邱建青 杜春霖 周 婷 張 韜 李曉松

四川大學(xué)華西公共衛(wèi)生學(xué)院(華西第四醫(yī)院)(610041)

·綜述·

多變量數(shù)據(jù)缺失機(jī)制的識(shí)別方法*

邱建青 杜春霖 周 婷 張 韜△李曉松△

四川大學(xué)華西公共衛(wèi)生學(xué)院(華西第四醫(yī)院)(610041)

數(shù)據(jù)缺失廣泛存在于醫(yī)學(xué)科研中，使研究損失大量信息，導(dǎo)致研究結(jié)果發(fā)生偏倚，因此不應(yīng)該被忽略。缺失數(shù)據(jù)的處理方法較為成熟，但是這些處理方法都以特定的數(shù)據(jù)缺失機(jī)制為前提。

數(shù)據(jù)缺失機(jī)制的概念由Rubin于1967年提出[1]，它描述了數(shù)據(jù)的缺失概率與觀測(cè)到的變量和未觀測(cè)到的變量之間的關(guān)系，說(shuō)明數(shù)據(jù)缺失的原因。數(shù)據(jù)的缺失機(jī)制包括完全隨機(jī)缺失(missing completely at random,MCAR)、隨機(jī)缺失(missing at random,MAR)和非隨機(jī)缺失(missing not at random,MNAR)三類。完全隨機(jī)缺失是指目標(biāo)變量的缺失概率與已觀測(cè)到的變量和未觀測(cè)到的變量無(wú)關(guān)，即缺失是完全隨機(jī)發(fā)生的。隨機(jī)缺失是指目標(biāo)變量的缺失概率與已經(jīng)觀測(cè)到的變量相關(guān)，但與未觀測(cè)到的變量無(wú)關(guān)。非隨機(jī)缺失是指目標(biāo)變量出現(xiàn)缺失的概率與未觀測(cè)到的變量相關(guān)。

數(shù)據(jù)的缺失機(jī)制說(shuō)明了數(shù)據(jù)缺失的原因，數(shù)據(jù)缺失的不同處理方法對(duì)應(yīng)特定的缺失機(jī)制。研究發(fā)現(xiàn)[2-3]，不根據(jù)缺失機(jī)制盲目選擇處理方法的結(jié)果往往會(huì)有偏倚，所以，缺失機(jī)制的識(shí)別很重要。我們只有清楚數(shù)據(jù)的缺失機(jī)制，才能選擇正確的方法。

目前針對(duì)單變量數(shù)據(jù)缺失機(jī)制識(shí)別的研究較為成熟，而關(guān)于多變量數(shù)據(jù)缺失機(jī)制識(shí)別的研究有所成果，但缺乏一個(gè)完整體系，本文將主要從數(shù)理方法角度入手，總結(jié)目前國(guó)外針對(duì)多變量缺失機(jī)制識(shí)別的各類方法，形成體系，以供借鑒。

資料與方法

檢索方法：采用主題詞結(jié)合關(guān)鍵詞的方法，結(jié)合文獻(xiàn)追溯及手工檢索，以“missing data mechanism”、“MCAR”、“MAR”、“MNAR”為關(guān)鍵詞檢索Pubmed數(shù)據(jù)庫(kù)；以“數(shù)據(jù)缺失機(jī)制”及“完全隨機(jī)缺失”、“隨機(jī)缺失”、“非隨機(jī)缺失”為關(guān)鍵詞檢索中國(guó)生物醫(yī)學(xué)、知網(wǎng)、維普和萬(wàn)方科技文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)。檢索范圍不限，并進(jìn)一步查閱相關(guān)文獻(xiàn)的參考文獻(xiàn)來(lái)檢索可能遺漏的文獻(xiàn)。

文獻(xiàn)納入標(biāo)準(zhǔn)：納入的文獻(xiàn)必須具備以下條件：①缺失類型為多變量缺失；②缺失機(jī)制的分類為完全隨機(jī)缺失、隨機(jī)缺失和非隨機(jī)缺失；③檢驗(yàn)方法為原創(chuàng)。詳見圖1。

圖1 文獻(xiàn)檢索納入排除流程圖

機(jī)制識(shí)別策略

按照三種機(jī)制的假定性強(qiáng)弱，我們按照零假設(shè)為MCAR、MAR、MNAR的順序依次進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)順序如圖2示。各缺失機(jī)制的檢驗(yàn)方法如下所述。

圖2 多變量數(shù)據(jù)缺失機(jī)制識(shí)別方法選擇步驟

1.多變量數(shù)據(jù)MCAR機(jī)制的識(shí)別方法

目前，大部分針對(duì)多變量數(shù)據(jù)的MCAR機(jī)制識(shí)別方法主要是通過將觀測(cè)對(duì)象按照變量的缺失模式(missing pattern)分組，即將含有相同缺失變量的觀測(cè)對(duì)象劃分為同一組(如第一個(gè)觀測(cè)對(duì)象和第五個(gè)觀測(cè)對(duì)象都是變量3和變量4發(fā)生了缺失，這兩個(gè)對(duì)象屬于同一個(gè)缺失模式組)；然后通過假設(shè)檢驗(yàn)比較各組的均向量和(或)協(xié)方差矩陣是否相同。如果差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則尚不能拒絕缺失機(jī)制是MCAR；如果各組間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則可以認(rèn)為該數(shù)據(jù)的缺失機(jī)制并非MCAR。而假設(shè)檢驗(yàn)需綜合考慮總體分布類型是否已知、是否分類變量、樣本含量大小等情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒?圖2)。

(1)參數(shù)檢驗(yàn)

多重t檢驗(yàn)：Dixon按每一個(gè)變量是否缺失將數(shù)據(jù)集劃分為該變量缺失的數(shù)據(jù)集和未缺失的數(shù)據(jù)集，然后對(duì)每一對(duì)數(shù)據(jù)集中其他每個(gè)變量間進(jìn)行兩樣本t檢驗(yàn)[4]。該檢驗(yàn)數(shù)理基礎(chǔ)較為簡(jiǎn)單，但忽略了多變量數(shù)據(jù)中變量之間的關(guān)系，大量t檢驗(yàn)也會(huì)增大Ⅰ型錯(cuò)誤。

似然比檢驗(yàn)：該方法由Little提出，基本思想是比較各個(gè)缺失模式組的均向量是否相同[5]。如果相同，缺失機(jī)制就是MCAR；如果各組均向量不全相同，那么提示缺失機(jī)制并非MCAR。

當(dāng)數(shù)據(jù)集有J種缺失模式時(shí)，假設(shè)第j(j=1,2,…,J)個(gè)缺失模式組的觀測(cè)指標(biāo)服從均向量為μj且協(xié)方差矩陣為∑j的多元正態(tài)分布。檢驗(yàn)各組的均向量是否相同就是檢驗(yàn)假設(shè)：

H0：μ1=μ2=…=μJ，H1：μ1,μ2,…，μJ不全相等。

Chen和Little的文獻(xiàn)指出，將廣義估計(jì)方程應(yīng)用于含缺失的重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的參數(shù)推斷時(shí)，需要考慮是否服從MCAR機(jī)制[3]，針對(duì)該情形，在Little的似然比檢驗(yàn)基礎(chǔ)上，又提出了基于信息分解和重組的Wald統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，但該檢驗(yàn)結(jié)果只適用于應(yīng)用廣義估計(jì)方程的情形，數(shù)理運(yùn)算也較為繁瑣復(fù)雜。同樣針對(duì)應(yīng)用廣義估計(jì)方程的情形，Qu提出的廣義得分檢驗(yàn)(generalised score-type test)避免了繁瑣數(shù)理運(yùn)算過程[6]，但依然只適用于該情形。

基于廣義最小二乘法的檢驗(yàn)：為了解決樣本含量少無(wú)法滿足似然比檢驗(yàn)前提的問題，Kim和Bentler[7]提出了聯(lián)合均向量和協(xié)方差陣的基于廣義最小二乘法的檢驗(yàn)方法。與Little的似然比檢驗(yàn)類似，該方法仍然是將觀測(cè)對(duì)象按照變量的缺失情況分組。不同之處在于，該檢驗(yàn)不僅考察各組均向量是否相同，還進(jìn)一步檢驗(yàn)各組的協(xié)方差齊性。因此，統(tǒng)計(jì)量是均向量齊性統(tǒng)計(jì)量和協(xié)方差齊性統(tǒng)計(jì)量的組合，模擬研究顯示，該檢驗(yàn)犯Ⅰ型錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)小于Little的似然比統(tǒng)計(jì)法。

Park分類變量檢驗(yàn)：針對(duì)重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)中的分類變量，Park基于加權(quán)最小二乘法，提出統(tǒng)計(jì)量為Wald統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)[8]。該方法將數(shù)據(jù)按照缺失模式分組后對(duì)每組擬合模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的同質(zhì)性，該方法的SAS程序包為CATMOD。由于該方法需要較大樣本量保證近似正態(tài)性，Park又提出了基于廣義估計(jì)方程的檢驗(yàn)[9]，在原有模型基礎(chǔ)上，新模型在自變量部分加入表示對(duì)象是否在某一缺失模式組的指示變量，而并非分組建模，進(jìn)而檢驗(yàn)這些指示變量的回歸系數(shù)是否都為0，如果回歸系數(shù)不都為0且具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，那么缺失機(jī)制不為MCAR。該方法操作較為簡(jiǎn)單，對(duì)連續(xù)或離散變量均可適用，較前面方法對(duì)樣本含量要求更低。

改進(jìn)后的Hawkins參數(shù)檢驗(yàn)法：Hawkins檢驗(yàn)是推斷多變量成組設(shè)計(jì)資料方差齊性的方法[10]。Jamshidian和Jalal將該方法經(jīng)改進(jìn)后用于多變量缺失數(shù)據(jù)的MCAR機(jī)制識(shí)別。首先，已知總體為正態(tài)分布的情況下，運(yùn)用極大似然法估計(jì)總體均向量和協(xié)方差陣。其次，基于均向量和協(xié)方差陣的估計(jì)值，在各個(gè)缺失模式組內(nèi)根據(jù)似然函數(shù)計(jì)算缺失數(shù)據(jù)的條件分布函數(shù)，并使用單一填補(bǔ)法(single imputation)或多重填補(bǔ)法(multiple imputation)處理缺失數(shù)據(jù)，得到填補(bǔ)后的完整數(shù)據(jù)集；最后，采用Hawkins檢驗(yàn)法判斷填補(bǔ)后的各個(gè)缺失模式組的協(xié)方差陣是否相等，并以此得出是否拒絕缺失機(jī)制為MCAR的結(jié)論。

(2)非參數(shù)檢驗(yàn)

上述參數(shù)檢驗(yàn)方法均依賴于數(shù)據(jù)服從或近似服從正態(tài)分布，因而難以有效地識(shí)別非正態(tài)分布情況下的數(shù)據(jù)缺失機(jī)制。這種情況下需使用非參數(shù)檢驗(yàn)驗(yàn)方法。

在Hawkins檢驗(yàn)法的基礎(chǔ)上，Jamshidian和Jalal又提出了基于Hawkins檢驗(yàn)和Anderson-Darling檢驗(yàn)的非參數(shù)聯(lián)合檢驗(yàn)法[12]。該方法不需要數(shù)據(jù)服從任何分布，只要求滿足觀測(cè)對(duì)象間的獨(dú)立性及累積分布函數(shù)的連續(xù)性。非參數(shù)聯(lián)合檢驗(yàn)法的基本步驟與改進(jìn)后的Hawkins參數(shù)檢驗(yàn)法類似。二者區(qū)別在于：①不依賴總體分布的情況下，似然函數(shù)和缺失數(shù)據(jù)的條件概率分布都未知，因此該檢驗(yàn)采用最小二乘法估計(jì)均向量和協(xié)方差陣，并使用回歸填補(bǔ)法處理缺失數(shù)據(jù)；②針對(duì)填補(bǔ)后的完整數(shù)據(jù)集，考慮分布未知情況下的檢驗(yàn)效能和運(yùn)算效率問題，采用Anderson-Darlingk-樣本檢驗(yàn)法比較各組的協(xié)方差陣是否相等。

Li等指出Jamshidian提出的方法的核心是檢驗(yàn)協(xié)方差齊性[11]，所以對(duì)于非協(xié)方差的參數(shù)如峰度、斜度的同質(zhì)性的檢驗(yàn)?zāi)芰^弱，因此提出一類更具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的非參數(shù)檢驗(yàn)方法。該檢驗(yàn)方法能夠取得較為滿意的結(jié)果，但對(duì)數(shù)理要求較高，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)方法復(fù)雜。

(3)參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)的聯(lián)合使用

綜合參數(shù)檢驗(yàn)法和非參數(shù)檢驗(yàn)法各自的優(yōu)點(diǎn)，Jamshidian提出了一套針對(duì)MCAR機(jī)制的檢驗(yàn)步驟(圖3)[12]。其基本思路為：當(dāng)數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)正態(tài)分布總體，拒絕Hawkins檢驗(yàn)意味著拒絕原假設(shè)即非協(xié)方差齊性；但如果數(shù)據(jù)總體分布未知，那么拒絕原假設(shè)還可能是因?yàn)榉牡姆植疾⒎钦龖B(tài)，因此在Hawkins檢驗(yàn)為拒絕的條件下，應(yīng)用一個(gè)非參數(shù)檢驗(yàn)，如果拒絕該檢驗(yàn)零假設(shè)，認(rèn)為拒絕Hawkins檢驗(yàn)原因并非數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，機(jī)制不為MCAR；如果沒有拒絕零假設(shè)，認(rèn)為Hawkins檢驗(yàn)未通過的原因是數(shù)據(jù)的總體分布并不服從正態(tài)分布。R包MissMech提供了該方法的具體實(shí)現(xiàn)。

圖3 Jamshidian非參數(shù)MCAR檢驗(yàn)步驟

2.多變量重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的MAR機(jī)制識(shí)別方法

目前多變量數(shù)據(jù)的MAR機(jī)制識(shí)別方法研究主要針對(duì)重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)。該類檢驗(yàn)方法的總體思想是：按照已知影響缺失概率的因素對(duì)所有觀測(cè)對(duì)象進(jìn)行分組，如果數(shù)據(jù)的缺失機(jī)制是MAR，那么根據(jù)其定義可知，此時(shí)每個(gè)組內(nèi)的缺失機(jī)制應(yīng)為完全隨機(jī)缺失。那么檢驗(yàn)思路就為檢驗(yàn)后一個(gè)時(shí)間點(diǎn)測(cè)量值是否與前一個(gè)時(shí)間點(diǎn)測(cè)量值來(lái)自同一總體。根據(jù)數(shù)據(jù)分布不同可分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)。

(1)參數(shù)檢驗(yàn)

Diggle提出的MAR機(jī)制識(shí)別方法旨在判定數(shù)據(jù)缺失在各自組內(nèi)(若干實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組)是否是隨機(jī)發(fā)生的[13]，基本思想為：第二次隨訪開始分別在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)各組內(nèi)尋找是否有研究對(duì)象的觀測(cè)值發(fā)生缺失；如果有，回溯到前一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上通過假設(shè)檢驗(yàn)的方法判斷這些研究對(duì)象的觀測(cè)值是否是該組內(nèi)所有觀測(cè)對(duì)象觀測(cè)值的隨機(jī)樣本，并記錄下每次假設(shè)檢驗(yàn)的P值。Diggle認(rèn)為，在MAR機(jī)制的假設(shè)下，這些P值應(yīng)服從[0,1]的均勻分布。因此Diggle采用Kolmogorov統(tǒng)計(jì)量衡量P值與[0,1]均勻分布的差異程度，判斷缺失機(jī)制是否為MAR。

Ridout[14]指出缺失模式為單調(diào)缺失模式(monotonous missing pattern)的情況下，即在某一時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)缺失后后續(xù)時(shí)間點(diǎn)均缺失，可以利用logit回歸模型來(lái)判定缺失機(jī)制是否為MAR，即缺失的產(chǎn)生是否與協(xié)變量相關(guān)。按照情況的復(fù)雜與否，可以將建模分為條件logit回歸模型和非條件logit回歸模型。但該方法建模十分復(fù)雜，它基于的假設(shè)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)是獨(dú)立的往往不成立。與Ridout的方法類似，F(xiàn)airclough的機(jī)制檢驗(yàn)方法也是利用logit回歸模型[15]，不同的是它不要求單調(diào)缺失模式，因此適用性更加廣泛。

Diggle的方法比較直觀，但Listing指出Kolmogorov統(tǒng)計(jì)量同Ridout的統(tǒng)計(jì)量一樣依賴于每次測(cè)量的獨(dú)立性[16]，顯然這個(gè)假設(shè)常不符合重復(fù)測(cè)量情況。另外，當(dāng)P值的個(gè)數(shù)太小時(shí)，Kolmogorov檢驗(yàn)的效能很低。因此，他提出了一種基于均值比較的檢驗(yàn)方法。該方法與Diggle的方法類似的是，同樣是從第二次隨訪開始的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)t(t>2)上尋找發(fā)生變量缺失的研究對(duì)象。二者的區(qū)別在于，Listing方法是回溯到前一個(gè)時(shí)間點(diǎn)(t-1)上，通過將這些研究對(duì)象的平均觀測(cè)值與完成整個(gè)隨訪的研究對(duì)象的平均觀測(cè)值相比較，得出(t-1)時(shí)間點(diǎn)上的均值之差，最終以各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生缺失的樣本數(shù)作為權(quán)重，構(gòu)建加權(quán)意義下的均值之差作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。模擬研究發(fā)現(xiàn)Listing方法在大樣本情況下表現(xiàn)穩(wěn)定，比Diggle方法具有更強(qiáng)的檢驗(yàn)效能。

(2)非參數(shù)檢驗(yàn)

針對(duì)前一種參數(shù)檢驗(yàn)不適用于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)的情形，Listing又提出了一種非參數(shù)檢驗(yàn)方法[17]，該方法基于隊(duì)列中發(fā)生缺失的對(duì)象觀測(cè)值應(yīng)大于(或小于)未發(fā)生缺失的對(duì)象的相應(yīng)觀測(cè)值的假定。首先在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上分別進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，比較在該時(shí)間點(diǎn)上缺失和未缺失對(duì)象觀測(cè)值的累積分布函數(shù)是否存在差異。在隨機(jī)變量Yit是連續(xù)型的情況下，不同時(shí)間點(diǎn)Wilcoxon統(tǒng)計(jì)量是獨(dú)立的，因此可將它們合并后得到聯(lián)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量S。根據(jù)中心極限定理，S漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，最終根據(jù)基于S的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果做出推斷。同樣針對(duì)Listing提出的參數(shù)檢驗(yàn)法，Norbert提出了基于重抽樣(bootstrap)的非參數(shù)方法[18]，統(tǒng)計(jì)量是加權(quán)組合每一次測(cè)量時(shí)缺失組和非缺失組之間的差別后的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量，原理類似于Listing提出的非參數(shù)方法，只是使用了重抽樣技術(shù)。模擬實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該方法對(duì)于偏態(tài)分布可取得良好的效果。

Deny提出了一類非參數(shù)的采用logit回歸的方法[19]，即用參數(shù)化的方法處理，用一組正交積來(lái)表示，從而將MAR機(jī)制的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)參數(shù)是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的過程。若參數(shù)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義則機(jī)制為MAR，但該方法較為復(fù)雜。

3.多變量重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的MNAR機(jī)制的識(shí)別方法

此外，孫捷等認(rèn)為在某些情況下，確認(rèn)機(jī)制并非MCAR后，非單調(diào)缺失模式的重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)是MNAR的一種典型形式[20]，比如對(duì)醫(yī)院病人的生命質(zhì)量進(jìn)行縱向隨訪時(shí)，如果因?yàn)椴∪税峒叶鴮?dǎo)致數(shù)據(jù)某時(shí)點(diǎn)后的缺失，則認(rèn)為缺失與前期觀察(地址)相關(guān)，機(jī)制可能為MAR，具體是否為MAR需作進(jìn)一步檢驗(yàn)；但某一時(shí)點(diǎn)后數(shù)據(jù)又再次出現(xiàn)，那么數(shù)據(jù)缺失不與前期觀察相關(guān)，機(jī)制為MNAR，該方法簡(jiǎn)單易行，但需結(jié)合實(shí)際情況分析。

討 論

數(shù)據(jù)缺失廣泛存在于醫(yī)學(xué)研究中，對(duì)研究結(jié)果的準(zhǔn)確性造成很大的影響。在觀察性研究和實(shí)驗(yàn)性研究中，針對(duì)信息缺失往往采取一系列措施進(jìn)行預(yù)防，或者盡可能對(duì)缺失信息補(bǔ)回。通過數(shù)理方法對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ)的方法并未引起足夠的重視，雖然這個(gè)方法是經(jīng)濟(jì)且可行的。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)數(shù)據(jù)缺失的填補(bǔ)方法較為系統(tǒng)，但是針對(duì)填補(bǔ)方法對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)缺失機(jī)制識(shí)別的相關(guān)研究，國(guó)外較為成熟，主要針對(duì)數(shù)理方法進(jìn)行闡述，但并不系統(tǒng)；國(guó)內(nèi)研究較少，局限于單變量數(shù)據(jù)，且缺少對(duì)其適用數(shù)據(jù)類型的說(shuō)明。本文系統(tǒng)地總結(jié)了國(guó)外各類成熟的對(duì)多變量數(shù)據(jù)缺失機(jī)制的識(shí)別方法，并指出了適用的數(shù)據(jù)類型，具有一定的借鑒意義。但數(shù)據(jù)缺失尤其是多變量數(shù)據(jù)缺失的機(jī)制在實(shí)際情況中是十分復(fù)雜的，所以需要考慮具體的研究?jī)?nèi)容，結(jié)合多種方法對(duì)數(shù)據(jù)缺失的機(jī)制進(jìn)行判定。

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國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金(No.81602935)；四川大學(xué)青年教師科研啟動(dòng)基金(2016SCU11006)；四川省衛(wèi)生信息學(xué)會(huì)公共衛(wèi)生信息專業(yè)委員會(huì)

△通信作者：張韜， E-mail：scdxzhangtao@163.com;李曉松，E-mail:lixiaosong1101@126.com.

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