統(tǒng)的故障時(shí)間和維修時(shí)間分布函數(shù)，采用拉氏變換和逆變換求解系統(tǒng)可用度函數(shù)A(t)。

步驟8分析計(jì)算結(jié)果，分析系統(tǒng)的可用度。

圖1 本文方法的基本流程
Fig.1 Flow chart for proposed method

5 算例分析

假設(shè)某型飛機(jī)的某子系統(tǒng)由5個(gè)子部件組成，2個(gè)泵設(shè)備(部件1、2)以及3個(gè)反應(yīng)器(部件3、4、5)，部件1、2并聯(lián)，并與部件3、4、5組成的并聯(lián)子系統(tǒng)串聯(lián)，系統(tǒng)可靠性框圖如圖2所示。第1個(gè)泵設(shè)備(部件1)失效會(huì)引起部件3失效，第2個(gè)泵設(shè)備(部件2)失效引起部件3、4失效。因此，部件1、2存在選擇性失效傳播。

圖2中，虛線箭頭的指向?yàn)橄到y(tǒng)部件之間的失效傳播關(guān)系。各個(gè)部件的失效概率，根據(jù)部件在使用過(guò)程中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出，具體如表1所示。

根據(jù)表1計(jì)算部件和系統(tǒng)的u函數(shù)，假設(shè)部件的狀態(tài)向量為xk，表達(dá)式為

(24)

則部件的為

(0.12+0.08)z0+(1-0.12-0.08)z1=

0.2z0+0.8z1

同理，可得

u2(z)=0.2z0+0.8z1

圖2 系統(tǒng)可靠性框圖
Fig.2 Block diagram of system reliability

Com?ponentIndependentfailureprob?abilityProbabilityoffailureforcommoncausefailureConditionalprobabilityoffailureforuncommoncauseSelectivefailureprop?agationset10．120．080．87320．120．080．873、430．200．840．200．850．100．96001

(p30+p3010×p10+p3020×p20)z0+

[1-(p30+p3010×p10+p3020×p20)]z1=

(0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×0.2)z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08+0.12+0.08)×

0.2]}z1=0.28z0+0.72z1

(p40+p4020×p20)z0+

[1-(p40+p4020×p20)]z1=

[0.2+(0.12+0.08)×0.2]z0+

{1-[0.2+(0.12+0.08)×0.2]}z1=

0.24z0+0.76z1

u5(z)=0.1z0+0.9z1

系統(tǒng)u函數(shù)的求解：

0.04z0+0.32z1+0.64z2

0.067 2z0+0.385 6z1+0.547 2z2

0.060 48z0+0.099 04z1+0.402 12z2+

0.494 28z3

0.100 2z0+0.381 3z1+0.573 6z2

根據(jù)據(jù)u函數(shù)的特性，利用式(14)可得

計(jì)算結(jié)果表明系統(tǒng)的平均可靠度大于1，是由于系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)為雙余度結(jié)構(gòu)。在此添加虛擬部件6，其故障行為參數(shù)如表1第7行所示，其u函數(shù)為

u10=0×z0+1×z1

則系統(tǒng)的u函數(shù)為

[(0.100 2+0.381 3+0.573 6)×0+

0.100 2×1]z0+(0.381 3+0.573 6)×1z1根據(jù)u函數(shù)的特性

將本文計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[10]中的2種方法對(duì)比，其結(jié)果如表2所示。

本文設(shè)計(jì)算法計(jì)算結(jié)果介于方法1和2之間，和方法1的差值為0.008，和方法2的差值為0.005 9，平均誤差為0.006 95，小于0.7%，說(shuō)明論文建立的可靠性評(píng)估模型的正確性。

論文假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)為0-1狀態(tài)，其狀態(tài)變量為離散變量，與狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的概率分布也是離散型的；為了構(gòu)建系統(tǒng)可用度方程，在評(píng)估系統(tǒng)可靠性特征參數(shù)的基礎(chǔ)上，假設(shè)系統(tǒng)故障時(shí)間函數(shù)為某種已知的連續(xù)性分布形式。

文獻(xiàn)[26-27]研究發(fā)現(xiàn)軍用飛機(jī)在分隊(duì)級(jí)保障過(guò)程中，子系統(tǒng)或者部件的故障時(shí)間和維修時(shí)間均服從指數(shù)分布。同樣，徐宗昌對(duì)不同類(lèi)型的系統(tǒng)維修時(shí)間分布類(lèi)型進(jìn)行了總結(jié)[2]，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)短時(shí)間調(diào)整或者迅速換件的系統(tǒng)維修時(shí)間適用于指數(shù)分布。

在此，假設(shè)系統(tǒng)的故障時(shí)間服從指數(shù)分布，則系統(tǒng)的平均故障率為

λs=1-E(G(t))=0.045 1

(25)

故障時(shí)間分布函數(shù)F(t)=1-exp(-λt)，其可靠性如圖3所示。

同樣，假設(shè)系統(tǒng)維修時(shí)間函數(shù)服從指數(shù)分布，分布參數(shù)為μ時(shí)，其維修時(shí)間分布函數(shù)為M(t)=1-exp(-μt)。采用論文第4節(jié)設(shè)計(jì)方法可得系

表2 由3種不同方法計(jì)算的可靠性比較Table 2 Comparisons of reliability for three methods

圖3 系統(tǒng)的可靠度函數(shù)
Fig.3 Reliability function for system

統(tǒng)的可用度方程為

當(dāng)維修時(shí)間分布參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)的如圖4所示。

隨著μ的增加，系統(tǒng)的可用度提高，系統(tǒng)的初始時(shí)刻系統(tǒng)可用度最高，當(dāng)系統(tǒng)在運(yùn)行一段時(shí)間后，達(dá)到穩(wěn)態(tài)可用度。

圖4 維修率不同時(shí)的系統(tǒng)瞬時(shí)可用度
Fig.4System instantaneous availability with different value of μ

6 結(jié) 論

1) 基于UGF對(duì)0-1狀態(tài)的多部件和存在失效傳播的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了評(píng)估，并與兩種不同的方法相比，平均誤差小于0.7%，驗(yàn)證了該方法的有效性，改進(jìn)并拓展了u函數(shù)理論在可靠性領(lǐng)域的應(yīng)用；研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)采用u函數(shù)理論計(jì)算系統(tǒng)可靠性問(wèn)題時(shí)，可以充分考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫院凸收蟼鞑ヌ匦?，評(píng)估系統(tǒng)的平均可靠度評(píng)估時(shí)，如果系統(tǒng)為多余度系統(tǒng)，則需要添加虛部件，對(duì)系統(tǒng)的u函數(shù)進(jìn)行降冪處理。

2) 論文設(shè)計(jì)了一種求解復(fù)雜可修系統(tǒng)可用度的通用方法，并在理論上證明了該方法的正確性。

3) 在研究過(guò)程中仍然存在以下不足：一般可修系統(tǒng)處于運(yùn)行、修理、等待的過(guò)程，論文未考慮有修理延遲的過(guò)程; 對(duì)待系統(tǒng)故障時(shí)間和修理時(shí)間的函數(shù)構(gòu)造方法需進(jìn)一步加強(qiáng)分析，而不僅限于常見(jiàn)的幾種分布形式。

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Anavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystems

LIJunliang1, 2,*,TENGKe’nan1,XIAFei3

1.NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China2.92635PLAForce,Qingdao266041,China3.StateGridLiaoyangElectricPowerSupplyCompany,Liaoyang111000,China

Inthispaper,anavailabilitycalculationmodelispresentedforthecomplexrepairablesystem.Themethodoffirstdecompositionbeforeintegrationisadoptedtobuildthemodelforthesystemavailability.Decompositionmainlyreferstoanalysisofthefailurebehaviorsbetweensubsystemsandcomponentsofthesystem,includingdistributionfunctionforpartsfaulttime,faultpropagationpath,systemstructure.TheUniversalGeneratingFunction(UGF)methodisusedtodevelopareliabilityassessmentmodelforthe0-1binarystatemulti-componentssystem,andthereliabilityofthesystemisanalyzed.Thegeneralsystemisthenviewedasawhole,andthesystemavailabilitymodelisbuiltbasedontherenewalprocesstheorywhenthesystemfaultandrepairtimeobeysgeneraldistribution,andageneralmethodispresentedtosolvesystemavailabilitymodel.Acasestudyispresentedtoillustratethatthedesignmethodisrigorousandscientific,andhasstrongusabilityandversatilityandthusverystrongapplicabilityinthefieldofreliabilityengineering.

repairablesystem;reliability;availability;universalgeneratingfunction;Laplacetransform

2017-02-07；

2017-03-09；

2017-04-17；Publishedonline2017-05-031644

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

NationalDefencePre-researchFoundation(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.221169

2017-02-07；退修日期2017-03-09；錄用日期2017-04-17；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間2017-05-031644

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171214.html

國(guó)防預(yù)研基金(9140A27020212JB14311)

.E-mailNavy_air523@126.com

李軍亮，滕克難，夏菲.一種復(fù)雜可修系統(tǒng)的可用度計(jì)算方法J. 航空學(xué)報(bào)，2017,38(12)：221169.LIJL,TENGKN,XIAF.AnavailabilitycalculationmethodforcomplexrepairablesystemsJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):221169.

V37;TP391.9

A

1000-6893(2017)12-221169-09

張晗)

附錄

① 假設(shè)F(t)和G(t)修理時(shí)間分布函數(shù)服從某種已知的分布形式，如指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布。

② 拉氏變換存在定理

當(dāng)f(t)滿(mǎn)足以下2個(gè)條件：

1.在t≥0的任一區(qū)間上分段連續(xù)。

2.當(dāng)t→+∞時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M>0及c≥0，使得

f(t)≤Mect,0≤t≤+∞,則f(t)的拉氏變換存在。

③ Laplace逆變換存在定理

拉氏逆變換的存在，滿(mǎn)足Fourier積分定理(-∞,+∞)上滿(mǎn)足：

1.f(t)在任一區(qū)間滿(mǎn)足Dirichlet條件。

則存在Laplace逆變換。