四川內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 (641100)

董萬平 余小芬 袁小燕

2015-2017年高考數(shù)學全國卷導數(shù)命題的幾個視角*

四川內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 (641100)

董萬平 余小芬 袁小燕

導數(shù)是微積分的初步知識，也是微分學的重要內(nèi)容，同時還是刻畫函數(shù)和曲線性態(tài)的有力工具.近年高考中，導數(shù)考點深受命題者青睞，題型覆蓋客觀題和解答題，內(nèi)容上體現(xiàn)了與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、概率等知識的交匯融合，蘊含了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等基本數(shù)學思想方法.充分考查學生的抽象思維能力，邏輯推理能力，運算求解能力.本文以近三年高考數(shù)學全國卷中導數(shù)試題為例，分析導數(shù)考查的幾個視角.

視角一 利用導數(shù)的定義求極限

例1 (2017年全國卷Ⅱ，文21)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

視角二 利用導數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題

導數(shù)的幾何意義體現(xiàn)了導數(shù)與曲線的聯(lián)系，蘊含著“以直代曲”的重要數(shù)學思想.利用導數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題是導數(shù)的一種最基本應(yīng)用.該類問題主要考查學生對導數(shù)幾何意義的理解及求導公式、求導法則的應(yīng)用，高考中常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，有時也滲透在解答題中，難度中等.

例2 (2015年全國卷I，文14)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(1,f(1))處的切線過點(2,7)，則a=________.

解:f′(x)=3ax2+1，則f(x)在點(1,f(1))的切線斜率為k=f′(1)=3a+1，又f(1)=a+2，故切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1)，代入(2,7)，解得a=1.

點評:利用導數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題時，一定要把握“切點坐標”這一關(guān)鍵要素.同時要注意“在某點處的切線”與“過某點的切線”的區(qū)別，進而才能準確表達切線斜率.近三年全國卷類似考題還有：2017年全國卷Ⅰ文科14題，2016年全國卷Ⅲ文科16題、理科15題，2016年全國卷Ⅱ理科16題，2015年全國卷I理科12題，2015年全國卷Ⅱ文科16題.

視角三 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

導數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、求解極值與最值、刻畫函數(shù)圖像變化趨勢的重要工具.近年高考中以此為背景的試題屢見不鮮.

例3 (2017年全國卷Ⅱ，理11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點，則f(x)的極小值為( ).

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

解:f′(x)=ex-1[x2+(2+a)x+a-1].由x=-2為f(x)的極值點得f′(-2)=0，解得a=-1.故f′(x)=ex-1(x2+x-2)，令f′(x)=0，解得x1=-2或x2=1.容易分析f(x)的極小值為f(1)=-1.故選A.

點評:本題考查求解可導函數(shù)極值的一般步驟，難度中等，重點強調(diào)對極值概念的理解及求導公式、法則的正確使用.理解極值概念時，應(yīng)把握極值反映的是函數(shù)的局部最值特征.函數(shù)在點x0處取得的極值未必是函數(shù)的最值，要區(qū)分極值與最值的“局部”與“整體”關(guān)系.其次，對可導函數(shù)f(x)而言，f′(x0)=0只是f(x)在點x0處取極值的必要條件，而非充要條件.

例4 (2015年全國卷Ⅱ，文21)已知f(x)=lnx+a(1-x).

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.

令g(a)=lna+a-1，則g(a)在(0,+∞)是增函數(shù)，且g(1)=0.于是當01時，g(a)>0.故a∈(0,1).

視角四 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題

利用導數(shù)求解函數(shù)零點、估算零點范圍，判斷零點個數(shù)以及已知函數(shù)零點求參數(shù)范圍，是導數(shù)綜合運用的體現(xiàn)，也是近年高考的熱點問題.該類問題常涉及對函數(shù)零點、方程根、兩函數(shù)圖像交點的橫坐標之間關(guān)系的理解，以及對零點存在性定理的靈活應(yīng)用，滲透著分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基本思想.

例5 (2017年全國卷Ⅰ，理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(-∞,+∞).當a≤0，f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.當a>0，f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.

點評:本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值及零點的綜合問題，考查學生對問題的分析、轉(zhuǎn)化及運算能力.(Ⅱ)利用(Ⅰ)問單調(diào)性結(jié)論作為零點問題分類討論的依據(jù)，并結(jié)合零點存在性定理將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與0的大小問題，進而求解a的范圍.問題的解決中對不等式放縮技巧要求較高.當然解決(Ⅱ)問還可利用分離參數(shù)法，或轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題進行處理，考生可根據(jù)知識把握情況，靈活選取.近三年全國卷類似考題還有：2017年全國卷Ⅲ文科12題、2016年全國卷Ⅰ理科21題.

視角五 利用導數(shù)證明不等式

不等式的證明問題是高中數(shù)學的難點，解決問題所涉及的方法多樣，技巧性靈活，學生不易把握.通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式，這種解決問題的思路清晰，操作性強，易于掌握，同時也體現(xiàn)了函數(shù)與導數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用.

例6 (2017年全國卷Ⅲ，理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值

解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞).

(Ⅱ)由(Ⅰ)問，當x∈(1,+∞)時，x-1-lnx>0，即lnx

點評:本題是一個有遞進關(guān)系的綜合問題，通過導數(shù)解決(Ⅰ)問中不等式的恒成立問題，求得a值，進而獲得解決(Ⅱ)問的“隱性條件”lnx1).再根據(jù)(Ⅱ)問已知不等式特征，利用對數(shù)性質(zhì)，對不等式進行變形、放縮處理，求得參數(shù)m值.當然本題還可利用另一不等式ex>x+1(x>1)，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)，通過放縮不等式解決問題.

視角六 利用導數(shù)研究存在性、恒成立問題

利用導數(shù)研究函數(shù)存在性問題或恒成立問題是歷年高考考查的難點、熱點.主要考查導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用.

例7 (2017年全國卷Ⅱ理科，21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a.

(Ⅱ)證明：存在唯一的極大值點x0，且e-2

解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞).f(x)≥0等價于a(x-1)≥lnx.

綜上，對任意x∈(0,+∞)，f(x)≥0成立，則a=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx.

當然，導數(shù)的考查視角絕不止上述總結(jié)，限于篇幅，本文僅以全國卷試題為例，權(quán)作拋磚引玉，有興趣的讀者可結(jié)合地方省份高考試題作進一步研究，比如利用導數(shù)解決函數(shù)圖像交點問題、處理極值偏移點問題等.

四川省"西部卓越中學數(shù)學教師協(xié)同培養(yǎng)計劃"項目(ZY16001).余小芬系本文通訊作者.