江蘇省無錫市大橋?qū)嶒瀸W校 (214000)

吳 燕

江蘇省無錫市青山高級中學 (214000)

張啟兆

解析幾何一輪復習中的難點教學的思考

江蘇省無錫市大橋?qū)嶒瀸W校 (214000)

吳 燕

江蘇省無錫市青山高級中學 (214000)

張啟兆

高三數(shù)學一輪復習是整個高考數(shù)學復習的基礎(chǔ)，一輪復習以教材的知識體系作為復習的主要線索，幫助學生對學過的基礎(chǔ)知識進行全面的梳理，并對基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗進行總結(jié)、歸納，從而初步構(gòu)建高中數(shù)學的網(wǎng)絡(luò).解析幾何是歷年高考必考的知識點之一.然而學生在解析幾何學習中存在一系列難點：一是對解析幾何中的基本概念與基本公式理解不深刻；二是對平面解析幾何的基本思想理解不到位；三是代數(shù)運算能力弱.本文談談對解析幾何一輪復習中難點的教學的實踐與思考.

1.實行問題導思，激活知識梳理

一輪復習不是對已學知識的簡單重復和強化，而是一個再學習、提高綜合運用能力的過程.對于高三復習課，如何梳理基礎(chǔ)知識是高三數(shù)學老師必須解決的第一個問題，我們的做法是：實行問題導思，激活知識梳理，促進學生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).課前，首先，教師要合理設(shè)計問題，然后提供知識復習整理提綱(學案)，學生課前閱讀課本，這樣可以提高學生對課本知識和概念的參與度，避免課堂教學中因復習知識而占用大量的時間.接著，學生將課本中知識點整理到學案上進行理解和記憶，教師課前檢查，目的是強化學生對基礎(chǔ)知識和概念的記憶，為后面的學習提供集中、全面的基礎(chǔ)知識復習材料.最后，教師將教學目的分解，以知識為線索編制4-5個題目，直接體現(xiàn)本節(jié)課知識點的應用，學生獨立完成，要求題后總結(jié)所用知識點或方法，教師檢查，目的是不斷激發(fā)學生的學習動機，促進學生對基礎(chǔ)知識和概念的應用.

案例1 “拋物線”的教學片段.

課前筆者根據(jù)蘇教版2012年第三版第52頁內(nèi)容提出了下面的問題：

圖1 圖2 圖3

設(shè)拋物線的軸和它的準線交于點E，過焦點垂直于軸的直線交拋物線于P、Q兩點，如圖1所示.求證：EP⊥EQ.

經(jīng)過短暫的思考，筆者與學生進行了以下交流：

教師：大家準備從哪個角度來解決問題，是幾何角度(即幾何綜合證明)還是代數(shù)角度(即通過計算來證明)？

學生：我準備從代數(shù)角度，通過計算兩直線的斜率之積為-1.

教師：從代數(shù)角度是合適的，因為解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法來研究幾何問題.

教師：從代數(shù)角度首先要做什么工作？

學生：建立平面直角坐標系.

教師：你準備怎樣建？

學生：以拋物線的軸為x軸，以線段EF的中點為坐標原點建系，如圖2.

教師：拋物線的方程是什么？對應的焦點坐標和準線方程呢？

教師：你設(shè)的方程中p有什么幾何意義？

美國著名數(shù)學教育家波利亞曾說：“一個專心且認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”以問題為載體梳理知識框架的好處在于既能達成系統(tǒng)梳理知識的目標，又能以問題為中心吸引學生積極參與其中，調(diào)動學生思維的積極性，改變課堂上被動接受的狀態(tài).

2.落實“四個重點”，打造靈動課堂.

課堂是教學的主陣地，高效課堂是實現(xiàn)高效教學的必要條件.高三一輪復習的課型主要是專題復習課和講評課，不管哪種課型，積極落實“四個重點”，打造靈動課堂，努力使學生對平面解析幾何的基礎(chǔ)知識、基本思想理解到位、代數(shù)運算能力的提高到位.

2.1 重基礎(chǔ)，通概念，培養(yǎng)學生理解能力；

解析幾何的核心觀點就是恰當運用代數(shù)的方法解決幾何問題，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想，核心方法是坐標法.數(shù)形結(jié)合思想和坐標法是統(tǒng)領(lǐng)全局的，解析幾何就是在坐標系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問題的一門學科.

用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)，須先將幾何圖形置于坐標系下，讓“形”與“數(shù)”對應起來，將“形”進行翻譯轉(zhuǎn)化：把點轉(zhuǎn)化為坐標、把曲線轉(zhuǎn)化為方程，把題目中明顯的或隱含的解題所需要的一切幾何特征，用數(shù)式和數(shù)量關(guān)系表示出來.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

根據(jù)以上問題的求解過程，填寫下表：

幾何條件本質(zhì)特征轉(zhuǎn)化成適當?shù)拇鷶?shù)關(guān)系(ⅰ)BE=BF等腰三角形，三線合一kEFkBN=-1(其中N是EF的中點)(ⅱ)∠EAF的角平分線是x軸直線AE、AF關(guān)于x軸對稱kAE+kAF=0(ⅲ)以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEFP，頂點P在橢圓C上OE→+OF→=OP→xP=xE+xFyP=yE+yF{(ⅳ)若以EF為直徑的圓過原點OE⊥OFOE→·OF→=0xExF+yEyF=0(ⅴ)直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形直線MA、MB關(guān)于x=xM對稱kMA+kMB=0

通過這道例題，在不同問題情境中概括總結(jié)“幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系”的核心方法：分析幾何條件的本質(zhì)特征，選擇適當?shù)拇鷶?shù)形式來表示.這種意識再提高就是“從現(xiàn)象到本質(zhì)，抓住事物的本質(zhì)認識事物”.常見的幾何關(guān)系與幾何特征的代數(shù)化有：①線段的中點：坐標公式；②線段的長：弦長公式；③三角形面積： 底×高，正弦定理面積公式；④夾角：向量夾角；兩角差正切；余弦定理；正弦定理面積公式；⑤面積之比，線段之比：面積比轉(zhuǎn)化為線段比，線段比轉(zhuǎn)化為坐標差之比；⑥三點共線：利用向量或相似轉(zhuǎn)化為坐標差之比；⑦垂直平分：兩直線垂直的條件及中點坐標公式；⑧點關(guān)于直線的對稱，點關(guān)于點，直線關(guān)于直線對稱；⑨直線與圓的位置關(guān)系；⑩等腰三角形，平行四邊形，菱形，矩形，正方形，圓等圖形的特征.

要防止一種誤區(qū)：基礎(chǔ)題不講，追求難題，背概念或公式，不提知識如何生成.教師應重視常規(guī)基礎(chǔ)題的練習，從不起眼的解題細節(jié)抓起，利用“三種意識”打通解析幾何的思路，夯實學生的基本知識和技能，提高學生的理解能力，才能解決更難的問題.

2.2 重過程，通思維，培養(yǎng)學生分析能力

面對問題，學生會經(jīng)歷審題、思考、解決、出現(xiàn)錯誤、修改、調(diào)整方案等一系列過程，在每個環(huán)節(jié)都會出現(xiàn)疑惑、糾結(jié)，而經(jīng)過思考、實踐產(chǎn)生的糾結(jié)也恰恰是解題能力提高的一個增長點.教學中我們要重視過程，做到：①要合理展示教師的思維過程.學生的思維往往是在模仿教師的思維中逐漸形成的，所以教師在課堂教學時應注意思維形式的“顯化”.教師要盡量設(shè)法使學生看到，面對一個新問題，自己是怎樣尋求解決思路的？其依據(jù)是什么？特別是在思路受阻后是如何調(diào)整思路的？為什么這樣調(diào)整？等.千萬不要給學生造成這樣的錯覺：老師很神，無論問題多難都能迎刃而解.要讓學生在“跟隨教師的思維過程”中學會思維，讓數(shù)學變得自然.②要充分展示學生的思維過程.課堂教學中應給學生充分暴露和展示思維過程的機會，傳統(tǒng)教學中的口頭提問、板演等都是展示學生思維的方式.只有這樣我們才能及時地發(fā)現(xiàn)學生的思維“閃光點”和存在的問題，并肯定正確、矯正錯誤，才能讓學生在“過程”中有效地習得方法、達成技能、發(fā)展思維、建立思想、形成能力.

案例3 試卷講評片段.

(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，且3y1+y2=0，求當ΔOBC面積最大時，直線l的方程.

教師：這道題你是怎樣思考的？先分析第(1)小題.

圖4

學生：由于本題沒有給圖，所以在讀題時應該在草稿紙上先畫個圖(如圖4)，再從目標出發(fā):要求ΔOBC面積的最大值，可以建立目標函數(shù)，設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，把直線與橢圓方程聯(lián)立，求出弦BC的長，再求出點O到直線BC的距離，我忘記討論直線BC的斜率是否存在，被扣分了.

教師：這位同學的解題思路是常規(guī)方法，值得表揚.如何表示ΔOBC面積是求解本題的關(guān)鍵，那么ΔOBC的面積還有其他表示方法嗎？

學生：由于ΔOBC中，OB是定長，故以O(shè)B為底邊，問題轉(zhuǎn)化為求點C到直線OB的距離的最大值.

教師：結(jié)合圖形和已知條件，選擇合適的解題路徑，可以簡化解析幾何的運算.

教師：下面我們請你談談對第(2)小題思考過程.

學生：我是仿照第(1)小題，設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，把直線與橢圓方程聯(lián)立，求出弦BC的長，……，然后做不下去了.

教師：那么ΔOBC的面積還有其他表示方法嗎？

學生：把ΔOBC分割成便于表示底邊與高的兩個三角形求面積(BC與y軸交于點A)，SΔOBC=SΔABO-SΔACO.

教師：這個思路值得大家借鑒，接下來請你嘗試做一下.

……

教師：下面請哪位同學和大家分享一下解題過程.

……

2.3 重訓練，通算理，培養(yǎng)學生運算能力

如何來提高學生的運算能力，我們在課堂教學中做到以下四個方面：①要讓學生準確理解和掌握基礎(chǔ)知識、公式和法則.②注重學生基本運算技能的培養(yǎng)，課堂上要留出一定時間讓學生進行當堂訓練.③注重數(shù)學思想方法與運算技能的有機結(jié)合.運算能力發(fā)展到一定的水平，即形成了運算的基本方法和技能，此時還需不斷運用有關(guān)的數(shù)學思想方法，如運算中的轉(zhuǎn)化意識，將要計算的問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，這也是運算能力的一個重要組成部分.④重視算理算法，加強限時計算.注重積累，優(yōu)化解題方法.教學中需要對學生的解題方法進行梳理、改造，讓學生明白每一種方法的優(yōu)點(適用面)和缺點(不適用面)，從而在解題時根據(jù)具體情況，選擇有效、便捷的方法解決問題.

比如，要兩手抓：一手抓基礎(chǔ)：基本概念、基本方法、常見問題，“弦長公式”，“圖形面積的計算”，“軌跡方程”，“定點定值——先猜后證”，“最值問題——目標函數(shù)”，“存在性問題——從特殊出發(fā)”，運算基本功.一手抓思考：知其然更需知其所以然，帶著思考去解題而不是帶著套路去解題；幫助學生掌握處理解析幾何問題的一般思維方法；給學生以“鍛煉”思維的機會.

圖5

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點A作AP∥OM交橢圓C于點P，求證：BP∥ON.

(2)教師：談談你對第(2)小題的理解，問題出在哪里？

學生：題目問題為求證：BP∥ON，但是我找不到所需證明的等價代數(shù)條件，因此無從下手.

教師：對于本題而言，需求證結(jié)論看起來確實突兀，我們來挖掘題目已有信息.

教師：題目中的條件AP∥OM意味著什么？

學生：意味著kAP=kOM.

教師：很好！因此，要驗證kBP=kON,除了直接計算外，還可以如何進行驗算？學生有所悟，但不是十分明確，教師進行第二次引導.

對于圓而言，在圓周上找一點P與兩點A,B連線斜率乘積為定值-1，即kAP·kBP=-1.對于橢圓而言，是否有相似結(jié)論？

教師：對本題而言意味著什么？

教師：很好！對于本題而言，我們接下來只需驗證什么條件？

教師：我們研究解析幾何問題可分為三步：生點、定點、譯點.大家如何進行這三步？

教師：很好！還有其它思路嗎？

教師：很好！下面請1、2小組按思路1計算，3、4小組按思路2計算.

2.4 重小結(jié)，通思想，培養(yǎng)學生遷移能力

行為派心理學認為，初步形成的行為必須適時強化，不強化就會消退.高三復習通過課堂小結(jié)和單元小結(jié)對知識概括提煉，有利于學生建立良好的認知圖式，強化知識，促進遷移.通過知識間的聯(lián)系把知識進行整合，將難于理解的知識規(guī)律化，使學生零散的知識穿成串，結(jié)成網(wǎng)，變成“集成電路”印在學生的腦海里.此外，要重視解題過程中思想方法的提煉與運用，如①坐標法；②方程思想；③函數(shù)思想；④分類討論；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥對稱思想；⑦參數(shù)思想.

案例5 解析幾何中變量的取值范圍問題.

問題1 點P是拋物線C:y2=2x上的動點，點R，N在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于ΔPRN，求ΔPRN的面積的最小值.

圖6

待學生嘗試解決了三個問題后，歸納概括出解決解析幾何中變量的取值范圍(最值)問題的常見策略：

3個問題，方法各異，需要根據(jù)問題的特點，合理選擇恰當?shù)姆椒?，學生在方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)及適用的情境，從而實現(xiàn)突破瓶頸，以不變應萬變.

總之，在解析幾何一輪復習教學過程中，教師要以新課標理念為指導，轉(zhuǎn)變教學觀念，進行單元整體教學設(shè)計，重基礎(chǔ)、重過程、重訓練、重小結(jié)，注意站在學生的角度，想學生之所想，難學生之所難，疑學生之所疑，降低學生的認知難度，把課堂變成師生共同探索發(fā)現(xiàn)、共同提出問題、共同解決問題的陣地.從而使學生積極主動地學習，促進學生積極地參與課堂探究活動，讓學生在親身體驗中了解數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，體會數(shù)學知識的應用價值，培養(yǎng)學習的興趣，學會學習的方法，全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

[1]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數(shù)學通報，2013,6.

[2]徐德同.以本為本，合理探究，自然生成，提高復習效率[J].數(shù)學通訊，2014,7.

[3]張啟兆.有意義學習：素質(zhì)教育在課堂教學中的落腳點[J].中學數(shù)學教學參考，2000，12.