楊冠華

(江蘇省金壇第一中學(xué) 213200)

對(duì)于解三角形中最值問題的思考

楊冠華

(江蘇省金壇第一中學(xué) 213200)

解三角形日益成為高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，解答時(shí)需借助正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，還要熟練掌握三角形的一些平面性質(zhì).在高考數(shù)學(xué)試卷中，作為解答題，解三角形位置相對(duì)靠前，難度不是太大，但是當(dāng)解三角形問題與不等式相結(jié)合時(shí)，學(xué)生常常難以入手.本文結(jié)合實(shí)例談一談三角形最值的求法，并結(jié)合三角函數(shù)最值，啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考.

三角形；最值問題；解題技巧

問題啟發(fā):

那么本題的證明思路已經(jīng)很清晰了，利用基本不等式，

我們?cè)俜催^來(lái)看這樣一個(gè)問題，當(dāng)一個(gè)直角三角形面積為定值時(shí)，求三角形周長(zhǎng)的最小值.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足a2+b2=c2，設(shè)三角形面積為k，k為定值，則三角形的周長(zhǎng)l=a+b+c.則由基本不等式：

深入思考：上述兩個(gè)三角形的最值問題很具有典型性和一般性，但是僅僅解決了關(guān)于三角形邊的幾個(gè)基本最值問題.現(xiàn)我們進(jìn)一步思考這樣一個(gè)問題，假設(shè)我們知道三角形的一條邊和一個(gè)角，能不能求出三角形周長(zhǎng)和面積的最大值.根據(jù)三角形邊和角的位置關(guān)系，我們需要把這個(gè)數(shù)學(xué)問題分成兩類：

當(dāng)角和邊相對(duì)應(yīng)時(shí)，已知A=θ,A的對(duì)邊長(zhǎng)度為a,求三角形面積和周長(zhǎng)的最大值.

y=simBsimC,B+C=π-θ；

上述從角的角度考慮，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)解決了面積最大值的問題，如果我們從邊的角度出發(fā)，同樣也可以求出S的最大值.

a2=b2+c2-2bccosθ≥2bc(1-cosθ),

下面我們用類比的方法來(lái)解決三角形周長(zhǎng)的最大值問題，設(shè)三角形的周長(zhǎng)為l,則

那么上述問題即轉(zhuǎn)化成求sinB+sinC的最值問題.

記y=sinB+sinC,B+C=π-θ,

y=sinB+sin(B+θ)=(1+cosθ)sinB+cosBsinθ,

y′=(1+cosθ)cosB-sinθsinB.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)

ABC分類法是目前最常用的庫(kù)存管理方法之一。ABC分類法又稱主次因素分析法或“帕累托”現(xiàn)象。這種方法簡(jiǎn)單易行，在庫(kù)存管理中應(yīng)用廣泛。ABC分類法的基本原理是將庫(kù)存物資按品種和占用資金的多少分為特別重要的庫(kù)存（A類）、一般重要的庫(kù)存（B類）和不重要的庫(kù)存（C類）三個(gè)等級(jí)，然后針對(duì)不同重要等級(jí)分別進(jìn)行管理和控制[2]。該方法的核心是“分清主次，抓住重點(diǎn)”，針對(duì)企業(yè)庫(kù)存中占用大量資金的少數(shù)生鮮農(nóng)產(chǎn)品，需要進(jìn)一步加強(qiáng)庫(kù)存管理和控制；而企業(yè)庫(kù)存中占用少量資金的大多數(shù)生鮮農(nóng)產(chǎn)品，可進(jìn)行相對(duì)較為寬松的庫(kù)存管理與控制。

此外我們知道sinx其實(shí)是一個(gè)上凸函數(shù)，根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì)我們很容易證明：

如果我們從邊的角度出發(fā)，要求l的最大值，其實(shí)就是求b+c的最大值.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosθ,進(jìn)一步對(duì)上述整理我們可以得到：

同樣我們用上述方法也得到了l的最大值.

當(dāng)三角形中給的邊長(zhǎng)和角不對(duì)應(yīng)時(shí)，三角形的面積和周長(zhǎng)是否依然還存在最大值呢？

上述表達(dá)式在定義域內(nèi)單調(diào)減，所以S不存在最值，因此我們分析得到知道三角形的一條邊和一個(gè)角不對(duì)應(yīng)時(shí)，S不存在最值.

結(jié)語(yǔ)：

根據(jù)上述研究思路和研究方法，我們也可以類比地得到已知角和邊不對(duì)應(yīng)的面積和周長(zhǎng)最值的求法，本文就不再深入展開.對(duì)于解三角形的最值問題，本文講述了如何用基本不等式，凸函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)來(lái)解決解三角形的最值問題，對(duì)于三角形的最值問題還有很多值得我們思考與商榷，筆者也會(huì)在以后的學(xué)習(xí)生活中更加深入地思考.

[1]葛軍.新編高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽指導(dǎo)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2014:78-79.

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2017-07-01

楊冠華(1988.08-)，男，江蘇省常州人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

楊惠民]