苑明昊

(河北省唐山市第二中學(xué) 063000)

放縮法的若干方式

苑明昊

(河北省唐山市第二中學(xué) 063000)

求解不等式問題，方法多種多樣，對(duì)數(shù)學(xué)解題能力要求高，難度大.而在諸多方法中，放縮法顯得更為新穎靈活，不易掌握.為此，本文就放縮法中的若干思維方向分類總結(jié)，并舉例加以說明.這對(duì)提高同學(xué)們的解題能力很有借鑒作用.

放縮法；利用

在求解最值、取值范圍、證明不等式時(shí)，經(jīng)常用到放縮法.適當(dāng)運(yùn)用放縮法可使解題巧妙快捷.但使用放縮法的時(shí)機(jī)不易把握，需要根據(jù)題目條件、目標(biāo)式的特點(diǎn)來選擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法.以下例談若干題型的放縮方法.

一、添舍項(xiàng)放縮

例1 設(shè)a、b、c∈(0,1)，求證a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1.

證明待證式子即a-ab+b-bc+c-ca<1,也即1-a-b-c+ab+bc+ca>0.

由已知可得abc>0,1-a>0,1-b>0,1-c>0,因此有(1-a)(1-b)(1-c)>0,展開后可得1-a-b-c+ab+bc+ca-abc>0.

注意到abc>0,即-abc<0,故由前式用放縮法可得1-a-b-c+ab+bc+ca>0.

從而原不等式得證.

二、用基本不等式放縮

例2 設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是____.

解由題設(shè)式和目標(biāo)式，建立起xy與x+y的關(guān)系式，再用基本不等式放縮得到關(guān)于x+y的不等式，即可解出x+y的范圍.

將已知式配成(x+y)2-xy=1,

即xy=(x+y)2-1.

點(diǎn)評(píng)應(yīng)熟練不等式的變形，如一串不等式

三、利用絕對(duì)值不等式放縮

例3 若關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|

解要使|x-1|+|x+2|

而|x-1|+|x+2|=|1-x|+|x+2|≥|(1-x)+(x+2)|=3,取等號(hào)時(shí)有-2≤x≤1.故|x-1|+|x+2|的最小值是3，從而m>3.

點(diǎn)評(píng)應(yīng)熟悉絕對(duì)值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.在運(yùn)用時(shí)，應(yīng)設(shè)法湊出a±b是常數(shù)，并注意檢驗(yàn)取等號(hào)的條件能否成立.

四、利用函數(shù)的單調(diào)性放縮

又a+b>0,則有f(a+b)>f(c),得

綜合①和②得

點(diǎn)評(píng)要善于觀察式子的特征，從而構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)模型.

五、利用三角函數(shù)的有界性放縮

例5 設(shè)|x|≤1,求證(1-x)n+(1+x)n≤2n(n∈(N*).

點(diǎn)評(píng)應(yīng)抓住三角換元的契機(jī)，如|x|≤a,a≤x≤b,x2+y2=r2,x2-y2=r2等.

六、利用二項(xiàng)式放縮

例6 設(shè)x∈N*,n>2,求證2n>2n+1.

證明由n>2，知n≥3.

又由2n=(1+1)n,聯(lián)想到二項(xiàng)式定理.

=1+n+n+1

=2n+2>2n+1.

點(diǎn)評(píng)本例也可用數(shù)學(xué)歸納法來證明，但過程較煩.

[1]馬運(yùn)春，張超.放縮法應(yīng)用舉偶[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2010(11)：19～21.

[2]洪麗敏.巧用“項(xiàng)”證明數(shù)列不等式[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2010(2)：21～23.

[3]李生兵.均值不等式“四注意”[J].理科考試研究，2017(2)：31～32.

[4]陳紅明.一類數(shù)列和不等式證法研究[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(11、12)：22-23.

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1008-0333(2017)31-0043-02

2017-07-01

苑明昊，河北省邢臺(tái)市第二中學(xué)，高三學(xué)生.

楊惠民]