姚森　徐桂轉(zhuǎn)　胡建軍　王偉　荊艷艷

【摘 要】高等數(shù)學(xué)是各高校理工科專業(yè)必修的基礎(chǔ)性課程。傳熱學(xué)是能源類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，傳熱問(wèn)題的分析和應(yīng)用涉及大量的數(shù)學(xué)知識(shí)。在傳熱學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常存在由于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，對(duì)概念和公式只能機(jī)械記憶，在分析時(shí)只能硬搬已有公式，不能清晰明確的給出計(jì)算步驟和方法。因此，在傳熱學(xué)教學(xué)中適當(dāng)加入高等數(shù)學(xué)中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的回顧和總結(jié)，以期提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及傳熱學(xué)的整體教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】傳熱學(xué)；高等數(shù)學(xué)；計(jì)算方法

中圖分類號(hào)： G642；TK124-4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）25-0100-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.25.044

【Abstract】Higher mathematics is a compulsory basic course for majors of science and engineering in universities. Heat transfer is one of the basic courses for energy majors， the analysis and application of heat transfer problems involve a large number of mathematical knowledge. In the process of heat transfer teaching， several students who have weak basic knowledge of mathematics not only memorize the concepts and formulas mechanically， but also can not give clear calculation steps and methods when analyzing actual problems. Therefore， the review and summary of relevant knowledge points in higher mathematics should be properly added to the teaching of heat transfer in order to improve students interest in learning and improve the overall teaching effect of heat transfer.

【Key words】Heat transfer； Advanced mathematics； Computational method

傳熱學(xué)是能源與動(dòng)力工程、建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程等本科能源類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，傳熱問(wèn)題的分析和應(yīng)用涉及大量的高數(shù)知識(shí)，且具有計(jì)算量大、難度大等特點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)是各高校理工科專業(yè)必修的基礎(chǔ)性課程，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和后續(xù)專業(yè)性課程的學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的意義。在傳熱學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常存在由于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，在學(xué)習(xí)傳熱學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，對(duì)概念和公式只能機(jī)械式的記憶，不能合理的結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)其進(jìn)行推倒；在分析和計(jì)算時(shí)只能硬搬已有公式，不能清晰明確的給出計(jì)算步驟和方法。因此，針對(duì)傳熱學(xué)中涉及到的典型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，本文進(jìn)行了歸納和整理，為學(xué)生的傳熱學(xué)課程學(xué)習(xí)提供參考。

1 泰勒公式

泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)在物理方程推導(dǎo)和數(shù)值解法有著大量的應(yīng)用。在建立傳熱問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程時(shí)的一貫做法是，取對(duì)象的微元體，基于熱力學(xué)能量守恒定律等基本定律建立微元體的能量方程。以直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)為例，從導(dǎo)熱體取出任意微元體，在推導(dǎo)單一方向的上流入和流出微元體的熱量時(shí)，表達(dá)式如下：

其中，流出微元體的熱量Φx+dx的導(dǎo)出就是基于泰勒公式所得。泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)上的信息描述該點(diǎn)附近取值的公式，若函數(shù)f（x）在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a，b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開(kāi)區(qū)間（a，b）上具有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a，b]上任意一點(diǎn)x，有下式[1]

對(duì)于x附近的x+dx，取一階時(shí)該式可近似表達(dá)為：

f（x+dx）=f（x）+f'（x）（x-x0）

此即為各方向流出微元體的熱量表達(dá)式導(dǎo)出的基礎(chǔ)，若學(xué)生不能理解，則對(duì)導(dǎo)熱微分方程掌握，尤其是圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程，只能使用死記硬背的方式進(jìn)行。

除導(dǎo)熱微分方程外，泰勒公式在傳熱問(wèn)題的其他控制方程推導(dǎo)，以及數(shù)值解法的離散方程建立過(guò)程中也有大量的應(yīng)用，在此不再贅述。 在講述相關(guān)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的回顧。

2 柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)的梯度

傳熱學(xué)研究是通過(guò)獲得系統(tǒng)內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布進(jìn)行的。溫度場(chǎng)是典型的數(shù)量場(chǎng)，通過(guò)在空間中引入坐標(biāo)系，其空間點(diǎn)的位置可由引入的坐標(biāo)系確定，當(dāng)給定了溫度場(chǎng)后，其溫度可以表示為空間坐標(biāo)的函數(shù)。在傳熱學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中，大量使用到溫度梯度的知識(shí)，如傅里葉導(dǎo)熱定律的一般形式數(shù)學(xué)表達(dá)式為=-λgradt=-λ？塄t[2]；此外，在導(dǎo)熱微分方程和能量方程中，當(dāng)物性為常數(shù)時(shí)也會(huì)出現(xiàn)梯度的散度。

直角坐標(biāo)系下的梯度的掌握情況較好，但是圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式鮮有學(xué)生了解。這主要是由于圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的梯度表達(dá)式相對(duì)于直角坐標(biāo)系更為復(fù)雜，學(xué)生難以記憶和理解。而在工程實(shí)際問(wèn)題或者習(xí)題中，圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系在特定情況下會(huì)更便于求解，因此，在教學(xué)時(shí)可為學(xué)生提供各坐標(biāo)系下溫度梯度和梯度的散度的表達(dá)式，以方便查閱。

3 換熱器熱計(jì)算中的積分

換熱器是冷熱流體發(fā)生熱量交換的場(chǎng)所，冷熱流體在換熱器內(nèi)沿流動(dòng)方向不斷的吸收或釋放熱量，對(duì)單股流體來(lái)說(shuō)，其溫度是不斷發(fā)生變化的[3]。因此，在進(jìn)行熱計(jì)算時(shí)，傳熱關(guān)系式Q=kAΔt中的溫差應(yīng)為對(duì)數(shù)平均溫差Δtm。Δtm的物理意義即為在整個(gè)換熱面上冷熱流體溫差的積分平均值[2]。

取換熱器中的微元面積dA，dA兩側(cè)冷熱流體的溫度分別為t2和t1，溫差，則有下式：

分離變量并在整個(gè)換熱面上積分得

帶入到積分平均式即可得到對(duì)數(shù)平均溫差。

在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)像學(xué)生強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)平均溫差的物理意義，引導(dǎo)學(xué)生了解積分對(duì)于實(shí)際物理問(wèn)題的意義，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)平均溫差的理解。

4 迭代求解方程組

在傳熱學(xué)的數(shù)值解法中，求解代數(shù)方程組的方法分為直接解法和迭代法；迭代法需要首先對(duì)計(jì)算區(qū)域或各離散節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值進(jìn)行假定，隨后在迭代過(guò)程中不斷用變量的舊值遞推新值，直到計(jì)算后的結(jié)果與前一輪計(jì)算所得到的結(jié)果的差值小于允許值[4]。在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生容易對(duì)Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代兩種方法產(chǎn)生混淆，需要在授課時(shí)對(duì)兩種基本的迭代方法及優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行說(shuō)明。Jacobi迭代每輪計(jì)算均使用上一輪計(jì)算所得到的數(shù)值，其計(jì)算公式簡(jiǎn)單，計(jì)算過(guò)程中原始矩陣保持不變，容易并行計(jì)算，但是收斂速度慢，占據(jù)的數(shù)據(jù)空間較大。Gauss-Seidel迭代在計(jì)算過(guò)程中，總是使用最新值，因此需要的存儲(chǔ)空間較小，收斂速度較快[5]。

此外，在換熱的校核計(jì)算過(guò)程中，若已知冷熱流體進(jìn)出口溫度的其中兩個(gè)，通常需要對(duì)未知的某個(gè)溫度進(jìn)行假設(shè)進(jìn)行試算。試算的基本思路與迭代是相似，通過(guò)假定一個(gè)初值，完成整個(gè)計(jì)算過(guò)程，通過(guò)對(duì)比計(jì)算前后的參數(shù)值，判斷是否計(jì)算結(jié)束。

在課堂教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)結(jié)合例題，使學(xué)生深入理解迭代法的思路與求解過(guò)程，以免造成學(xué)生無(wú)法完成傳熱學(xué)計(jì)算。

5 結(jié)語(yǔ)

作為能源動(dòng)力類學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課程，傳熱學(xué)的學(xué)習(xí)程度直接影響學(xué)生后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)。在強(qiáng)調(diào)課程重要性的同時(shí)，如何提高課堂教學(xué)效果，加強(qiáng)學(xué)生理解能力，也是傳熱學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中需要關(guān)注的重點(diǎn)。在傳熱學(xué)課程中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，一方面可以兼顧數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的課堂體驗(yàn)，另一方面，也可以使學(xué)生在傳熱學(xué)課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)，使數(shù)學(xué)素質(zhì)得到進(jìn)一步提高，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

[2]楊世銘，陶文銓.傳熱學(xué).第4版[M].高等教育出版社，2006.

[3]史玉鳳，郭彥，何光艷.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)在傳熱學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國(guó)電力教育，2014（12）：88-89.

[4]鄧建中，劉之行.計(jì)算方法-第2版[M].西安交通大學(xué)出版社，2001.

[5]陶文銓.數(shù)值傳熱學(xué)（第2版）[M].西安交通大學(xué)出版社，2001.