郭致遠(yuǎn)，姚曉先，張鑫

北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

基于周期平均的固定舵雙旋火箭彈控制方法

郭致遠(yuǎn)，姚曉先*，張鑫

北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

對一類具有固定舵偏角的雙旋彈，基于周期平均的思想推導(dǎo)了平均控制力幅值與執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)旋轉(zhuǎn)軌跡的關(guān)系，并據(jù)此提出一種使周期平均控制力幅值和方向可調(diào)的方案，分析了該方案對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的性能要求。以雙旋火箭彈為模型，通過七自由度(DOF)彈道仿真，對雙旋火箭彈在該方案下的側(cè)向修正能力、高度控制效果和落點控制效果分別進(jìn)行了分析以驗證該方案的可行性。結(jié)果表明:相比于在飛行過程中若干次使舵面停于所需方位的傳統(tǒng)控制方式，基于周期平均的控制策略可以使平均控制力幅值和方向連續(xù)變化，實現(xiàn)固定舵雙旋彈制導(dǎo)與控制。

周期平均；雙旋；固定舵；火箭彈；制導(dǎo)與控制

現(xiàn)代戰(zhàn)爭對制導(dǎo)彈藥的大量需求，促進(jìn)了常規(guī)彈藥簡易制導(dǎo)化技術(shù)的發(fā)展。常見的改造方式是將彈箭原有引信替換為帶有執(zhí)行機(jī)構(gòu)的制導(dǎo)組件[1-2]。雙旋彈作為其中的一種，可以實現(xiàn)將鴨舵部分與彈體旋轉(zhuǎn)隔離，降低了控制系統(tǒng)的設(shè)計成本。

國內(nèi)外對于鴨式布局雙旋彈的研究比較多。Costello和Peterson[3]采用線性化理論研究了雙旋彈的穩(wěn)定性問題，并定義了類似于傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)彈的陀螺穩(wěn)定因子和動態(tài)穩(wěn)定因子的表達(dá)式。Wernert等對雙旋彈進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究[4-11]，在Murhpy的角運動方程[12]中引入了鴨舵的影響，修正了Costello和Peterson所推導(dǎo)的穩(wěn)定因子的表達(dá)式。Zhu等[13]在此基礎(chǔ)上，給出了配平攻角需要滿足的穩(wěn)定邊界條件。Theodoulis等[8]在雙旋彈七自由度動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，基于魯棒控制策略分別設(shè)計了滾轉(zhuǎn)控制器和俯仰/偏航自動駕駛儀。王鈺等[14]研究了雙旋彈在側(cè)向控制力作用下彈丸的落點規(guī)律。李偉和王志剛[15]研究了雙旋火箭彈的動力學(xué)特性以及其穩(wěn)定性條件。張冬旭[16]研究了雙旋彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)工作在電動機(jī)和發(fā)電機(jī)兩種模式的優(yōu)點和局限性，并基于分時分段控制思想設(shè)計了執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的控制器。許諾等[17]建立了固定舵雙旋彈的角運動模型，基于非齊次角運動方程對固定舵雙旋彈的角運動特性和飛行穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

然而，對于這種修正組件，常規(guī)修正方法不能提供幅值可調(diào)的控制力。目前這類修正組件多通過固定舵部分懸停于空間某一方位，來提供所需控制力或力矩，實現(xiàn)彈道的修正。而傳統(tǒng)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計需要執(zhí)行機(jī)構(gòu)可以提供大小可調(diào)的控制力，目前對于如何使具有固定舵的執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供幅值連續(xù)控制力的研究并不多。文獻(xiàn)[18]基于周期平均的思想提出了平均控制力大小可以調(diào)節(jié)的控制方法，但是并沒有考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的變速過程。本文在前人的基礎(chǔ)上，通過規(guī)劃執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的運行軌跡，提出使周期平均控制力幅值可調(diào)的方案，并且基于122 mm火箭彈進(jìn)行了仿真分析以驗證其可行性。

1 雙旋火箭彈角運動分析

相比于常規(guī)鴨式布局的雙旋彈，固定舵雙旋彈的執(zhí)行機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)更加簡單。這種執(zhí)行機(jī)構(gòu)包括與彈體固聯(lián)的部分和鴨舵部分，鴨舵部分帶有固定舵偏角的舵片，可以相對彈體自由旋轉(zhuǎn)。為了便于說明，本文使用前體(Forward Body)指代有固定舵偏角的鴨舵部分，用后體(Aft Body)指代與彈體固聯(lián)部分，如圖1所示。具有固定舵的雙旋彈的雙旋通過外轉(zhuǎn)子無刷電機(jī)方式來實現(xiàn)，電機(jī)可以工作在發(fā)電機(jī)模式或者電動機(jī)模式[16],本文以電機(jī)工作在電動機(jī)的模式來進(jìn)行分析說明。

為了便于說明，引入以下參數(shù)[19]

(1)

式中：ρ為大氣密度；S為特征面積；m為彈體質(zhì)量；d為彈體直徑；l為彈特征長度；Iy為彈法向轉(zhuǎn)動慣量；CD為彈體阻力系數(shù)；CL為彈體升力系

本文以雙旋火箭彈作為研究對象，固定舵雙旋彈以W=VΔ為變量的角運動方程[17,19]為

W″+H-iPW′-M+iPTW=E

(2)

式中：

圖1 雙旋彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖
Fig.1Schematic diagram of actuator of dual-spin rocket

火箭彈屬于低旋尾翼彈，具有靜穩(wěn)定性，定義雙旋彈的陀螺穩(wěn)定因子Sg與動態(tài)穩(wěn)定因子Sd分別為

(3)

雙旋火箭彈的動態(tài)穩(wěn)定性條件可以表示為

(4)

從式(4)可以推導(dǎo)出雙旋火箭彈對前體最大轉(zhuǎn)速的限制條件。

2 基于周期平均的控制方案

文獻(xiàn)[18]基于周期平均的概念提出了一種彈道修正組件以不同轉(zhuǎn)速、不同振幅旋轉(zhuǎn)以產(chǎn)生大小可控平均法向力的彈道修正方法，然而其方案并未考慮到電機(jī)的變速過程。為此，本文對其方案進(jìn)行了改進(jìn)。

本文作如下假設(shè)以便于簡化分析過程：

2) 彈道修正組件每一時刻產(chǎn)生的合法向力可近似等于彈道修正組件固定在該位置時的合法向力FC。

3) 執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制頻率遠(yuǎn)高于彈體頻率，可以采用周期平均的研究方法。

4) 執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)可以控制前體相對慣性空間實現(xiàn)本節(jié)方案所規(guī)劃的勻變速旋轉(zhuǎn)運動，旋轉(zhuǎn)位置指令與響應(yīng)之間僅存在滯后，忽略幅值衰減。

圖2 前體軌跡示意圖
Fig.2 Schematic diagram of trajectory of forward body

在假設(shè)的條件下，按照半周期的情形分析。以位置A作為初始位置，開始旋轉(zhuǎn)的時刻作為初始時刻，當(dāng)控制力偏轉(zhuǎn)到某一位置M處，假設(shè)轉(zhuǎn)到M處所用的時間為t，轉(zhuǎn)過的角度可以表示為

(5)

根據(jù)式(5)的終端條件，可以求得加速度大小為

(6)

(7)

(8)

用Cx、Sx來表示菲涅爾(Fresnel)函數(shù)，其定義為

(9)

將式(7)和式(8)化簡得到

(10)

(11)

通過數(shù)值計算，可以證明式(11)在0,2π內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)。為了實現(xiàn)周期平均控制力幅值在0,1上的連續(xù)變化，可以求解如式(12)所列的不等式組,

(12)

數(shù)值求解式(12)可以得到φδ∈1.68,2π。根據(jù)式(6)，可以得到前體的加速度與控制角大小呈負(fù)相關(guān)的線性關(guān)系，即當(dāng)控制角最小(φδ=1.68)時加速度最大。其最大值約為

(13)

對式(5)求導(dǎo)，可以得到

(14)

(15)

在仿真過程和實際應(yīng)用中，由于式(11)反函數(shù)的解析表達(dá)式難以計算，可以使用插值的方式來替代。在這種轉(zhuǎn)動方式的情況下，計算對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的要求：

執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)所需的轉(zhuǎn)速

(16)

執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)在所需轉(zhuǎn)速下的加速性能

(17)

圖3 前體限位角示意圖
Fig.3Schematic diagram of limit angles of the forward body

根據(jù)幾何關(guān)系及對稱性，如圖3所示，可以得到限位角相對于慣性空間的位置,即

(18)

式中：γδ為所需周期平均控制力FCp方向與Y軸正方向的夾角。

3 仿真分析

由于本文所述的固定舵雙旋彈控制方式對電機(jī)的要求與彈的轉(zhuǎn)速相關(guān)，更適宜于低速旋轉(zhuǎn)彈，本文以122 mm火箭彈為例來說明。本文所述的火箭彈具有單室雙推力發(fā)動機(jī)，斜置直尾翼，全程低速旋轉(zhuǎn)，最大轉(zhuǎn)速不超過5 r/s。助推推力使火箭彈在3 s內(nèi)加速至馬赫數(shù)Ma約為2.5，續(xù)航推力使火箭彈的Ma保持在2.5左右，兩級推力的作用時間共14 s?；鸺龔棌楅L為3.35 m，前體軸向轉(zhuǎn)動慣量為3.5×10-4kg·m2，后體初始軸向轉(zhuǎn)動慣量為0.165 kg·m2，初始法向轉(zhuǎn)動慣量為64 kg·m2?；鸺龔棾跏假|(zhì)量為73 kg，其中推進(jìn)劑質(zhì)量為37 kg。

固定舵偏角大小為5°，使用半周期控制方式，綜合考慮彈體的穩(wěn)定性、低通濾波特性和對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的要求，控制半周期長取0.05 s。

火箭彈發(fā)射高度角為9°，偏航角為0°，在發(fā)射后5 s開始控制。由于火箭彈長細(xì)比較大，在仿真時加入-0.1 rad/s的初始俯仰角速度。

3.1 側(cè)向修正能力分析

圖4 仿真1和仿真2的彈道修正效果比較
Fig.4Comparison of trajectory correction effects of simulations No.1 and No.2

為說明固定舵周期平均控制與常規(guī)舵控制的異同，仿真以直接在準(zhǔn)彈體系[20]下給出相應(yīng)舵偏角指令(不考慮舵機(jī)動力學(xué))作為對照。為了便于表示，本節(jié)將固定舵按照2節(jié)方案實現(xiàn)的控制稱做仿真1，將直接在準(zhǔn)彈體系下給出舵偏角的控制稱做仿真2。由于火箭彈在發(fā)射后5 s開始控制，為了保證在開始控制時各彈體狀態(tài)參數(shù)的一致性，在無控段給出相同的舵偏角。圖4分別給出了當(dāng)側(cè)向控制指令為1°時，兩種仿真條件下的射程、高度、側(cè)偏隨時間的變化曲線及兩條曲線之間的偏差。

圖5給出了兩種仿真在準(zhǔn)彈體系的舵偏角隨時間的變化曲線。通過分析可以得出，本文提出的基于周期平均的方式在大致趨勢上與常規(guī)的控制方式相似，但是由于任意時刻的總舵偏角幅值不變，對彈體姿態(tài)的影響與傳統(tǒng)控制方式依然有所區(qū)別，因此造成仿真曲線的偏差。

為了更充分地比較兩種仿真，當(dāng)分別給出側(cè)向修正舵偏角指令為δy=[-5°,-3°,-1°,0°,1°, 3°, 5°]時，固定舵雙旋火箭彈的落點與對照仿真的落點如表1所列。

圖5 仿真1和仿真2在準(zhǔn)彈體系下的舵偏角比較
Fig.5 Comparison of canard deflections in quasi-body coordinate system of simulations No.1 and No.2

. .

側(cè)向指令/(°)落點/(m，m)仿真1仿真2-5(8319，603)(8402，658)-3(8431，387)(8470，425)-1(8555，106)(8519，127) 0(8446，-53)(8529，-57) 1(8423，-225)(8519，-243) 3(8349，-509)(8467，-546) 5(8332，-739)(8398，-778)

3.2 高度巡航控制

當(dāng)火箭彈彈道被設(shè)計為縱向定高飛行，側(cè)向糾偏控制時，飛行指令按照位置差通過1階超前環(huán)節(jié)來計算。其飛行過程部分狀態(tài)量如圖6和圖7所示。圖6給出了飛行的縱向和側(cè)向彈道，從中可以看出，固定舵雙旋火箭彈可以被控制為沿著發(fā)射方向定高飛行。

圖7給出了飛行過程中的舵偏角指令及舵偏角實時分解于準(zhǔn)彈體系的分量，其中，縱向和側(cè)向分別控制，縱向指令限制為-5°,5°，側(cè)向指令限制為-3°,3°，若其合成幅值超出固定舵偏角大小，則控制前體停在沿著合成控制力的方向；圖8給出了前體滾轉(zhuǎn)角(折合在0,2π范圍內(nèi))隨時間的變化曲線及其部分放大圖，從圖中可以看出，除去由于模運算造成的突變，其曲線較為平滑，相比于文獻(xiàn)[18]，本文所述方案更加貼合于實際情況。

圖6 火箭彈縱向和側(cè)向彈道
Fig.6 Longitude and lateral trajectory of rocket

圖7 準(zhǔn)彈體系下的舵偏角指令和實時舵偏角響應(yīng)
Fig.7 Canard deflection commands and real-time canard deflection responses in quasi-body coordinate system

圖9分別給出了火箭彈飛行過程中執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和側(cè)向、縱向的姿態(tài)角速度隨時間的變化曲線，在整個飛行過程中，姿態(tài)角速度并沒有發(fā)散的趨勢，彈體是穩(wěn)定的。

圖8 前體滾轉(zhuǎn)角變化曲線及其局部放大圖
Fig.8Variation curve of rolling angle of forward body and its detail view

圖9執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)轉(zhuǎn)速和火箭彈的縱向/側(cè)向姿態(tài) 角速度變化曲線
Fig.9 Variation curves of motor of actuator and longitude/lateral attitude angular velocities of rocket

3.3 蒙特卡羅分析

火箭彈按照如下方式制導(dǎo)：在5 s內(nèi)，火箭彈處于無控階段；在5～15 s，火箭彈處于平飛控制階段；在15 s以后，火箭彈處于末制導(dǎo)階段?？v向制導(dǎo)指令按照式(19)以高度形式給出，側(cè)向始終保持糾偏控制。

hcom=

(19)

式中：dx為火箭彈與目標(biāo)的距離沿x軸的分量；dxterm為在15 s時火箭彈與目標(biāo)的距離沿x軸的分量；hcom為高度指令。考慮的擾動因素包含炮口初始擾動和隨機(jī)風(fēng)，并假設(shè)這些擾動均服從正態(tài)分布，如表2所示。

表2 擾動因素分布參數(shù)Table 2 Distribution parameters of disturbance factors

圖10 蒙特卡羅仿真的落點分布
Fig.10Distribution of drop points of Monte Carlo simulation

4 結(jié) 論

1) 針對固定舵雙旋式執(zhí)行機(jī)構(gòu)不能提供幅值可調(diào)的控制力的問題，據(jù)此提出一種使周期平均控制力幅值和方向可調(diào)的方案，分析了該方案對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的性能要求。

2) 仿真結(jié)果表明，固定舵的周期平均控制策略可以有效地解決固定舵雙旋彈在常規(guī)控制策略下控制力幅值不可連續(xù)變化的問題。

通過對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的性能要求分析可以看出，本文所述的控制策略受到彈體轉(zhuǎn)速的制約。此外，由于火箭彈前體始終處于較大角加速度的運動中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)消耗的能量較大，對執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的設(shè)計要求較高。

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Controlmethodforaclassoffixed-canarddual-spinrocketsbasedonperiodaverage

GUOZhiyuan,YAOXiaoxian*,ZHANGXin

SchoolofAerospaceEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China

Acontrolmethodforaclassoffixed-canarddual-spinrocketsisproposedtoadjustthemagnitudeandthedirectionoftheaveragecontrolforce.Themethodispresentedaccordingtotherelationshipbetweenthemagnitudeoftheaveragecontrolforceandthespinningtrajectoryoftheactuatormotor.Thisrelationshipiscalculatedbasedontheideaoftheperiodaverage.Basedonasimulationof7DegreesofFreedom(DOF)trajectory,thelateralcorrectionabilityandtheeffectsoftheheightcontrolandthedroppointcontrolofthefixed-canarddual-spinrocketareanalyzedtoverifythefeasibilityofthecontrolmethodproposed.Theresultsshowthatincontrasttothetraditionalcontrolmethodofholdingthecanardtothedirectionneededseveraltimesduringtheflight,thecontrolmethodbasedontheperiodaveragecancontinuouslyadjustthemagnitudeandthedirectionoftheaveragecontrolforce,soastorealizetheguidanceandcontrolofthefixed-canarddual-spinrocket.

periodaverage;dual-spin;fixed-canard;rocket;guidanceandcontrol

2017-04-06；

2017-06-14；

2017-08-02；Publishedonline2017-08-071537

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171224.html

.E-mailyxx11@bit.edu.cn

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.321307

2017-04-06；退修日期2017-06-14；錄用日期2017-08-02；網(wǎng)絡(luò)出版時間2017-08-071537

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171224.html

.E-mailyxx11@bit.edu.cn

郭致遠(yuǎn)，姚曉先，張鑫．基于周期平均的固定舵雙旋火箭彈控制方法J． 航空學(xué)報,2017,38(12):321307.GUOZY,YAOXX,ZHANGX.Controlmethodforaclassoffixed-canarddual-spinrocketsbasedonperiodaverageJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):321307.

V249.12;TJ765.1

A

1000-6893(2017)12-321307-08

蘇磊, 李丹)