馮 彥 徐 璇 趙曉兵△

·方法介紹·

部分非線性指標(biāo)模型的降維及在醫(yī)療費(fèi)用評估中的應(yīng)用*

馮 彥1徐 璇2趙曉兵2△

分析和研究醫(yī)療費(fèi)用最重要的目的是尋找和確定與醫(yī)療費(fèi)用密切相關(guān)的重要變量,以達(dá)到通過控制這些變量減少醫(yī)療費(fèi)用支出的目的。然而，由于醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、附加信息(協(xié)變量)的高維、以及醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)往往是嚴(yán)重偏斜、異方差、非正態(tài)等等,給醫(yī)療費(fèi)用的研究帶來了巨大的統(tǒng)計(jì)挑戰(zhàn)。因此,尋找一種創(chuàng)新的統(tǒng)計(jì)建模方法和統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)來分析醫(yī)療費(fèi)用顯得非常必要。

就目前已有的文獻(xiàn)而言,對醫(yī)療費(fèi)用的建模主要可分為兩類,一類對于醫(yī)療總體費(fèi)用進(jìn)行建模,另一類是對于縱向醫(yī)療數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。其中對于縱向醫(yī)療數(shù)據(jù)分析,很多學(xué)者提出了不少相關(guān)的模型[1],例如,邊際模型[2-3]、馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型[4]以及隨機(jī)(固定)效應(yīng)模型[5]等等。近年來,廣義線性模型也引起了很多學(xué)者的廣泛討論[6]。但是,這種方法不能很好地考慮醫(yī)療費(fèi)用的相關(guān)性,并且對與時(shí)間有關(guān)的變量的作用不能夠很好地進(jìn)行解釋[7]。最近,Chen等拓展了經(jīng)典的廣義線性模型[2-3],將一些隨著時(shí)間變化的協(xié)變量通過非線性函數(shù)的形式加到廣義線性模型中,卻仍然假設(shè)該模型中的連接函數(shù)是已知的。

為了使得上述模型更加靈活,最大效率地利用收集到的醫(yī)療費(fèi)用的高維輔助信息,本文嘗試將Chen等的廣義線性模型中的連接函數(shù)放松為未知函數(shù)[3],進(jìn)而提出了“部分非線性指標(biāo)模型”(PNIM)如下:

(1)

估計(jì)方法

對于給定的維數(shù)q，MAVE降維的思想就是通過局部線性光滑技術(shù)同時(shí)估計(jì)參數(shù)和非參數(shù)部分,再比較不同維數(shù)下的回歸函數(shù)的殘差，從而挑選出合適的維數(shù)。該方法極大地提高了對復(fù)雜數(shù)據(jù)的有效維空間的估計(jì)。下面介紹具體參數(shù)βj(j=1,2,…,p)以及非參數(shù)部分g(·)和f(·)的估計(jì)方法和子空間維數(shù)及窗寬的確定方法。

1.降維空間基方向和非參數(shù)部分的估計(jì)

(2)

(3)

文獻(xiàn)[7]指出wij的選擇對降維結(jié)果至關(guān)重要,通常選取

(4)

(5)

(6)

正如Zeger和Liang指出的那樣[7]，權(quán)重wij會(huì)依賴于B。本文參照Xia給出兩種權(quán)重的選取[8]：

(1)初始權(quán)重

(7)

(2)精確權(quán)重

(8)

2.降維子空間的維數(shù)及窗寬

3.算法及修正

下面給出利用改進(jìn)的MAVE方法求解的算法：

Step1(基):對于任意q，1≤q≤p,則在q維子空間的基可由下面步驟求出:

(9)

Step2(維數(shù))：求得CV(d),0≤d≤p,找出最小的CV(d)所對應(yīng)的維數(shù)d,由此對應(yīng)的Step1-(3)求出的B即為估計(jì)的子空間的基。

數(shù)值模擬

我們采用MATLAB軟件考慮如下兩個(gè)模型的數(shù)值模擬。

情形一：考慮一維的情形q=1,我們利用下面模型來產(chǎn)生樣本

其中,Ti服從[0,1]均勻分布,Xi分兩種情況討論,εi獨(dú)立同分布服從N(0,1)。故此時(shí)模型滿足E[f(T)]=E[1.5sin(2πT)]=0,同時(shí)假設(shè)(X,T)與ε相互獨(dú)立。

下面根據(jù)Xi的兩種分布情況進(jìn)行討論:

情形二：考慮二維情形q=2，β1=(1,0,…,0)∈R10，β2=(0,0,…,1,0)∈R10,此時(shí),我們利用下面模型

表1 推廣的MAVE的數(shù)值模擬結(jié)果

由表1,可以發(fā)現(xiàn)β的估計(jì)值與真值有很高的相關(guān)性。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)本方法對于結(jié)構(gòu)維數(shù)有很好的估計(jì)。第四列顯示,維數(shù)選擇的正確率非常高。與此同時(shí),對非參數(shù)部分g(·)與f(·)的估計(jì)誤差也比較合理。

下面給出對非參數(shù)部分的估計(jì)圖像。圖1至圖6分別為情形一非參數(shù)部分g(·)、f(·)的估計(jì),以及情形二的非參數(shù)部分f(·)在γ=0.2在γ=0.8的估計(jì)。圖中實(shí)線為非參數(shù)部分的真實(shí)曲線,點(diǎn)畫線為其相應(yīng)的估計(jì)曲線,虛線為95%的置信曲線。從圖3～6可以發(fā)現(xiàn),本文提出的估計(jì)方法也能夠很好地估計(jì)出非參數(shù)部分。

圖1 情形一(1)的g(·)的擬合圖

實(shí)例分析

下面針對收集得到的醫(yī)療費(fèi)用縱向數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)是美國全國性醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)抽樣調(diào)查得到的,包括受訪者的健康狀況、基本信息、醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)、衛(wèi)生支出、醫(yī)療保險(xiǎn)等信息。通過對這些數(shù)據(jù)分析有助于保險(xiǎn)公司制定方案，也有助于政府制定醫(yī)療政策。

圖2 情形一(1)的f(·)的擬合圖

圖3 情形一(2)的g(·)的擬合圖

圖4 情形一(2)的f(·)的擬合圖

圖5 情形二γ=0.2的f(·)的擬合圖

圖6 情形二γ=0.8的f(·)的擬合圖

本文研究的MEPS(TheMedical Expenditure Panel Survey,MEPS)是2010年全年調(diào)查中老齡化家庭的醫(yī)療數(shù)據(jù)，這些家庭的成員年齡都在65歲至84歲之間，總共收集到醫(yī)療數(shù)據(jù)樣本2139個(gè)。通過對醫(yī)療數(shù)據(jù)的簡單分析，醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)往往是高度右偏的，均值很大(9235美元)，但是中位數(shù)很小(3955美元)。Chen等在建立模型分析醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)時(shí)[2]，只選取了部分協(xié)變量分析，例如性別、種族、疾病等。但是我們發(fā)現(xiàn)收集到的醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)含有大量的信息，擁有大量的協(xié)變量，選取部分協(xié)變量不能全面進(jìn)行醫(yī)療費(fèi)用的分析。因此，本文除了考慮年齡對醫(yī)療費(fèi)用的影響即模型中的f(·)，還考慮了14個(gè)協(xié)變量對醫(yī)療費(fèi)用的影響，即種族、性別、死亡、住院情況、心血管疾病、呼吸道疾病、身體運(yùn)動(dòng)障礙、癌癥、糖尿病、家庭成員情況、附加保險(xiǎn)情況、家庭收入等級、醫(yī)療保險(xiǎn)報(bào)銷情況、教育程度。通過建立部分非線性多指標(biāo)模型，充分考慮14個(gè)協(xié)變量以及年齡對醫(yī)療費(fèi)用的影響。

利用本文提議的模型和方法對美國MPES-2010數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，根據(jù)CV(q)最小，選出維數(shù)為q=2。從而得到降維子空間的基(即模型(1)中的β1,β2) 見表2。通過表2中列向量數(shù)值的大小和正負(fù)，我們發(fā)現(xiàn),“是否住院”的情況對醫(yī)療費(fèi)用的影響最大。此外,死亡、心血管疾病、呼吸道疾病、癌癥、醫(yī)療保險(xiǎn)情況、醫(yī)療報(bào)銷情況都對醫(yī)療費(fèi)用有著較大的影響。

與此同時(shí)，我們還得到年齡對醫(yī)療費(fèi)用的影響，如圖7,虛線為年齡對醫(yī)療費(fèi)用的影響估計(jì)曲線，點(diǎn)畫線為95%的置信曲線。

表2 降維子空間(降維結(jié)果)

從圖7可以發(fā)現(xiàn)一開始隨著年齡的增加,醫(yī)療費(fèi)用有所降低，而后在67歲到69歲,醫(yī)療費(fèi)用有著較大的上升；隨后在69到73之間，醫(yī)療費(fèi)用會(huì)隨著年齡的增長在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)，隨后到74附近達(dá)到一個(gè)小峰值；之后有所下降，在75歲到80歲附近，隨著年齡的增長波動(dòng)向上遞增；然后在81歲到82歲附近醫(yī)療費(fèi)用會(huì)有所下降，隨后醫(yī)療費(fèi)用又隨即快速上升。

圖7 實(shí)例的f(·)估計(jì)圖

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國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271317)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY16A010007)

1.山西醫(yī)科大學(xué)第一臨床醫(yī)學(xué)院，公共衛(wèi)生學(xué)院，護(hù)理學(xué)院(030001) 2.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院

△通信作者：趙曉兵，Email:maxbzhao@126.com

張 悅)