黃麗霞

1 引言

為了行駛安全，船舶航行時(shí)需按預(yù)置好的計(jì)劃航線進(jìn)行航行。計(jì)劃航線由各個(gè)航路點(diǎn)組成，兩相鄰航路點(diǎn)之間的連線為一航線段。在一個(gè)航線段中，航海導(dǎo)航的具體任務(wù)就是引導(dǎo)艦船駛向當(dāng)前航線段的目標(biāo)點(diǎn)，要達(dá)到這個(gè)目的，必須實(shí)時(shí)計(jì)算兩個(gè)最基本的導(dǎo)航參數(shù)：到目標(biāo)點(diǎn)的距離和目標(biāo)點(diǎn)的方位。有些場(chǎng)合，如測(cè)量作業(yè)、布掃雷作業(yè)等，在引導(dǎo)艦船駛向當(dāng)前航線段目標(biāo)點(diǎn)的過程中，要求船位始終保持在航線上，為此還必須實(shí)時(shí)計(jì)算船位偏離航線的距離，即航行偏航量，以指導(dǎo)操舵［1］。到目標(biāo)航路點(diǎn)的距離、方位、船位偏離航線的偏航量3個(gè)參數(shù)是航路點(diǎn)導(dǎo)航的基本導(dǎo)航參數(shù)。這3個(gè)參數(shù)的計(jì)算可歸結(jié)為下述兩個(gè)問題：

1）已知起點(diǎn)P1（B1，L1）和終點(diǎn)P2（B2，L2），求由P1點(diǎn)航行至P2點(diǎn)的航程S和起始航向A1；

2）已知航段的起止點(diǎn)P1（B1，L1）、P2（B2，L2）和當(dāng)前船位Pc（Bc，Lc），求Pc點(diǎn)相對(duì)航線P1P2的偏航量XTE。

航行偏差的計(jì)算方法與船舶航法相關(guān)，船舶航法包括多種，但在實(shí)際中，等角航法和大圓航法比較常用。一般來說，當(dāng)航程較短時(shí)，為了便于規(guī)劃，采用等角航法；當(dāng)航程較遠(yuǎn)時(shí)，為了縮短航行時(shí)間，采用大圓航法［2］。選用不同的航法時(shí)，計(jì)算上述3種導(dǎo)航參數(shù)的方法也是不同的。

2 大圓航法導(dǎo)航參數(shù)計(jì)算

大圓航法即沿橢球的大地線進(jìn)行航行，大地線的主題解算算法歸納起來有5大類共有幾十種之多［3］，其中，文森特（T.Vincenty）公式嵌套系數(shù)法是其中較為常用、適用于任意距離且精度較高的一種，常被用來作為驗(yàn)證其它算法計(jì)算精度的手段［4～6］。其計(jì)算方法如下：

2.1 大圓航法航程和航向角計(jì)算

文森特公式，也稱嵌套系數(shù)法，采用貝塞爾球作為過渡，先將橢球面各大地元素按特定要求轉(zhuǎn)換到輔助球面，并在球面上解算，推導(dǎo)出嵌套系數(shù)公式，然后通過橢球改正項(xiàng)把球面解算的結(jié)果再歸算到橢球面上［7］。

P1（B1，L1）和P2（B2，L2）為橢球面上兩點(diǎn)（如圖1），B為緯度，L為經(jīng)度，N為橢球極點(diǎn)。P0P1P2Pn是橢球面上大地線P1P2的延長(zhǎng)線，P0點(diǎn)是該大地線與赤道的交點(diǎn)；Pn是大地線在其行程中最高緯度點(diǎn)，大地線在該點(diǎn)與緯圈相切。其它經(jīng)、緯度和方位角如圖1所示。取半徑為1的圓球作為輔助球面如圖2，球面上 P0'、P1'、P2'、Pn'分別為橢球面上各點(diǎn)在球面上的相應(yīng)投影點(diǎn)；σ1、σ2、σ 為 S1、S2、S 對(duì)應(yīng)的球面角距；ω為L(zhǎng)對(duì)應(yīng)的球面經(jīng)差；u1、u2、ω1、ω2為 B1、B2、L1、L2對(duì)應(yīng)的球面歸化緯度和經(jīng)度；由于大地線在球面上各投影點(diǎn)處的方位角與其橢球面上的相等，均用 A1、A2來表示 P1、P2的方位角和反方位角。

由上述的橢球面和球面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可推導(dǎo)出大圓弧σ與大地線S、球面經(jīng)度差ω與橢球面經(jīng)度差L之間的關(guān)系式：

式中，b、e分別為橢圓短軸和橢圓第一偏心率。

文森特公式以式（1）、式（2）這兩個(gè)基本公式為出發(fā)點(diǎn)，利用二項(xiàng)展開式中的函數(shù)冪及其系數(shù)本身所具有的疊乘性質(zhì)，通過嵌套約化，推導(dǎo)出計(jì)算橢球改正項(xiàng)的三個(gè)嵌套系數(shù)K1，K2，K3和兩個(gè)疊乘性質(zhì)改正數(shù)Δσ、Δω［8］。

文森特公式在大圓航行算法應(yīng)用中，其具體的計(jì)算步驟如下：

1）由以下公式計(jì)算P1、P2點(diǎn)歸化緯度 u1，u2：

其中 f為橢圓偏心率。

2）計(jì)算出P1到P2點(diǎn)經(jīng)差L對(duì)應(yīng)的球面經(jīng)差ω：

3）通過下式計(jì)算P1到P2點(diǎn)大地線長(zhǎng)S對(duì)應(yīng)球面角距σ：

4）通過下式計(jì)算過P1、P2點(diǎn)大地線臨界點(diǎn)Pn的歸化緯度un：

5）通過下式計(jì)算P1、P2點(diǎn)大地線中心角距σm：

需注意，計(jì)算時(shí)首先判斷un是否為0，若為0則按σm=Δσ/2計(jì)算，否則根據(jù)上式計(jì)算σm。

6）通過下式計(jì)算經(jīng)差改正項(xiàng)Δω

按步驟2）～6）式迭代直至Δω的變化小于限差（根據(jù)一般航海導(dǎo)航要求，精度取到10-3s或10mm時(shí)足夠，因此限差取10-8即可）。

7）計(jì)算嵌套系數(shù)t、K1、K2和Δσ

式中e'為橢圓第二偏心率。

8）計(jì)算 P1到P2點(diǎn)大地線長(zhǎng) S：

9）計(jì)算正方位角A1：

10）計(jì)算反方位角A2：

上列式子中凡是有*的地方，均要判斷其角度所在象限來進(jìn)行改正。

2.2 大圓航法的偏航量計(jì)算

圖3中，P1、P2等同名變量的定義與圖1中相同，設(shè)P1、P2分別為大圓航法中某航段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，A2為航段P1P2的反方位角；Pc點(diǎn)為當(dāng)前船位，偏航量XTE為Pc到航段P1P2的最短距離，求解XTE。

在實(shí)際的海航中，航線一般被分為多個(gè)航路點(diǎn)，相鄰航路點(diǎn)之間的距離及偏航量都較?。ㄆ搅恳话悴淮笥?0km）［8］。因此，在工程應(yīng)用中，在計(jì)算偏航量時(shí)可將地球近似看作正球體，取地球平均半徑R＝6371km，以大圓弧長(zhǎng)代替橢圓弧長(zhǎng)，按球面直角三角形公式計(jì)算偏航量。具體步驟如下：

1）按2.1節(jié)的公式計(jì)算出航段P1P2的反方位角A2；

2）按2.1節(jié)的公式計(jì)算出航段PCP2的航程d及反方位角Ac2；

3）計(jì)算XTE對(duì)應(yīng)的角度

4）根據(jù)球面直角三角形公式計(jì)算出XTE：

3 等角航法導(dǎo)航參數(shù)計(jì)算

等角航法，也稱為墨卡托航法。等角航法航路段在墨卡托投影圖中是一條直線段。直線段與正北的夾角為等航向角，也表示該航路段的計(jì)劃航向。等航向法航行偏差的計(jì)算在墨卡托投影坐標(biāo)系內(nèi)完成。

如圖4所示，P1P2為一等角航線，起點(diǎn)P1、終點(diǎn)P2的大地坐標(biāo)分別為（B1，L1）、（B2，L2），A為航向角，P1P3和 P4P2為兩條平行圈，P1P4和 P3P2為兩條子午線。在如圖4的橢球面微分三角形P1P2P3中，其等角航線的微分方程式為

其中：M為子午線曲率半徑；N為卯酉圈曲率半徑。

3.1 等角航法航向角計(jì)算

將式（20）與式（21）相除后可得

由地圖等角投影理論可知

其中：q為等量緯度［9］，將式（23）兩邊積分得

式中

由式（25）可求出航向角A，航向角A的象限確定方法如表1所示。

表1 等角航法航向角象限判定

3.2 等角航法航程計(jì)算

將式（20）兩邊積分，可得等角航線長(zhǎng)度

則有

由式（27）可求出航程。

當(dāng)A=π 2或3π 2時(shí)，可利用下式計(jì)算等角航線長(zhǎng)度：

3.3 等角航法的偏航量計(jì)算

如圖5，某航段起點(diǎn)分別為P1（B1，L1）、P2（B2，L2），當(dāng)前船位PC（BC，LC），則可求出航段P1P2的航向角為A。在航段P1P2上找到一點(diǎn)PD，使之緯度與Pc點(diǎn)相同，當(dāng)tanA存在時(shí)，由式（25）可求出PD點(diǎn)的經(jīng)度LD為

根據(jù)PC、PD的經(jīng)度差可求出PC、PD間的距離d

則根據(jù)球面三角公式可求出偏航量：

當(dāng)航向角A=π 2或3π 2時(shí)，即沿緯度平行圈航行時(shí)，偏航量XTE=d，即為子午線弧長(zhǎng)差，則可用式（28）直接計(jì)算。

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文所用算法計(jì)算導(dǎo)航參數(shù)的正確性，用文獻(xiàn)［11］中的算例來對(duì)比分析。已知航段起點(diǎn)P1坐標(biāo)為（33°00′00″，120°00′00″），終點(diǎn)P2坐標(biāo)為（34°00′00″，121°00′00″），當(dāng)前船位PC為（33°59′02″，120°57′13″），求航段航程、航向角及偏航距。使用克拉索夫斯基橢球體參數(shù)，得到計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 導(dǎo)航參數(shù)計(jì)算對(duì)比

從表2的計(jì)算結(jié)果可看出，本文所用大圓航法的計(jì)算結(jié)果，與文獻(xiàn)中參考值相比，航向誤差率為0；航程誤差率為2.76E-6，差別很??；偏航距誤差率為3.78E-5，這些差異均在合理可接受的范圍，體現(xiàn)了不同算法的計(jì)算誤差；而等角航法的計(jì)算結(jié)果也在合理范圍內(nèi)；表明了大圓航法和等角航法算法應(yīng)用的正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了航海中經(jīng)常用到的大圓航法和等角航法，針對(duì)航行導(dǎo)航所需，對(duì)兩種算法中的航程、航向角、偏航距等參數(shù)給出詳細(xì)的計(jì)算過程，并通過計(jì)算算例驗(yàn)證了算法應(yīng)用的正確性。其中兩種算法中的航程和航向角計(jì)算精度較高，可直接作為航海導(dǎo)航的電算化應(yīng)用，對(duì)海上導(dǎo)航儀的航跡計(jì)算和航線設(shè)計(jì)等功能的開發(fā)有實(shí)用參考價(jià)值。

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