潘建雄，孫 卡

（南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330063）

一種優(yōu)化的嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)反推控制

潘建雄，孫 卡

（南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330063）

該文針對(duì)嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)在Backstepping算法下進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)引入一個(gè)新的坐標(biāo)變換，選擇不同于傳統(tǒng)反推控制算法的虛擬控制量。基于Backstepping的設(shè)計(jì)框架，逐層設(shè)計(jì)出了系統(tǒng)的虛擬控制律，繼而推出實(shí)際的控制器。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論分析，系統(tǒng)各狀態(tài)滿足全局漸進(jìn)穩(wěn)定。最后對(duì)一個(gè)三階的嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在參考輸入下，跟蹤誤差滿足全局漸進(jìn)穩(wěn)定，并且相對(duì)于傳統(tǒng)的反推控制算法，系統(tǒng)的收斂速度提高。證明了該方法可以提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

非線性系統(tǒng)；嚴(yán)反饋；反推設(shè)計(jì)

嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)是下三角非線性系統(tǒng)的一種形式[1]，由于其在工程實(shí)踐中有著廣泛的適用范圍，越來(lái)越受到科研人員的關(guān)注[2]。近年來(lái)，在嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)研究中取得了很多進(jìn)展。如基于觀測(cè)器的反推設(shè)計(jì)方法[3]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)設(shè)計(jì)方法[4]、基于模糊控制的自適應(yīng)設(shè)計(jì)方法[5]、滑膜控制設(shè)計(jì)方法[6]等。以上方法在控制調(diào)節(jié)方面都取得了很好的效果，然后，大多數(shù)研究成果的控制算法的計(jì)算都相對(duì)復(fù)雜，在實(shí)際系統(tǒng)中，需要強(qiáng)大的運(yùn)算芯片才能保證時(shí)效性。

反推控制對(duì)于嚴(yán)反饋形式的非線性系統(tǒng)控制有著良好的效果。文獻(xiàn)[7]對(duì)反推控制的理論進(jìn)行了研究，并將其應(yīng)用在四旋翼飛行器控制器的設(shè)計(jì)之中。文獻(xiàn)[8]針對(duì)純反饋非線性系統(tǒng)進(jìn)行了控制研究，使用了反步自適應(yīng)控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法分別對(duì)其進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上引入觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)中的未知變量進(jìn)行了處理。為了去除系統(tǒng)的攝動(dòng)和外界的干擾，文獻(xiàn)[10]提出了一種滑膜變結(jié)構(gòu)的控制方法。文獻(xiàn)[11]在滑膜控制的基礎(chǔ)上，采用了動(dòng)態(tài)二階滑膜面的設(shè)計(jì)方法，以解決滑膜控制的抖振現(xiàn)象，得到了較好效果。文獻(xiàn)[12]采用了反推控制技術(shù)，對(duì)隨機(jī)純反饋非線性系統(tǒng)，基于模糊控制理論提出了一種自適應(yīng)模糊容錯(cuò)控制方案。文獻(xiàn)[13]對(duì)一類嚴(yán)反饋控制系統(tǒng)，采用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制方法。文獻(xiàn)[14]在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，采用串級(jí)控制的方法，以改善控制效果。文獻(xiàn)[15]基于反推控制方法，對(duì)嚴(yán)反饋不確定控制系統(tǒng)進(jìn)行了輸出調(diào)節(jié)研究，最終得到全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

本文針對(duì)一類嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)，利用一個(gè)坐標(biāo)變換，基于反推設(shè)計(jì)的思想，研究了一類三角結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)出的虛擬控制律，進(jìn)而得到控制器。該控制器保證系統(tǒng)跟蹤誤差全局漸進(jìn)穩(wěn)定，并且和傳統(tǒng)的反推控制相比可以提高系統(tǒng)的收斂速度，在實(shí)際工程應(yīng)用中可以提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，擴(kuò)大了反推設(shè)計(jì)方法在實(shí)踐中的應(yīng)用范圍。

1 反推控制

Backstepping最早在20世紀(jì)80年代由A.Saberi，P.V.Kokotovic和H.J.Sussmann等人對(duì)部分線性嚴(yán)格反饋的非線性系統(tǒng)研究時(shí)提出的。經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者多年的深入研究，目前已經(jīng)成為研究線性系統(tǒng)或者是非線性系統(tǒng)控制的重要的方法之一。Backstepping設(shè)計(jì)方法將Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)和控制器的設(shè)計(jì)相結(jié)合，通過(guò)反向設(shè)計(jì)適用于高階系統(tǒng)，且使系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化。它的設(shè)計(jì)過(guò)程為從系統(tǒng)最低階次的方程開始，對(duì)每層子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器，并引入虛擬控制的概念，設(shè)計(jì)滿足條件的子控制器，最終設(shè)計(jì)出真正的控制器。其主要思想是將復(fù)雜的系統(tǒng)分解為階數(shù)較低的子系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)各個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)建Lyapunov函數(shù)和中間控制量進(jìn)而推導(dǎo)出整個(gè)控制器。

考慮嚴(yán)格反饋的非線性系統(tǒng)為

式中：x=[x1，x2，…，xn]T為該系統(tǒng)各狀態(tài)變量；u∈R為系統(tǒng)的輸入；fi，gi為光滑的非線性函數(shù)，且gi≠0。

根據(jù)反推控制理論，我們利用各子系統(tǒng)的虛擬控制律，定義一個(gè)由各子系統(tǒng)組成的n維誤差系統(tǒng)：

式中：ai為代表各階子系統(tǒng)的虛擬控制律，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷理論進(jìn)行分析，設(shè)置虛擬控制律使每一層子系統(tǒng)的狀態(tài)分量都漸進(jìn)穩(wěn)定。

步驟1對(duì)于第一層子系統(tǒng)，選取正定標(biāo)量函數(shù)為

對(duì)標(biāo)量函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算：

步驟2對(duì)于第二層子系統(tǒng)，選取正定標(biāo)量函數(shù)為

對(duì)標(biāo)量函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：

步驟i對(duì)于第i層子系統(tǒng)，選取虛擬控制律

定義整個(gè)系統(tǒng)正定標(biāo)量函數(shù)為

得到最終控制律為

由式（1）～式（4）可知：

從上述證明得到系統(tǒng)的標(biāo)量函數(shù)是正定的，而標(biāo)量函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)可知整個(gè)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

2 問(wèn)題描述

考慮如下一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)：

式中：x =[x1，…，xn]T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)；u∈R和y∈R分別為系統(tǒng)的輸入和輸出；函數(shù)fi：Ri→R，i=1，2，…，n-1是 C1未知的非線性函數(shù)，且滿足fi（0）＝0。假設(shè)只有輸出向量y是可測(cè)量的。

控制目標(biāo)為在滿足假設(shè)的條件時(shí)，設(shè)計(jì)的反推控制器能使嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)誤差輸出漸進(jìn)穩(wěn)定，即輸出y能穩(wěn)定地跟隨參考信號(hào)yd。

3 控制器的設(shè)計(jì)

本文采用如下坐標(biāo)變換：

式中：ai為第i個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制律。

此處控制器的設(shè)計(jì)，選擇了與傳統(tǒng)的反推控制方法不同的虛擬控制量參數(shù)。傳統(tǒng)控制器將狀態(tài)變量xi作為虛擬控制律的變量。而本文選擇將x˙i-1作為虛擬控制律的變量，其中很大的部分計(jì)算都在運(yùn)算的過(guò)程中，用所謂的空間來(lái)?yè)Q時(shí)間的方法，憑借現(xiàn)在處理器強(qiáng)大的運(yùn)算速度，可以提高系統(tǒng)的收斂速度，從而更好地滿足工程實(shí)踐中對(duì)實(shí)時(shí)性的要求。采用反推控制框架，控制器的設(shè)計(jì)分為n步：

步驟 1由式（10）、式（11）、式（12）可知：

假設(shè)虛擬控制律 a1為 a1=-c1z1+y˙d（c1為正的常數(shù)），則：

步驟 2由式（10）、式（12）可知：

步驟 i（3≤i≤n-1）

步驟 n由式（10）、式（11）、式（12）可知：

假設(shè)控制器u為

則

定理1對(duì)滿足條件的該類嚴(yán)反饋非線性系統(tǒng)（10），采用控制律（20），在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)跟蹤誤差全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明選取下面的Lyapunov正定標(biāo)量函數(shù)為

結(jié)合式（14）～式（21），對(duì) v 進(jìn)行求導(dǎo)：

由上式可知，當(dāng)c1，c2，…，cn的值為正的常數(shù)時(shí)，正定標(biāo)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，在滿足函數(shù)fi：Ri→R，i=1，2，…，n-1 是 C1未知的非線性函數(shù)，且fi（0）=0時(shí)，系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制器下系統(tǒng)跟蹤誤差全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

4 實(shí)例仿真

考慮一個(gè)三階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)如下所示：

根據(jù)上文理論，初始值 x1（0）=0.7，x2（0）=-0.4，x3（0）=0.5，令 c1=c2=c3=1，參考輸入 yd=sin（t）。

仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。圖1為系統(tǒng)在改進(jìn)的反推控制算法下輸出跟蹤參考信號(hào)的軌跡變化曲線，可以看出，在該控制器的作用下，系統(tǒng)輸出信號(hào)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)參考信號(hào)的穩(wěn)定跟蹤，并且跟蹤誤差逐漸趨于零。圖2為系統(tǒng)在傳統(tǒng)的反推設(shè)計(jì)算法下輸出跟蹤參考信號(hào)的軌跡變化曲線。圖3為改進(jìn)型反推設(shè)計(jì)算法下的跟蹤誤差曲線。圖4為傳統(tǒng)反推算法下的跟蹤誤差曲線。其中，圖1和圖2中的標(biāo)注R代表的是參考曲線，y代表在反推控制算法下的輸出信號(hào)。

圖1 改進(jìn)后的參考跟蹤性能Fig.1 Improved reference tracking performance

圖2 傳統(tǒng)反推控制下的跟蹤性能Fig.2 Tracking performance under traditional backstepping control

從圖3和圖4的跟蹤誤差對(duì)比可以看出，傳統(tǒng)的反推算法下，該仿真系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間是在10 s左右，而采用改進(jìn)的反推控制方法后，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間是6 s左右，改進(jìn)型的收斂時(shí)間明顯短于傳統(tǒng)反推設(shè)計(jì)算法，即有效地提高系統(tǒng)的收斂速度。

圖3 改進(jìn)后的跟蹤誤差Fig.3 Improved tracking error

圖4 傳統(tǒng)反推控制下的誤差Fig.4 Error of traditional backstepping control

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類嚴(yán)格反饋控制系統(tǒng)的反推控制算法進(jìn)行改進(jìn)，基于反推控制的設(shè)計(jì)框架，引入一個(gè)新的變換矩陣，選擇一個(gè)不同于傳統(tǒng)反推控制的虛擬控制量，在系統(tǒng)跟蹤誤差滿足全局漸進(jìn)穩(wěn)定的同時(shí)，相比于傳統(tǒng)的反推控制，提高了系統(tǒng)的收斂速度。最后通過(guò)一個(gè)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了該改進(jìn)型的反推控制可以提高系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

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Optimal of Backstepping Control for Strict-feedback Nonlinear Systems

PAN Jian-xiong，SUN Ka

（College of Information Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

In this paper，aiming at optimized the Backstepping control for strict-feedback nonlinear system.By introducing a novel coordinate transformation，select different from traditional backstepping control algorithm of virtual control volume.Based on backstepping framework，the virtual control law of the systems is designed，then introduced the actual controller.It finds that the global asymptotic stability can be achieved when the tracking error of the system is under the control algorithm by analyzing the Lyapunov stability theory.By the end，numerical simulation is carried out on a three order strict-feedback nonlinear system.Under the reference input，the tracking error is globally asymptotically stable and compared with the traditional backstepping control algorithm，the convergence rate of the system is improved，which provides an effective method for improving the real-time performance of system.

nonlinear systems；strict-feedback systems；backstepping

TP273

A

1001-9944（2017）11-0056-04

10.19557/j.cnki.1001-9944.2017.11.013

2017-04-07；

2017-07-24

潘建雄（1992—），男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性控制理論研究與嵌入式開發(fā)；孫卡（1982—），男，博士，副教授，研究方向?yàn)轱w行仿真與圖形學(xué)。